Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Το Εγγεγραμμένο Τετράπλευρο ⭕

Ένα τετράπλευρο λέγεται **εγγεγραμμένο** σε κύκλο όταν οι :tooltip[κορυφές]{content="Τα σημεία όπου συναντώνται οι πλευρές ενός σχήματος."} του είναι σημεία του κύκλου — και οι τέσσερις, όχι μόνο κάποιες από αυτές. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται **περιγεγραμμένος κύκλος** του τετραπλεύρου.

### Δύο ονόματα για την ίδια εικόνα

Το ίδιο σχήμα περιγράφεται με δύο συμπληρωματικούς όρους, ανάλογα με το ποιος «κοιτάζει» ποιον.

| Όρος | Σε ποιον αναφέρεται | Τι σημαίνει |
|---|---|---|
| Εγγεγραμμένο | στο τετράπλευρο | οι κορυφές του βρίσκονται πάνω στον κύκλο |
| Περιγεγραμμένος | στον κύκλο | περνάει και από τις τέσσερις κορυφές του τετραπλεύρου |

### Γιατί μας ενδιαφέρει

Μόλις ξέρουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο, κερδίζουμε αμέσως πληροφορία για τις γωνίες του — και αυτό είναι το εργαλείο με το οποίο λύνονται οι περισσότερες ασκήσεις του κεφαλαίου. Ο κύκλος λειτουργεί σαν «κρυφός σύνδεσμος» ανάμεσα σε γωνίες που φαινομενικά δεν έχουν σχέση μεταξύ τους.

:::fact{title="Το τρίγωνο τα καταφέρνει πάντα, το τετράπλευρο όχι"}
Κάθε τρίγωνο έχει περιγεγραμμένο κύκλο, χωρίς καμία προϋπόθεση: τρία μη :tooltip[συνευθειακά]{content="Σημεία που ανήκουν όλα στην ίδια ευθεία γραμμή."} σημεία ορίζουν πάντα έναν και μοναδικό κύκλο. Με τέσσερις κορυφές όμως τα πράγματα αλλάζουν — η τέταρτη μπορεί κάλλιστα να πέσει έξω από τον κύκλο των τριών πρώτων. Γι' αυτό υπάρχει ολόκληρη θεωρία για τα εγγράψιμα τετράπλευρα, ενώ για τα τρίγωνα δεν χρειάζεται.
:::


# Ιδιότητες Εγγεγραμμένου Τετραπλεύρου 💡

Αν ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο \((O, R)\), τότε ισχύουν αναγκαστικά δύο ιδιότητες. Δεν τις επιλέγουμε — μας τις χαρίζει ο κύκλος.

### 1. Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές

Οι απέναντι γωνίες του είναι :tooltip[παραπληρωματικές]{content="Δύο γωνίες που το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες ή \(2L\)."}:

\[
\hat{A} + \hat{Γ} = 180^\circ \quad \text{και} \quad \hat{B} + \hat{Δ} = 180^\circ
\]

Προσοχή στο ποιες γωνίες ζευγαρώνουν: οι **απέναντι**, δηλαδή αυτές που δεν έχουν κοινή πλευρά. Οι διαδοχικές γωνίες ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου δεν έχουν καμία τέτοια υποχρέωση.

### 2. Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες

Πάρτε μια πλευρά, π.χ. τη ΔΓ, και ενώστε τα άκρα της με τις δύο υπόλοιπες κορυφές Α και Β. Οι δύο γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες:

\[
\hat{ΔΑΓ} = \hat{ΔΒΓ}
\]

Η ιδιότητα αυτή είναι εξαιρετικά χρήσιμη, γιατί συνδέει γωνίες που σχηματίζουν οι :tooltip[διαγώνιοι]{content="Ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές ενός πολυγώνου."} του σχήματος με τις πλευρές του.

### Πόρισμα: η εξωτερική γωνία 📌

Κάθε :tooltip[εξωτερική γωνία]{content="Η γωνία που σχηματίζεται από μία πλευρά ενός τριγώνου και την προέκταση μιας άλλης πλευράς του."} ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με την **απέναντι** εσωτερική γωνία του:

\[
\hat{Γ}_{εξ} = \hat{A}
\]

Η απόδειξη είναι μία γραμμή: η \(\hat{Γ}_{εξ}\) είναι παραπληρωματική της \(\hat{Γ}\), αλλά και η \(\hat{A}\) είναι παραπληρωματική της \(\hat{Γ}\) από την πρώτη ιδιότητα. Δύο γωνίες παραπληρωματικές της ίδιας γωνίας είναι ίσες.

