Η περιπέτεια ξεκινά με τα σύνολα. Μοιάζουν με σεντούκια αριθμών. Ψάξε καλά και θα ανακαλύψεις την απόλυτη τιμή και τις ρίζες. Μια ακολουθία από βήματα θα σε οδηγήσει στον επόμενο θησαυρό. Τελικός προορισμός, οι συναρτήσεις! Το ταξίδι για την κατανόηση των μαθηματικών μόλις ξεκίνησε 🏴‍☠️

Άλγεβρα Α' Λυκείου

# Ορισμός της Διάταξης Πραγματικών Αριθμών 🤔

Η διάταξη των πραγματικών αριθμών αφορά τις έννοιες «μεγαλύτερος από» και «μικρότερος από».

**Ένας αριθμός \(α\) είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό \(β\), όταν η διαφορά \(α - β\) είναι θετικός αριθμός. Αυτό το γράφουμε \(α > β\).**

Αντίστοιχα, αν ο \(β\) είναι μικρότερος από τον \(α\), το γράφουμε \(β < α\).

:::fact{title="Ο ορισμός σε μία γραμμή"}
\(α > β\) είναι το ίδιο με \(α - β > 0\). Όποτε αμφιβάλλεις, υπολόγισε τη διαφορά: αν είναι θετική, ο πρώτος αριθμός είναι ο μεγαλύτερος.
:::

Από αυτό προκύπτει ότι:

*   Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. ➕
*   Κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το μηδέν. ➖


# Γεωμετρική Ερμηνεία και Βασικές Ιδιότητες Ανισοτήτων 🧮

Η ανισότητα \(α > β\) σημαίνει γεωμετρικά ότι στον άξονα των αριθμών, ο αριθμός \(α\) βρίσκεται δεξιότερα από τον αριθμό \(β\). ➡️

Αν έχουμε δύο αριθμούς \(α\) και \(β\) και ισχύει \(α > β\) ή \(α = β\), τότε γράφουμε \(α \geq β\) και το διαβάζουμε «\(α\) μεγαλύτερος ή ίσος του \(β\)».

### Πρόσημο Αθροίσματος

Από τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, προκύπτουν τα εξής:

*   Αν \(α > 0\) και \(β > 0\), τότε \(α + β > 0\). ➕
*   Αν \(α < 0\) και \(β < 0\), τότε \(α + β < 0\). ➖

### Πρόσημο Γινομένου και Πηλίκου

*   Αν οι αριθμοί \(α\) και \(β\) είναι :tooltip[ομόσημοι]{content="Αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο."} (δηλαδή έχουν το ίδιο πρόσημο), τότε \(α \cdot β > 0\) και \(\frac{α}{β} > 0\). 👍
*   Αν οι αριθμοί \(α\) και \(β\) είναι :tooltip[ετερόσημοι]{content="Αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο."} (δηλαδή έχουν διαφορετικό πρόσημο), τότε \(α \cdot β < 0\) και \(\frac{α}{β} < 0\). 👎


# Ιδιότητες Ανισοτήτων: Τετράγωνα, Πρόσθεση, Πολλαπλασιασμός, Δύναμη 🧮

Ας δούμε τις ιδιότητες των ανισοτήτων.

### Το Τετράγωνο Ενός Αριθμού

Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού \(α\) είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός: \(α^2 \geq 0\). Αυτό ισχύει για κάθε αριθμό \(α\) που ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς \(\mathbb{R}\). Η ισότητα \(α^2 = 0\) ισχύει μόνο όταν ο ίδιος ο \(α\) είναι μηδέν.

Από αυτό προκύπτουν και κάποιες ισοδυναμίες:

*   Αν \(α^2 + β^2 = 0\), τότε και ο \(α\) και ο \(β\) είναι ίσοι με μηδέν (\(α = 0\) και \(β = 0\)).
*   Αν \(α^2 + β^2 > 0\), τότε τουλάχιστον ένας από τους \(α\) ή \(β\) δεν είναι μηδέν (\(α \neq 0\) ή \(β \neq 0\)).

Οι ιδιότητες των ανισοτήτων βασίζονται στην αρχή ότι αν \(α > β\), τότε \(α - β > 0\).

