Εισαγωγή στα Τετράπλευρα και Παραλληλόγραμμα 🤓

Ένα ευθύγραμμο σχήμα με τέσσερις πλευρές λέγεται τετράπλευρο. 📐
Αν ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι κυρτό, τότε οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΒΔ τέμνονται σε εσωτερικό σημείο Ο. Όταν λέμε τετράπλευρο, συνήθως εννοούμε κυρτό τετράπλευρο.

Υπάρχουν ειδικές κατηγορίες τετραπλεύρων:

Τραπέζιο: Έχει (τουλάχιστον) δύο πλευρές παράλληλες.
Παραλληλόγραμμο: Έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες.

Παραλληλόγραμμα ✨

Ορισμός

Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.
Δηλαδή, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, όταν ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ.

Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
i) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. 💪
ii) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 📐
iii) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, δηλαδή καθεμιά τέμνει την άλλη στο μέσο της. ↔️

ΑΠΟΔΕΙΞΗ των i), ii)
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ. Έχουμε:

ΒΔ κοινή πλευρά.
$\hat{Β}_1 = \hat{Δ}_1 = ω$ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ, ΒΓ με τέμνουσα τη ΒΔ).
$\hat{Δ}_2 = \hat{Β}_2 = φ$ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ με τέμνουσα τη ΒΔ).

Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ είναι ίσα (κριτήριο Γ-Π-Γ). Επομένως:

ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ (απέναντι πλευρές ίσες - ιδιότητα i).
$\hat{Α} = \hat{Γ}$ (απέναντι γωνίες ίσες).
Επίσης έχουμε $\hat{Β} = \hat{Β}_1 + \hat{Β}_2 = ω + φ$ και $\hat{Δ} = \hat{Δ}_1 + \hat{Δ}_2 = ω + φ$ . Άρα $\hat{Β} = \hat{Δ}$ (απέναντι γωνίες ίσες - ιδιότητα ii).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ της ιδιότητας iii)
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ. Έχουμε:

ΑΒ = ΓΔ (ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου).
$\hat{Β}_1 = \hat{Δ}_1 = ω$ (ως εντός εναλλάξ των ΑΔ // ΒΓ).
$\hat{Α}_1 = \hat{Γ}_1 = φ$ (ως εντός εναλλάξ των ΑΒ // ΓΔ).
Άρα, τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ είναι ίσα (κριτήριο Γ-Π-Γ). Επομένως ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. ✅

ΠΟΡΙΣΜΑ Ι

Το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του. 💡

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ

Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες είναι ίσα.

Αν τα τμήματα (π.χ. ΑΑ', ΒΒ') είναι κάθετα στις παράλληλες $ε_1, ε_2$ , το κοινό μήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου και είναι κάθετο σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου, ενώ οι απέναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος. 📏

Κριτήρια για παραλληλόγραμμα

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, αρκεί να ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις (κριτήρια):
i) Οι απέναντι πλευρές του ανά δύο είναι ίσες.
ii) Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες.
iii) Οι απέναντι γωνίες του ανά δύο είναι ίσες.
iv) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.

Ιδιότητα ή κριτήριο; Μην τα μπερδεύεις!

Η ίδια πρόταση παίζει δύο εντελώς διαφορετικούς ρόλους, ανάλογα με το τι ξέρεις και τι θέλεις να δείξεις.
Ως ιδιότητα ξεκινάς από το «είναι παραλληλόγραμμο» και συμπεραίνεις, π.χ., ότι οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.
Ως κριτήριο ξεκινάς από το «οι διαγώνιοί του διχοτομούνται» και συμπεραίνεις ότι είναι παραλληλόγραμμο.
Πριν γράψεις οτιδήποτε, ρώτησε: το παραλληλόγραμμο είναι η υπόθεση ή το ζητούμενο;

Το «ίσες» από μόνο του δεν αρκεί

Το κριτήριο ii) απαιτεί δύο απέναντι πλευρές να είναι ταυτόχρονα ίσες και παράλληλες. Αν ξέρεις μόνο ότι δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες, χωρίς καμία πληροφορία για παραλληλία, το τετράπλευρο μπορεί και να μην είναι παραλληλόγραμμο. Χρειάζονται και οι δύο συνθήκες μαζί.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ (για το κριτήριο i)
Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ στο οποίο ισχύει ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ.

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ:

ΑΒ = ΓΔ (από υπόθεση).
ΑΔ = ΒΓ (από υπόθεση).
ΒΔ κοινή πλευρά.

Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ είναι ίσα (κριτήριο Π-Π-Π). Επομένως:

$\hat{Β}_1 = \hat{Δ}_1 = ω$ . Επειδή οι γωνίες αυτές είναι εντός εναλλάξ ως προς τις ΑΔ, ΒΓ και τέμνουσα τη ΒΔ, συμπεραίνουμε ότι ΑΔ // ΒΓ.
$\hat{Δ}_2 = \hat{Β}_2 = φ$ . Επειδή οι γωνίες αυτές είναι εντός εναλλάξ ως προς τις ΑΒ, ΓΔ και τέμνουσα τη ΒΔ, συμπεραίνουμε ότι ΑΒ // ΓΔ.
Αφού ΑΔ // ΒΓ και ΑΒ // ΓΔ, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 🎉