Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Τι είναι η εγγεγραμμένη γωνία 📐

Μια γωνία λέγεται **εγγεγραμμένη** σε έναν κύκλο \( (O, R) \) όταν πληρούνται δύο προϋποθέσεις ταυτόχρονα:

1. Η **κορυφή** της είναι σημείο του κύκλου.
2. Οι **πλευρές** της είναι :tooltip[χορδές]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου."} του κύκλου, ή η μία πλευρά είναι χορδή και η άλλη :tooltip[εφαπτομένη]{content="Ευθεία που 'αγγίζει' τον κύκλο σε ένα μόνο σημείο."} στο άκρο της χορδής.

### Το αντίστοιχο τόξο

Όταν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου και οι δύο πλευρές τέμνουν τον κύκλο, το :tooltip[τόξο]{content="Συνεχές τμήμα της περιφέρειας ενός κύκλου."} \( \overset{\frown}{ΒΓ} \) που περιέχεται μέσα στη γωνία λέγεται **αντίστοιχο τόξο** της. Λέμε τότε ότι η γωνία **βαίνει** σε αυτό το τόξο — μια έκφραση που θα συναντάς συνεχώς στα θεωρήματα που ακολουθούν.

:::alert{title="Και οι δύο προϋποθέσεις μαζί"}
Δεν αρκεί η κορυφή να είναι πάνω στον κύκλο. Πρέπει και οι πλευρές να είναι χορδές (ή χορδή και εφαπτομένη). Μια γωνία με κορυφή στον κύκλο αλλά με πλευρές που δεν αγγίζουν ξανά τον κύκλο δεν είναι εγγεγραμμένη.
:::

# Τα τρία είδη γωνιών στον κύκλο 🎯

Ανάλογα με τη **θέση της κορυφής** και με το **τι είναι οι πλευρές**, ξεχωρίζουμε τρεις περιπτώσεις γωνιών που σχετίζονται με έναν κύκλο.

| Γωνία | Πού είναι η κορυφή | Τι είναι οι πλευρές |
|---|---|---|
| Επίκεντρη | Στο **κέντρο** του κύκλου | Ακτίνες του κύκλου |
| Εγγεγραμμένη | **Πάνω** στον κύκλο | Και οι δύο τέμνουν τον κύκλο (χορδές) |
| Χορδής και εφαπτομένης | **Πάνω** στον κύκλο | Η μία τέμνουσα, η άλλη εφαπτομένη |

### Πώς τις αναγνωρίζεις

Ξεκίνα πάντα από την κορυφή. Αν είναι στο κέντρο, η γωνία είναι **επίκεντρη**. Αν είναι σημείο του κύκλου, κοίτα τις πλευρές: δύο τέμνουσες σημαίνει **εγγεγραμμένη**, μία τέμνουσα και μία εφαπτομένη σημαίνει **γωνία χορδής και εφαπτομένης**.

:::alert{title="Το πιο συχνό μπέρδεμα"}
Η κορυφή στο **εσωτερικό** του κύκλου αλλά όχι στο κέντρο δεν δίνει ούτε επίκεντρη ούτε εγγεγραμμένη γωνία. Η επίκεντρη θέλει την κορυφή ακριβώς στο κέντρο, η εγγεγραμμένη ακριβώς πάνω στην περιφέρεια.
:::

# Το θεώρημα εγγεγραμμένης και επίκεντρης 🤔

Αυτή είναι η κεντρική ιδέα όλης της ενότητας — το θεώρημα στο οποίο στηρίζονται όλα τα υπόλοιπα.

**ΘΕΩΡΗΜΑ**
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το **μισό** της :tooltip[επίκεντρης]{content="Γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου."} γωνίας που βαίνει στο **ίδιο τόξο**.

