Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 🔢

Όταν συγκρίνουμε δύο πραγματικούς αριθμούς, θέλουμε να ξέρουμε ποιος είναι «μεγαλύτερος» και ποιος «μικρότερος». Η διάταξη των πραγματικών αριθμών μάς δίνει έναν αυστηρό, μαθηματικό τρόπο να το κάνουμε αυτό — όχι απλώς "με το μάτι" πάνω στην αριθμογραμμή, αλλά μέσα από μια πράξη: την αφαίρεση.

Ορισμός της Διάταξης ➖

Ένας αριθμός $α$ είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό $β$, και γράφουμε $α > β$, όταν η διαφορά $α - β$ είναι θετικός αριθμός.

Αντίστοιχα, ο $β$ είναι μικρότερος από τον $α$, και γράφουμε $β < α$ — οι δύο σχέσεις $α > β$ και $β < α$ λένε ακριβώς το ίδιο πράγμα, απλώς διαβασμένο από διαφορετική μεριά.

Από τον ορισμό αυτόν προκύπτουν αμέσως δύο βασικές παρατηρήσεις:

• Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν (αφού $α - 0 = α > 0$).
• Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν.

Όταν θέλουμε να πούμε ότι ο $α$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον $β$, γράφουμε $α \geq β$. Αντίστοιχα, $α \leq β$ σημαίνει ότι ο $α$ είναι μικρότερος ή ίσος με τον $β$.

Γεωμετρική Ερμηνεία 📐

Πάνω στην αριθμογραμμή, η ανισότητα $α > β$ έχει μια πολύ απλή εικόνα: ο αριθμός $α$ βρίσκεται δεξιότερα από τον $β$. Όσο πιο δεξιά βρίσκεται ένας αριθμός στην αριθμογραμμή, τόσο μεγαλύτερος είναι.

Πρόσημο Αθροίσματος και Γινομένου 🧮

Από τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού προκύπτουν κανόνες που συνδέουν το πρόσημο των αριθμών με το πρόσημο του αθροίσματος ή του γινομένου τους.

Άθροισμα:

• Αν $α > 0$ και $β > 0$, τότε $α + β > 0$.
• Αν $α < 0$ και $β < 0$, τότε $α + β < 0$.

Δηλαδή, το άθροισμα δύο θετικών είναι πάντα θετικό, και το άθροισμα δύο αρνητικών είναι πάντα αρνητικό.

Γινόμενο και πηλίκο:

• Αν οι αριθμοί $α$ και $β$ είναι ομόσημοι, τότε $α \cdot β > 0$ και $\frac{α}{β} > 0$.
• Αν οι αριθμοί $α$ και $β$ είναι ετερόσημοι, τότε $α \cdot β < 0$ και $\frac{α}{β} < 0$.

Το Τετράγωνο Ενός Αριθμού 🟰

Μία από τις πιο χρήσιμες ιδιότητες της διάταξης αφορά το τετράγωνο:

Για κάθε πραγματικό αριθμό $α$ ισχύει $α^2 \geq 0$. Η ισότητα $α^2 = 0$ ισχύει μόνο όταν $α = 0$.

Αυτό σημαίνει ότι το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί ποτέ να είναι αρνητικό — είναι είτε θετικό (αν ο αριθμός είναι διάφορος του μηδενός) είτε ίσο με μηδέν (αν ο αριθμός είναι μηδέν).

Από αυτή τη βασική ιδιότητα προκύπτουν δύο χρήσιμες ισοδυναμίες για αθροίσματα τετραγώνων:

• Αν $α^2 + β^2 = 0$, τότε $α = 0$ και $β = 0$.
• Αν $α^2 + β^2 > 0$, τότε $α \neq 0$ ή $β \neq 0$.

Ιδιότητες των Ανισοτήτων ⚖️

Οι ανισότητες δεν είναι απλώς συγκρίσεις μεμονωμένων αριθμών· υπακούν σε ιδιότητες που μας επιτρέπουν να τις επεξεργαζόμαστε, όπως ακριβώς επεξεργαζόμαστε εξισώσεις.

1. Μεταβατική Ιδιότητα 🔗

Αν $α > β$ και $β > γ$, τότε $α > γ$.

Αν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν δεύτερο, και ο δεύτερος είναι μεγαλύτερος από έναν τρίτο, τότε ο πρώτος είναι σίγουρα μεγαλύτερος από τον τρίτο. Μπορούμε να τη γράψουμε συνοπτικά ως $α > β > γ$.

2. Πρόσθεση Αριθμού και στα Δύο Μέλη ➕

Αν $α > β$, τότε $α + γ > β + γ$, για κάθε πραγματικό $γ$.

Η προσθήκη (ή αφαίρεση) του ίδιου αριθμού και στα δύο μέλη μιας ανισότητας δεν αλλάζει τη φορά της.

3. Πολλαπλασιασμός και στα Δύο Μέλη 🔄

Εδώ η φορά της ανισότητας εξαρτάται από το πρόσημο του αριθμού με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε:

• Αν $γ > 0$ και $α > β$, τότε $α \cdot γ > β \cdot γ$ — η φορά διατηρείται.
• Αν $γ < 0$ και $α > β$, τότε $α \cdot γ < β \cdot γ$ — η φορά αντιστρέφεται.