### Οι Βασικές Ιδιότητες

1.  **Μεταβατική ιδιότητα:** Αν \(α > β\) και \(β > γ\), τότε \(α > γ\). 🚀

2.  **Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός:**

    *   Αν \(α > β\), τότε \(α + γ > β + γ\). Μπορούμε να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη μιας ανισότητας χωρίς να αλλάξει η φορά της.
    *   Αν \(γ > 0\) (θετικός αριθμός) και \(α > β\), τότε \(α \cdot γ > β \cdot γ\). Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με έναν θετικό αριθμό χωρίς να αλλάξει η φορά της.
    *   Αν \(γ < 0\) (αρνητικός αριθμός) και \(α > β\), τότε \(α \cdot γ < β \cdot γ\). Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, η φορά της ανισότητας αλλάζει. ➕➖

3.  **\(α > β\) και \(γ > δ\) \(\Rightarrow\) \(α + γ > β + δ\):** Αν έχουμε δύο ανισότητες, μπορούμε να προσθέσουμε τα αριστερά μέλη μεταξύ τους και τα δεξιά μέλη μεταξύ τους, και η νέα ανισότητα που θα προκύψει θα είναι επίσης σωστή.

    *   Για θετικούς αριθμούς \(α\), \(β\), \(γ\), \(δ\) ισχύει: Αν \(α > β\) και \(γ > δ\), τότε \(α \cdot γ > β \cdot δ\).

:::fact{title="Το ήξερες;"}
Αυτή η ιδιότητα μπορεί να επεκταθεί σε περισσότερες ανισότητες:

1️⃣ Αν \(α_1 > β_1\), \(α_2 > β_2\), ... και \(α_ν > β_ν\), τότε \(α_1 + α_2 + ... + α_ν > β_1 + β_2 + ... + β_ν\).

2️⃣ Αν, επιπλέον, όλοι οι αριθμοί είναι θετικοί, τότε \(α_1 \cdot α_2 \cdot ... \cdot α_ν > β_1 \cdot β_2 \cdot ... \cdot β_ν\).
:::

4.  **Ύψωση σε δύναμη:** Για θετικούς αριθμούς \(α\), \(β\) και θετικό ακέραιο \(ν\) ισχύει η ισοδυναμία: \(α > β \Leftrightarrow α^ν > β^ν\). Δηλαδή, αν δύο θετικοί αριθμοί είναι σε μια συγκεκριμένη σχέση μεγέθους, τότε και οι δυνάμεις τους (με τον ίδιο θετικό εκθέτη) θα είναι στην ίδια σχέση μεγέθους.

Για θετικούς αριθμούς \(α\), \(β\) και θετικό ακέραιο \(ν\) ισχύει η ισοδυναμία: \(α = β \Leftrightarrow α^ν = β^ν\) 💯


# Διαστήματα Πραγματικών Αριθμών: Κλειστά, Ανοικτά, Ημιανοικτά 🧮

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών \(x\) με \(α \leq x \leq β\) λέγεται κλειστό διάστημα από το \(α\) μέχρι και το \(β\) και συμβολίζεται με \([α, β]\).

Αν τώρα από το κλειστό διάστημα \([α, β]\) παραλείψουμε τα \(α\) και \(β\), προκύπτει το αντίστοιχο ανοικτό διάστημα από το \(α\) μέχρι το \(β\) που συμβολίζεται με \((α, β)\).

Οι αριθμοί \(α\) και \(β\) λέγονται άκρα των διαστημάτων και κάθε αριθμός μεταξύ των \(α\) και \(β\) λέγεται εσωτερικό σημείο αυτών.

:::alert{title="Η βασική διαφορά"}
Η διαφορά μεταξύ ενός κλειστού και του αντίστοιχου ανοικτού διαστήματος είναι ότι το πρώτο περιέχει τα άκρα του, ενώ το δεύτερο δεν τα περιέχει. 💡
:::

### Άλλες Μορφές Διαστημάτων

*   Το ανοικτό δεξιά διάστημα \([α, β)\) αποτελείται από τους αριθμούς \(x\) για τους οποίους ισχύει \(α \leq x < β\).
*   Το ανοικτό αριστερά διάστημα \((α, β]\) αποτελείται από τους αριθμούς \(x\) για τους οποίους ισχύει \(α < x \leq β\).

### Απεριόριστα Διαστήματα

*   Το σύνολο των αριθμών \(x\) για τους οποίους ισχύει \(x \geq α\) συμβολίζεται με \([α, +\infty)\).
*   Το σύνολο των αριθμών \(x\) για τους οποίους ισχύει \(x < α\) συμβολίζεται με \((-\infty, α)\).


01. Βασική Θεωρία

Πώς ορίζεται πότε ένας πραγματικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλον, μέσα από το πρόσημο της διαφοράς τους.

Ορισμός της Διάταξης

Ποιο πρόσημο παίρνει το άθροισμα ή το γινόμενο δύο αριθμών ανάλογα με το αν είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι.