:::alert{title="Απέναντι, όχι διπλανή"}
Το συνηθέστερο λάθος είναι να εξισώνουμε την εξωτερική γωνία με τη διπλανή εσωτερική. Η εξωτερική στο Γ ισούται με την \(\hat{A}\) — τη γωνία της **απέναντι** κορυφής. Με τη διπλανή της (\(\hat{Γ}\)) είναι απλώς παραπληρωματική, όπως συμβαίνει σε οποιοδήποτε πολύγωνο.
:::


# Το Εγγράψιμο Τετράπλευρο ✅

Ένα τετράπλευρο λέγεται **εγγράψιμο** όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του. Στο σχήμα μας ο κύκλος δεν είναι σχεδιασμένος· η δουλειά μας είναι να αποδείξουμε ότι υπάρχει.

### Πού κρύβεται η δυσκολία

Από τρία :tooltip[μη συνευθειακά]{content="Σημεία που δεν ανήκουν όλα στην ίδια ευθεία γραμμή."} σημεία διέρχεται πάντα ένας και μοναδικός κύκλος. Άρα οι τρεις πρώτες κορυφές ενός τετραπλεύρου ορίζουν από μόνες τους έναν κύκλο, χωρίς καμία προϋπόθεση. Το πραγματικό ερώτημα είναι αν η **τέταρτη** κορυφή θα βρεθεί κι αυτή πάνω σε αυτόν τον κύκλο — και αυτό δεν συμβαίνει για κάθε τετράπλευρο. Ακριβώς γι' αυτό χρειαζόμαστε κριτήρια: για να ελέγχουμε την τέταρτη κορυφή χωρίς να σχεδιάζουμε τίποτα.

### Εγγεγραμμένο ή εγγράψιμο;

Οι δύο όροι μοιάζουν, αλλά περιγράφουν αντίθετες κατευθύνσεις σκέψης.

| | Εγγεγραμμένο | Εγγράψιμο |
|---|---|---|
| Ο κύκλος | δίνεται, υπάρχει ήδη | δεν έχει σχεδιαστεί |
| Ρόλος του κύκλου | υπόθεση | συμπέρασμα |
| Τι κάνουμε | από τον κύκλο βγάζουμε ιδιότητες γωνιών | από ιδιότητες γωνιών βγάζουμε τον κύκλο |

:::alert{title="Δύο αντίστροφα θεωρήματα, όχι ένα"}
Οι ιδιότητες του εγγεγραμμένου και τα κριτήρια του εγγράψιμου είναι αντίστροφες προτάσεις μεταξύ τους. Πριν ξεκινήσετε μια απόδειξη, ρωτήστε: μου δίνουν τον κύκλο ή μου ζητούν να τον βρω; Αν σας τον δίνουν, χρησιμοποιείτε τις ιδιότητες. Αν σας ζητούν να δείξετε ότι υπάρχει, ψάχνετε ένα κριτήριο. Το να χρησιμοποιήσετε λάθος κατεύθυνση σημαίνει ότι θεωρείτε δεδομένο αυτό που πρέπει να αποδείξετε.
:::


# Τα Κριτήρια Εγγραψιμότητας 🔍

Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν ισχύει **μία** από τις παρακάτω τρεις προτάσεις. Δεν χρειάζεται να ισχύουν όλες — αρκεί να αποδείξετε τη μία.

### 1. Δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές

Αν \(\hat{A} + \hat{Γ} = 180^\circ\) ή \(\hat{B} + \hat{Δ} = 180^\circ\), τότε το ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο. Είναι το κριτήριο που χρησιμοποιείται όταν από τα δεδομένα προκύπτουν μετρήσεις γωνιών ή αθροίσματα.

### 2. Εξωτερική γωνία ίση με την απέναντι εσωτερική

Αν η εξωτερική γωνία στην κορυφή Γ είναι ίση με την \(\hat{A}\), τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Είναι ουσιαστικά η ίδια συνθήκη με το πρώτο κριτήριο, διατυπωμένη με προεκτάσεις πλευρών — βολικό όταν στο σχήμα υπάρχουν ήδη προεκτάσεις.