4. Πρόσθεση Ανισοτήτων Ίδιας Φοράς ➕➕

Αν $α > β$ και $γ > δ$, τότε $α + γ > β + δ$.

Μπορούμε να προσθέσουμε κατά μέλη δύο ανισότητες που έχουν την ίδια φορά: προσθέτουμε τα αριστερά μέλη μεταξύ τους, τα δεξιά μέλη μεταξύ τους, και η φορά διατηρείται.

Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται σε παραπάνω από δύο ανισότητες:

5. Πολλαπλασιασμός Ανισοτήτων Ίδιας Φοράς (Θετικοί Όροι) ✖️

Για θετικούς αριθμούς $α, β, γ, δ$: αν $α > β$ και $γ > δ$, τότε $α \cdot γ > β \cdot δ$.

Δηλαδή, δύο ανισότητες ίδιας φοράς, με όλους τους όρους θετικούς, μπορούν να πολλαπλασιαστούν κατά μέλη και η φορά διατηρείται.

6. Ύψωση σε Δύναμη ⬆️

Για θετικούς αριθμούς $α, β$ και θετικό ακέραιο $ν$:

και αντίστοιχα για την ισότητα:

Δηλαδή, ανάμεσα σε θετικούς αριθμούς, η σύγκριση "διατηρείται" όταν υψώνουμε και τους δύο αριθμούς στην ίδια θετική ακέραια δύναμη.

Προσοχή: Τι ΔΕΝ Επιτρέπεται 🚫

Οι ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού κατά μέλη ισχύουν μόνο προς μία κατεύθυνση — δεν επεκτείνονται αυτόματα στην αφαίρεση ή στη διαίρεση.

Για τον ίδιο λόγο, από $x > 6$ και $y > 2$ δεν μπορούμε να συμπεράνουμε $\frac{x}{y} > 3$ — η διαίρεση κατά μέλη δεν είναι έγκυρη πράξη σε ανισότητες.

Διαστήματα Πραγματικών Αριθμών ↔️

Πολύ συχνά δεν αναφερόμαστε σε έναν μεμονωμένο αριθμό, αλλά σε ένα σύνολο αριθμών που ικανοποιούν κάποια ανισότητα. Το σύνολο αυτό λέγεται διάστημα και έχει τα δικά του σύμβολα.

Έστω $α, β$ πραγματικοί αριθμοί με $α < β$. Οι αριθμοί $α$ και $β$ λέγονται άκρα του διαστήματος, και κάθε αριθμός ανάμεσά τους λέγεται εσωτερικό σημείο.

Μη Φραγμένα Διαστήματα ∞

Όταν ένα διάστημα επεκτείνεται απεριόριστα προς μία κατεύθυνση, χρησιμοποιούμε το σύμβολο του απείρου $+\infty$ ή $-\infty$:

• $x \geq α \;\Longleftrightarrow\; x \in [α, +\infty)$
• $x > α \;\Longleftrightarrow\; x \in (α, +\infty)$
• $x \leq α \;\Longleftrightarrow\; x \in (-\infty, α]$
• $x < α \;\Longleftrightarrow\; x \in (-\infty, α)$

Εφαρμογή: Πράξεις με Διαστήματα 🧩

Οι ιδιότητες πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού των ανισοτήτων μάς επιτρέπουν να βρίσκουμε σε ποιο διάστημα ανήκει το άθροισμα, η διαφορά ή το πηλίκο δύο αριθμών, όταν ξέρουμε τα διαστήματα στα οποία ανήκει ο καθένας.

Παράδειγμα 1 — Άθροισμα: Αν $5 < x < 12$ και $3 < z < 9$, να βρεθεί σε ποιο διάστημα ανήκει το $x + z$.

Προσθέτουμε τις δύο ανισότητες κατά μέλη (ίδια φορά, επιτρέπεται):

Άρα $x + z \in (8, 21)$.

Παράδειγμα 2 — Διαφορά: Με τα ίδια δεδομένα, να βρεθεί σε ποιο διάστημα ανήκει το $x - z$.

Δεν αφαιρούμε κατά μέλη απευθείας (δεν επιτρέπεται)! Δουλεύουμε ισοδύναμα: από $3 < z < 9$ παίρνουμε $-9 < -z < -3$ (πολλαπλασιασμός με $-1$, η φορά αλλάζει), και προσθέτουμε κατά μέλη με την $5 < x < 12$:

Άρα $x - z \in (-4, 9)$.

Παράδειγμα 3 — Πηλίκο θετικών αριθμών: Αν $18 \leq α \leq 24$ και $2 \leq β \leq 6$, να βρεθεί σε ποιο διάστημα ανήκει το $\frac{α}{β}$.

Δουλεύουμε ισοδύναμα με το αντίστροφο: από $2 \leq β \leq 6$ (θετικοί όροι) παίρνουμε $\frac{1}{6} \leq \frac{1}{β} \leq \frac{1}{2}$, και πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη με $18 \leq α \leq 24$ (όλοι θετικοί, επιτρέπεται):

Άρα $\frac{α}{β} \in [3, 12]$.