Πρόσημο Αθροίσματος και Γινομένου

Γιατί το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι πάντα μη αρνητικό και τι συνέπειες έχει αυτό για αθροίσματα τετραγώνων.

Το Τετράγωνο Ενός Αριθμού

Οι κανόνες που επιτρέπουν πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και σύγκριση ανισοτήτων χωρίς να χαθεί η φορά τους.

Ιδιότητες των Ανισοτήτων

Γιατί η αφαίρεση και η διαίρεση κατά μέλη δεν διατηρούν τη φορά μιας ανισότητας, με χαρακτηριστικά αντιπαραδείγματα.

Τι Δεν Επιτρέπεται στις Ανισότητες

Πώς συμβολίζονται τα κλειστά, ανοικτά και ημιανοικτά διαστήματα, καθώς και τα απεριόριστα διαστήματα με το άπειρο.

Διαστήματα Πραγματικών Αριθμών

Λυμένα παραδείγματα που δείχνουν πώς βρίσκουμε το διάστημα στο οποίο ανήκει το άθροισμα, η διαφορά ή το πηλίκο δύο αριθμών.

Πράξεις με Διαστήματα

# Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 🔢

Ένας αριθμός \(α\) είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό \(β\) (\(α > β\)) όταν η διαφορά \(α - β\) είναι θετική· δηλαδή \(α > β \iff α - β > 0\). Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι ο \(α\) βρίσκεται δεξιότερα από τον \(β\) στην αριθμογραμμή. Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών (και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί) διατηρεί το κοινό τους πρόσημο, ενώ το γινόμενο (και το πηλίκο) δύο ομόσημων αριθμών είναι πάντα θετικό — αν είναι ετερόσημοι, είναι πάντα αρνητικό.

:::fact{title="Το τετράγωνο δεν είναι ποτέ αρνητικό"}
Για κάθε πραγματικό \(α\) ισχύει \(α^2 \geq 0\), με ισότητα μόνο όταν \(α = 0\). Γι' αυτό, αν \(α^2 + β^2 = 0\), τότε αναγκαστικά \(α = 0\) και \(β = 0\).
:::

Οι ανισότητες υπακούν σε συγκεκριμένες ιδιότητες: **μεταβατική** (\(α > β\) και \(β > γ \Rightarrow α > γ\)), **πρόσθεση αριθμού** στα δύο μέλη (δεν αλλάζει τη φορά), και **πολλαπλασιασμός** με αριθμό \(γ\) — αν \(γ > 0\) η φορά διατηρείται, αν \(γ < 0\) η φορά **αντιστρέφεται**. Δύο ανισότητες ίδιας φοράς μπορούν να προστεθούν κατά μέλη (\(α > β\) και \(γ > δ \Rightarrow α + γ > β + δ\)) και, αν όλοι οι όροι είναι θετικοί, να πολλαπλασιαστούν κατά μέλη (\(α \cdot γ > β \cdot δ\)). Για θετικούς \(α, β\) και θετικό ακέραιο \(ν\) ισχύει επίσης \(α > β \iff α^ν > β^ν\).

:::alert{title="Αφαίρεση και διαίρεση κατά μέλη ΔΕΝ επιτρέπονται"}
Σε αντίθεση με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, η αφαίρεση και η διαίρεση κατά μέλη δύο ανισοτήτων ίδιας φοράς **δεν διατηρούν** τη φορά (π.χ. \(10>6\) και \(7>2\), αλλά \(10-7<6-2\)). Όταν χρειάζεται τέτοια πράξη, τη μετατρέπουμε σε πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό αλλάζοντας πρόσημο ή παίρνοντας αντίστροφο. Επίσης, πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας μια ανισότητα με **αρνητικό** αριθμό, η φορά της αντιστρέφεται.
:::

Ένα **διάστημα** είναι ένα σύνολο πραγματικών αριθμών ανάμεσα σε δύο άκρα \(α, β\): το **κλειστό** \([α, β]\) περιλαμβάνει τα άκρα (\(α \leq x \leq β\)), το **ανοικτό** \((α, β)\) τα αποκλείει (\(α < x < β\)), και τα ημιανοικτά \([α, β)\), \((α, β]\) περιλαμβάνουν μόνο το ένα άκρο. Για απεριόριστα διαστήματα χρησιμοποιούμε το \(+\infty\) και το \(-\infty\) — πάντα με παρένθεση δίπλα τους, ποτέ αγκύλη: \(x \geq α \Leftrightarrow x \in [α, +\infty)\) και \(x < α \Leftrightarrow x \in (-\infty, α)\).