Δηλαδή, όταν μια εγγεγραμμένη και μια επίκεντρη γωνία βαίνουν στο ίδιο τόξο:

\[
\text{εγγεγραμμένη} = \frac{1}{2} \cdot \text{επίκεντρη}
\]

### Πώς το χρησιμοποιείς

Η σχέση δουλεύει και προς τις δύο κατευθύνσεις. Αν ξέρεις την επίκεντρη, **διαιρείς με 2** για να βρεις την εγγεγραμμένη. Αν ξέρεις την εγγεγραμμένη, **διπλασιάζεις** για να βρεις την επίκεντρη. Για παράδειγμα, επίκεντρη \( 70^\circ \) δίνει εγγεγραμμένη \( 35^\circ \), ενώ εγγεγραμμένη \( 50^\circ \) δίνει επίκεντρη \( 100^\circ \).

:::alert{title="Μισό, όχι ίσο"}
Το πιο συχνό λάθος είναι να θεωρήσεις ότι η εγγεγραμμένη ισούται με την επίκεντρη. Είναι το **μισό** της. Και οι δύο γωνίες πρέπει επίσης να βαίνουν στο **ίδιο** τόξο — αλλιώς η σχέση δεν ισχύει.
:::

# Τα πορίσματα του θεωρήματος 💡

Από το θεώρημα «εγγεγραμμένη ίση με το μισό της επίκεντρης» προκύπτουν τρία πορίσματα που χρησιμοποιούνται συνεχώς στις ασκήσεις.

### i) Η γωνία είναι το μισό του τόξου της

Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το **μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου** της. Έτσι, μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε τόξο \( 80^\circ \) έχει μέτρο \( 40^\circ \).

### ii) Η γωνία σε ημικύκλιο είναι ορθή 🌓

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε :tooltip[ημικύκλιο]{content="Το μισό ενός κύκλου, που ορίζεται από μια διάμετρο."} είναι **ορθή**, δηλαδή \( 90^\circ \).

### iii) Ίσα τόξα, ίσες γωνίες 🤝

Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο **ίδιο ή σε ίσα τόξα** του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι **ίσες** — και **αντίστροφα**.

:::fact{title="Μια ορθή γωνία που δεν αλλάζει"}
Το ημικύκλιο αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία \( 180^\circ \), γιατί οι πλευρές της βρίσκονται πάνω σε μια :tooltip[διάμετρο]{content="Η μεγαλύτερη χορδή ενός κύκλου, που περνά από το κέντρο του."}. Το μισό των \( 180^\circ \) είναι \( 90^\circ \). Γι' αυτό, όπου κι αν μετακινήσεις την κορυφή πάνω στο ημικύκλιο, η γωνία μένει πάντα ορθή.
:::

:::alert{title="Μην ξεχάσεις το αντίστροφο"}
Το τρίτο πόρισμα ισχύει **και προς τις δύο κατευθύνσεις**: αν δύο εγγεγραμμένες γωνίες του ίδιου κύκλου είναι ίσες, τότε βαίνουν σε ίσα τόξα. Αυτή η κατεύθυνση είναι που λύνει τις περισσότερες αποδεικτικές ασκήσεις.
:::

# Γωνία χορδής και εφαπτομένης 👍

Η τρίτη περίπτωση γωνίας στον κύκλο έχει το δικό της θεώρημα, που τη συνδέει με τις εγγεγραμμένες γωνίες.

### Πότε έχουμε τέτοια γωνία

Όταν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου, η μία πλευρά είναι **τέμνουσα** (δηλαδή περιέχει μια :tooltip[χορδή]{content="Ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία της περιφέρειας ενός κύκλου."} του κύκλου) και η άλλη πλευρά είναι :tooltip[εφαπτομένη]{content="Ευθεία που 'αγγίζει' τον κύκλο σε ένα μόνο σημείο."} του κύκλου στο άκρο της χορδής, τότε η γωνία λέγεται **γωνία χορδής και εφαπτομένης**.

### Το θεώρημα

**ΘΕΩΡΗΜΑ**
Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής **ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής**.

Με άλλα λόγια, μια τέτοια γωνία «συμπεριφέρεται» ακριβώς όπως μια εγγεγραμμένη γωνία στο ίδιο τόξο — έχει το ίδιο μέτρο με αυτήν, άρα και το μισό του μέτρου του τόξου.

