Εγγεγραμμένα και Εγγράψιμα Τετράπλευρα 🔄

Τι είναι το Εγγεγραμμένο Τετράπλευρο; 🤔

Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου. Ο κύκλος στον οποίο είναι εγγεγραμμένο ένα τετράπλευρο λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τετραπλεύρου. ⭕

Θεώρημα: Ιδιότητες Εγγεγραμμένου Τετραπλεύρου 💡

Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O, R)$ έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Απέναντι γωνίες παραπληρωματικές: Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή το άθροισμά τους είναι $180^\circ$ .
- $\hat{A} + \hat{Γ} = 180^\circ$
- $\hat{B} + \hat{Δ} = 180^\circ$
Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες: Για παράδειγμα, η πλευρά ΔΓ φαίνεται από την κορυφή Α και από την κορυφή Β υπό ίσες γωνίες, δηλαδή $\hat{ΔΑΓ} = \hat{ΔΒΓ}$ .

Πόρισμα 📌

Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του. Για παράδειγμα, η εξωτερική γωνία στην κορυφή Γ είναι ίση με την εσωτερική γωνία $\hat{A}$ , δηλαδή $\hat{Γ}_{εξ} = \hat{A}$ .

Αυτό προκύπτει αμέσως από την πρώτη ιδιότητα: η εξωτερική γωνία στο Γ είναι παραπληρωματική της $\hat{Γ}$ , και το ίδιο ισχύει και για την $\hat{A}$ . Άρα οι δύο γωνίες είναι ίσες.

Τι είναι το Εγγράψιμο Τετράπλευρο; ✅

Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιμο όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του.

Εγγεγραμμένο ή εγγράψιμο; Μην τα μπερδεύετε!

Εγγεγραμμένο είναι το τετράπλευρο για το οποίο ο κύκλος υπάρχει ήδη και ξέρουμε ότι οι κορυφές του βρίσκονται πάνω του — από εκεί ξεκινάμε και βγάζουμε ιδιότητες (παραπληρωματικές απέναντι γωνίες κ.λπ.).
Εγγράψιμο είναι το τετράπλευρο για το οποίο ο κύκλος δεν έχει σχεδιαστεί, αλλά αποδεικνύουμε ότι μπορεί να σχεδιαστεί — από κάποια ιδιότητα των γωνιών του καταλήγουμε στην ύπαρξη του κύκλου.
Με απλά λόγια: στο εγγεγραμμένο ο κύκλος είναι η υπόθεση, στο εγγράψιμο είναι το συμπέρασμα. Τα δύο θεωρήματα είναι αντίστροφα μεταξύ τους.

Ας δούμε γιατί το ζήτημα δεν είναι αυτονόητο: από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται πάντα ένας και μοναδικός κύκλος. Επομένως, οι τρεις πρώτες κορυφές ενός τετραπλεύρου ορίζουν από μόνες τους έναν κύκλο. Το ερώτημα είναι αν η τέταρτη κορυφή θα πέσει κι αυτή πάνω σε αυτόν τον κύκλο — και αυτό δεν συμβαίνει για κάθε τετράπλευρο. Γι' αυτό χρειαζόμαστε κριτήρια.

Θεώρημα: Πότε ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο; (Κριτήρια) 🔍

Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αν ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις:

Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές.
- Αν $\hat{A} + \hat{Γ} = 180^\circ$ ή $\hat{B} + \hat{Δ} = 180^\circ$ .
Μια εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου.
- Για παράδειγμα, αν η εξωτερική γωνία στην κορυφή Γ είναι ίση με την $\hat{A}$ .
Μια πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.
- Δηλαδή, η γωνία που σχηματίζει μια διαγώνιος με μια πλευρά είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζει η άλλη διαγώνιος με την απέναντι πλευρά.
- Για παράδειγμα, αν $\hat{ΔΑΓ} = \hat{ΔΒΓ}$ , τότε η πλευρά ΔΓ φαίνεται από τα Α και Β υπό ίσες γωνίες.

Γνωρίζατε ότι...

Αν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι τέτοια ώστε $\hat{ΑΓΒ} = \hat{ΑΔΒ}$ , τότε λέμε ότι τα τέσσερα σημεία είναι ομοκυκλικά. Έτσι, το τρίτο κριτήριο δεν μιλάει μόνο για τετράπλευρα: είναι ο συνηθέστερος τρόπος να αποδείξουμε ότι τέσσερα οποιαδήποτε σημεία ενός σχήματος βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.

Ειδική Περίπτωση: Περιγεγραμμένο και Εγγράψιμο Τετράπλευρο 🎯

Ένα τετράπλευρο του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον ίδιο κύκλο (δηλαδή είναι περιγεγραμμένο) και ταυτόχρονα οι κορυφές του ανήκουν σε έναν άλλο κύκλο (δηλαδή είναι εγγεγραμμένο), λέγεται διπλά εγγεγραμμένο ή δικεντρικό τετράπλευρο.

(Α) Ιδιότητες ενός περιγεγραμμένου τετραπλεύρου που είναι και εγγράψιμο

Αν το ΑΒΓΔ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο και συγχρόνως εγγράψιμο, τότε:

i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.
ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα:

ΑΒ + ΓΔ = ΒΓ + ΔΑ

(Β) Προϋποθέσεις για να είναι ένα εγγράψιμο τετράπλευρο και περιγεγραμμένο

Αν το ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο, τότε είναι και περιγεγραμμένο σε κύκλο όταν:

i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.