Εγγεγραμμένη Γωνία 📐

Εισαγωγικά - Ορισμοί

Μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σε έναν κύκλο $(O, R)$ όταν:

Η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου 🎯.
Οι πλευρές της είναι χορδές του κύκλου ή η μία πλευρά είναι χορδή και η άλλη εφαπτομένη στο άκρο της χορδής.

Ανάλογα με τη θέση της κορυφής και των πλευρών, διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις γωνιών που σχετίζονται με έναν κύκλο:

i) Αν η κορυφή είναι το κέντρο του κύκλου, η γωνία λέγεται επίκεντρη.
ii) Αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο, τότε η γωνία λέγεται εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου. Το τόξο $\overset{\frown}{ΒΓ}$ που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της. Λέμε τότε ότι η γωνία βαίνει στο τόξο αυτό.
iii) Αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου, η μία πλευρά είναι τέμνουσα και η άλλη εφαπτομένη του κύκλου, τότε η γωνία λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης.

Πρόσεξε πού βρίσκεται η κορυφή

Η θέση της κορυφής είναι αυτή που ξεχωρίζει τα είδη: στο κέντρο του κύκλου έχουμε επίκεντρη γωνία, πάνω στον κύκλο έχουμε εγγεγραμμένη γωνία ή γωνία χορδής και εφαπτομένης. Δεν αρκεί όμως μόνο η κορυφή: πρέπει και οι δύο πλευρές να τέμνουν τον κύκλο για να είναι η γωνία εγγεγραμμένη.

Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης 🤔

Η σχέση μεταξύ μιας εγγεγραμμένης γωνίας και της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο δίνεται από το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο.

Δηλαδή, αν μια εγγεγραμμένη γωνία και μια επίκεντρη γωνία βαίνουν στο ίδιο τόξο, τότε

\text{εγγεγραμμένη} = \frac{1}{2} \cdot \text{επίκεντρη}

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ 💡

i) Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της.

ii) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή ( $90^\circ$ ). 🌓

iii) Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα. 🤝

Γιατί η γωνία σε ημικύκλιο είναι ορθή

Το ημικύκλιο αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία $180^\circ$ , γιατί οι πλευρές της βρίσκονται πάνω σε μια διάμετρο. Το μισό των $180^\circ$ είναι $90^\circ$ — γι' αυτό κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή, όπου κι αν πάρεις την κορυφή της πάνω στον κύκλο.

Το λάθος που γίνεται συχνά

Η εγγεγραμμένη γωνία δεν είναι ίση με την επίκεντρη που βαίνει στο ίδιο τόξο, αλλά με το μισό της. Επίσης, το πόρισμα (iii) ισχύει και αντίστροφα: αν δύο εγγεγραμμένες γωνίες του ίδιου κύκλου είναι ίσες, τότε βαίνουν σε ίσα τόξα.

Γωνία χορδής και εφαπτομένης

Η σχέση μιας γωνίας χορδής και εφαπτομένης με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ
Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής. 👍