:::fact{title="Γιατί είναι χρήσιμο"}
Το θεώρημα αυτό σού επιτρέπει να «μεταφέρεις» μια γωνία από την εφαπτομένη στο εσωτερικό του κύκλου. Έτσι, μια γωνία που φαίνεται να μην έχει καμία σχέση με το τόξο αποκτά αμέσως γνωστό μέτρο, και η άσκηση ξεμπλοκάρει.
:::

01. Βασική Θεωρία

Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο: πού πρέπει να βρίσκεται η κορυφή της και τι πρέπει να είναι οι πλευρές της.

Ορισμός της εγγεγραμμένης γωνίας

Επίκεντρη, εγγεγραμμένη και γωνία χορδής και εφαπτομένης: πώς τις ξεχωρίζεις και τι είναι το αντίστοιχο τόξο μιας γωνίας.

Είδη γωνιών σε κύκλο

Το θεώρημα που συνδέει κάθε εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη που βαίνει στο ίδιο τόξο, και τι σημαίνει πρακτικά.

Εγγεγραμμένη και επίκεντρη γωνία

Η γωνία ως μισό του τόξου, η ορθή γωνία στο ημικύκλιο και οι ίσες γωνίες σε ίσα τόξα, με το αντίστροφό τους.

Τα τρία πορίσματα

Το θεώρημα που εξισώνει τη γωνία χορδής και εφαπτομένης με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής.

Γωνία χορδής και εφαπτομένης

# Σύνοψη: Εγγεγραμμένη Γωνία 🔎

Μια γωνία λέγεται **εγγεγραμμένη** σε κύκλο \( (O, R) \) όταν η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι :tooltip[χορδές]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου."} του κύκλου, ή η μία πλευρά είναι χορδή και η άλλη :tooltip[εφαπτομένη]{content="Ευθεία που 'αγγίζει' τον κύκλο σε ένα μόνο σημείο."} στο άκρο της χορδής. Ανάλογα με τη θέση της κορυφής και των πλευρών ξεχωρίζουμε τρεις περιπτώσεις: αν η κορυφή είναι το **κέντρο**, η γωνία είναι **επίκεντρη**· αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου και οι δύο πλευρές τέμνουν τον κύκλο, η γωνία είναι **εγγεγραμμένη** και το :tooltip[τόξο]{content="Συνεχές τμήμα της περιφέρειας ενός κύκλου."} \( \overset{\frown}{ΒΓ} \) που περιέχεται σε αυτήν λέγεται **αντίστοιχο τόξο** της· αν η μία πλευρά είναι τέμνουσα και η άλλη εφαπτομένη, έχουμε **γωνία χορδής και εφαπτομένης**.

Το βασικό θεώρημα της ενότητας συνδέει την εγγεγραμμένη με την :tooltip[επίκεντρη]{content="Γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου."} γωνία: **κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο**, δηλαδή

\[
\text{εγγεγραμμένη} = \frac{1}{2} \cdot \text{επίκεντρη}
\]

Από αυτό προκύπτουν τρία πορίσματα: (i) το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της· (ii) κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε :tooltip[ημικύκλιο]{content="Το μισό ενός κύκλου, που ορίζεται από μια διάμετρο."} είναι ορθή, δηλαδή \( 90^\circ \)· (iii) οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες, και αντίστροφα.

:::alert{title="Μισό, όχι ίσο"}
Η εγγεγραμμένη γωνία είναι το **μισό** της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο — ποτέ ίση με αυτήν. Και μην ξεχνάς ότι το πόρισμα για τα ίσα τόξα ισχύει **και αντίστροφα**: ίσες εγγεγραμμένες γωνίες σημαίνει ίσα αντίστοιχα τόξα.
:::

Τέλος, για τη γωνία χορδής και εφαπτομένης ισχύει το θεώρημα: **η γωνία που σχηματίζεται από μια χορδή του κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής**.

:::fact{title="Μια ορθή γωνία που δεν αλλάζει"}
Επειδή το ημικύκλιο αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία \( 180^\circ \), η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε αυτό βγαίνει πάντα \( 90^\circ \). Μπορείς να μετακινήσεις την κορυφή οπουδήποτε πάνω στο ημικύκλιο — η γωνία μένει ορθή.
:::