### 3. Μια πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες

Αν \(\hat{ΔΑΓ} = \hat{ΔΒΓ}\), δηλαδή η πλευρά ΔΓ φαίνεται από τα Α και Β υπό ίσες γωνίες, τότε το ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο. Ισοδύναμα: η γωνία που σχηματίζει μια :tooltip[διαγώνιος]{content="Ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές ενός πολυγώνου."} με μια πλευρά ισούται με τη γωνία που σχηματίζει η άλλη διαγώνιος με την απέναντι πλευρά. Αυτό είναι το κριτήριο των ίσων γωνιών και εμφανίζεται πολύ συχνά σε σχήματα με ύψη, διχοτόμους ή τεμνόμενες διαγωνίους.

:::fact{title="Το κριτήριο που ξεπερνά τα τετράπλευρα"}
Αν για τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ ισχύει \(\hat{ΑΓΒ} = \hat{ΑΔΒ}\), λέμε ότι τα σημεία είναι :tooltip[ομοκυκλικά]{content="Σημεία που βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο."}. Έτσι το τρίτο κριτήριο δεν αφορά μόνο τετράπλευρα: είναι ο συνηθέστερος τρόπος να αποδείξουμε ότι τέσσερα οποιαδήποτε σημεία ενός σχήματος — π.χ. τα ίχνη δύο υψών μαζί με δύο κορυφές — βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.
:::


# Το Δικεντρικό Τετράπλευρο 🎯

Υπάρχουν τετράπλευρα που τα καταφέρνουν και στα δύο ταυτόχρονα: οι πλευρές τους :tooltip[εφάπτονται]{content="Ευθεία που 'αγγίζει' τον κύκλο σε ένα μόνο σημείο."} σε έναν κύκλο (είναι **περιγεγραμμένα**) και συγχρόνως οι κορυφές τους ανήκουν σε έναν άλλο κύκλο (είναι **εγγεγραμμένα**). Ένα τέτοιο τετράπλευρο λέγεται **διπλά εγγεγραμμένο** ή **δικεντρικό**.

### (Α) Ιδιότητες: τι ισχύει όταν το ξέρουμε

Αν το ΑΒΓΔ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο και συγχρόνως εγγράψιμο, τότε:

* i) Οι :tooltip[διχοτόμοι]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.
* ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα:

\[
ΑΒ + ΓΔ = ΒΓ + ΔΑ
\]

### (Β) Προϋποθέσεις: πώς το αναγνωρίζουμε

Αντίστροφα, ένα εγγράψιμο τετράπλευρο είναι και περιγεγραμμένο όταν:

* i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο.
* ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

### Ένας βολικός πίνακας

Οι δύο κύκλοι δεν πρέπει να μπερδεύονται μεταξύ τους.

| Κύκλος | Σχέση με το τετράπλευρο | Χαρακτηριστικό σημείο |
|---|---|---|
| Εγγεγραμμένος | εφάπτεται σε όλες τις πλευρές | τομή των διχοτόμων των γωνιών |
| Περιγεγραμμένος | περνάει από όλες τις κορυφές | κέντρο του κύκλου των κορυφών |

:::alert{title="Πλευρές εδώ, γωνίες εκεί"}
Ξεχωρίστε τι ελέγχει η κάθε συνθήκη. Η εγγραψιμότητα (κύκλος από τις κορυφές) κρίνεται από **γωνίες** — παραπληρωματικές απέναντι γωνίες ή ίσες γωνίες θέασης. Η ύπαρξη εγγεγραμμένου κύκλου κρίνεται από **μήκη πλευρών** — το \(ΑΒ + ΓΔ = ΒΓ + ΔΑ\). Το να εφαρμόσετε τη σχέση των πλευρών για να αποδείξετε εγγραψιμότητα είναι λάθος: η σχέση αυτή δεν λέει τίποτα για το αν οι κορυφές είναι ομοκυκλικές.
:::


01. Βασική Θεωρία

Πότε ένα τετράπλευρο θεωρείται εγγεγραμμένο σε κύκλο και ποιος κύκλος ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του.

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Τι ισχύει υποχρεωτικά για τις απέναντι γωνίες του και υπό ποιες γωνίες φαίνεται κάθε πλευρά του από τις άλλες κορυφές.

Ιδιότητες εγγεγραμμένου τετραπλεύρου

Πώς συνδέεται κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με μία συγκεκριμένη εσωτερική του γωνία.

Πόρισμα για την εξωτερική γωνία

Τι σημαίνει να μπορεί να γραφεί κύκλος από τις τέσσερις κορυφές και γιατί αυτό δεν συμβαίνει σε κάθε τετράπλευρο.

Εγγράψιμο τετράπλευρο

Οι τρεις προτάσεις που αρκεί να ισχύει μία τους ώστε να εξασφαλίσουμε ότι ένα τετράπλευρο γράφεται σε κύκλο.

Κριτήρια εγγραψιμότητας

Το τετράπλευρο που είναι συγχρόνως περιγεγραμμένο και εγγεγραμμένο, οι ιδιότητές του και οι προϋποθέσεις που το χαρακτηρίζουν.

Δικεντρικό τετράπλευρο

# Σύνοψη: Εγγεγραμμένα και Εγγράψιμα Τετράπλευρα 🔄

Ένα τετράπλευρο λέγεται **εγγεγραμμένο** σε κύκλο όταν και οι τέσσερις κορυφές του είναι σημεία του κύκλου· ο κύκλος αυτός ονομάζεται **περιγεγραμμένος** κύκλος του τετραπλεύρου. Κάθε τέτοιο τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει δύο βασικές ιδιότητες: οι απέναντι γωνίες του είναι :tooltip[παραπληρωματικές]{content="Δύο γωνίες που το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες ή \(2L\)."}, δηλαδή \(\hat{A} + \hat{Γ} = 180^\circ\) και \(\hat{B} + \hat{Δ} = 180^\circ\), και κάθε πλευρά του φαίνεται από τις δύο απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες (π.χ. \(\hat{ΔΑΓ} = \hat{ΔΒΓ}\)). Άμεσο πόρισμα της πρώτης ιδιότητας: κάθε εξωτερική γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική, π.χ. \(\hat{Γ}_{εξ} = \hat{A}\).

Ένα τετράπλευρο λέγεται **εγγράψιμο** όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του. Επειδή από τρία μη συνευθειακά σημεία περνάει πάντα ένας μοναδικός κύκλος, το πραγματικό ερώτημα είναι αν η τέταρτη κορυφή θα βρεθεί κι αυτή πάνω του — και αυτό δεν ισχύει για κάθε τετράπλευρο. Το ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο αν ισχύει **έστω μία** από τις παρακάτω προτάσεις: (1) δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, (2) μια εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική, (3) μια πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. Το τρίτο κριτήριο είναι ο συνηθέστερος τρόπος να δείξουμε ότι τέσσερα σημεία είναι :tooltip[ομοκυκλικά]{content="Σημεία που βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο."}.

:::alert{title="Η διάκριση που χάνουν οι περισσότεροι"}
Στο **εγγεγραμμένο** τετράπλευρο ο κύκλος είναι η υπόθεση: μας δίνεται και από αυτόν βγάζουμε ιδιότητες γωνιών. Στο **εγγράψιμο** ο κύκλος είναι το συμπέρασμα: ξεκινάμε από μια ιδιότητα γωνιών και αποδεικνύουμε ότι ο κύκλος υπάρχει. Πρόκειται για δύο αντίστροφα θεωρήματα — προσέξτε ποια κατεύθυνση σάς ζητάει η άσκηση.
:::

Ειδική περίπτωση είναι το τετράπλευρο που είναι ταυτόχρονα **περιγεγραμμένο** (οι πλευρές του εφάπτονται σε έναν κύκλο) και **εγγεγραμμένο** (οι κορυφές του ανήκουν σε άλλον κύκλο): λέγεται **διπλά εγγεγραμμένο** ή **δικεντρικό**. Για ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο που είναι και εγγράψιμο ισχύει ότι οι :tooltip[διχοτόμοι]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο — το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου — και ότι τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα:

\[
ΑΒ + ΓΔ = ΒΓ + ΔΑ
\]

Αντίστροφα, ένα εγγράψιμο τετράπλευρο είναι και περιγεγραμμένο όταν οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο ή όταν τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

:::fact{title="Δύο κύκλοι, δύο κέντρα"}
Η λέξη «δικεντρικό» δεν είναι διακοσμητική: ένα τέτοιο τετράπλευρο έχει δύο διαφορετικούς κύκλους, έναν που ακουμπάει τις πλευρές του από μέσα και έναν που περνάει από τις κορυφές του. Στο τετράγωνο τα δύο κέντρα συμπίπτουν, αλλά γενικά είναι διαφορετικά σημεία.
:::


Γεωμετρία Α' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία