Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Τετράπλευρα: το σχήμα με τις τέσσερις πλευρές 📐

Κάθε **ευθύγραμμο σχήμα με τέσσερις πλευρές** λέγεται **τετράπλευρο**. Οι κορυφές του συμβολίζονται συνήθως με τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ και το σχήμα γράφεται ΑΒΓΔ, ακολουθώντας τη σειρά με την οποία συναντάμε τις κορυφές καθώς περπατάμε γύρω από το σχήμα.

### Κυρτά τετράπλευρα και οι διαγώνιοί τους

Ένα σχήμα λέγεται :tooltip[κυρτό]{content="Ένα σχήμα είναι κυρτό αν οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του σχήματος περιέχεται ολόκληρο μέσα στο σχήμα."} όταν κανένα σημείο του δεν «βουλιάζει» προς τα μέσα. Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι κυρτό, τότε οι :tooltip[διαγώνιοί]{content="Ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές ενός πολυγώνου."} του ΑΓ και ΒΔ τέμνονται σε ένα **εσωτερικό** σημείο Ο.

Το σημείο Ο αυτό δεν είναι απλώς μια λεπτομέρεια: πάνω του στηρίζονται πολλές αποδείξεις για τα παραλληλόγραμμα, γιατί χωρίζει το σχήμα σε τρίγωνα που μπορούμε να συγκρίνουμε.

:::alert{title="Τι εννοούμε όταν λέμε απλώς «τετράπλευρο»"}
Στη Γεωμετρία της Α' Λυκείου, όταν λέμε σκέτο «τετράπλευρο», **εννοούμε πάντα κυρτό τετράπλευρο**. Έτσι μπορούμε να θεωρούμε δεδομένο ότι οι διαγώνιοι τέμνονται μέσα στο σχήμα, χωρίς να το ξαναγράφουμε κάθε φορά.
:::

### Δύο ειδικές κατηγορίες

Ανάμεσα σε όλα τα τετράπλευρα ξεχωρίζουμε δύο οικογένειες, με βάση το πόσα ζεύγη παράλληλων πλευρών έχουν:

| Σχήμα | Συνθήκη παραλληλίας |
|---|---|
| **Τραπέζιο** | Έχει (τουλάχιστον) **δύο** πλευρές παράλληλες |
| **Παραλληλόγραμμο** | Έχει τις **απέναντι** πλευρές του παράλληλες, δηλαδή **δύο ζεύγη** |

Το παραλληλόγραμμο είναι λοιπόν η «πλουσιότερη» περίπτωση: επειδή απαιτεί περισσότερα, χαρίζει και περισσότερα, όπως θα φανεί από τις ιδιότητές του.

# Ο ορισμός του παραλληλογράμμου ✨

**Παραλληλόγραμμο** λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις **απέναντι πλευρές του παράλληλες**.

Σε σύμβολα: το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο όταν
\[
ΑΒ \parallel ΓΔ \quad \text{και} \quad ΑΔ \parallel ΒΓ
\]

### Τι σημαίνει «ο ορισμός» σε μια απόδειξη

Ο ορισμός είναι η μοναδική πληροφορία που έχουμε στην αρχή. Όλα τα υπόλοιπα — ίσες πλευρές, ίσες γωνίες, διαγώνιοι που διχοτομούνται — **δεν είναι μέρος του ορισμού**· είναι συμπεράσματα που θα αποδειχθούν ξεκινώντας μόνο από τις δύο παραλληλίες.

Αυτό είναι και το κλειδί για κάθε άσκηση: όταν κάπου διαβάζεις «το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο», μεταφράζεις αμέσως σε «ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ» και ψάχνεις μια τέμνουσα — συνήθως μια διαγώνιο — για να αξιοποιήσεις τις :tooltip[εντός εναλλάξ]{content="Γωνίες που σχηματίζονται εκατέρωθεν μιας τέμνουσας μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών και βρίσκονται στο εσωτερικό των παραλλήλων."} γωνίες.

:::fact{title="Γιατί η διαγώνιος είναι το αγαπημένο εργαλείο"}
Μια διαγώνιος κάνει δύο δουλειές ταυτόχρονα: **χωρίζει** το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα που μπορούμε να συγκρίνουμε και **λειτουργεί ως τέμνουσα** και για τα δύο ζεύγη παράλληλων πλευρών. Γι' αυτό σχεδόν κάθε απόδειξη για παραλληλόγραμμα ξεκινά με «φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ».
:::

# Οι τρεις ιδιότητες κάθε παραλληλογράμμου 💪

Μόλις ξέρουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, παίρνουμε **δωρεάν** τρεις πληροφορίες. Ισχύουν πάντα, χωρίς να χρειάζεται να ελέγξουμε τίποτε άλλο.

### Οι ιδιότητες

| # | Ιδιότητα | Τι σημαίνει στο σχήμα ΑΒΓΔ |
|---|---|---|
| i | Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες | ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ |
| ii | Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες | \(\hat{Α} = \hat{Γ}\) και \(\hat{Β} = \hat{Δ}\) |
| iii | Οι διαγώνιοι διχοτομούνται | ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ |

Το «διχοτομούνται» σημαίνει ότι καθεμιά διαγώνιος τέμνει την άλλη **στο μέσο της**: το σημείο τομής Ο είναι ταυτόχρονα μέσο και της ΑΓ και της ΒΔ. ↔️

### Πώς τις χρησιμοποιούμε

Σε μια άσκηση όπου δίνεται παραλληλόγραμμο, οι τρεις αυτές ιδιότητες είναι έτοιμα «δεδομένα» που μπορείς να γράψεις αμέσως. Συχνά ένα πρόβλημα λύνεται μόλις σημειώσεις στο σχήμα ποιες πλευρές είναι ίσες και ποιο σημείο είναι μέσο.

:::alert{title="Οι απέναντι, όχι οι διαδοχικές"}
Οι ιδιότητες αφορούν **απέναντι** πλευρές και **απέναντι** γωνίες. Δύο **διαδοχικές** πλευρές ενός παραλληλογράμμου γενικά **δεν** είναι ίσες, όπως και δύο διαδοχικές γωνίες δεν είναι ίσες. Επίσης, «οι διαγώνιοι διχοτομούνται» δεν σημαίνει ότι είναι ίσες μεταξύ τους — αυτό είναι εντελώς διαφορετική πληροφορία.
:::

# Η απόδειξη των ιδιοτήτων i) και ii) 🔍

Ξεκινάμε από παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, δηλαδή γνωρίζουμε **μόνο** ότι ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ. Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ και συγκρίνουμε τα τρίγωνα **ΑΒΔ** και **ΒΓΔ**.

### Τα τρία στοιχεία της σύγκρισης

- ΒΔ **κοινή** πλευρά και για τα δύο τρίγωνα.
- \( \hat{Β}_1 = \hat{Δ}_1 = ω \), ως :tooltip[εντός εναλλάξ]{content="Γωνίες που σχηματίζονται εκατέρωθεν μιας τέμνουσας μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών και βρίσκονται στο εσωτερικό των παραλλήλων."} των παραλλήλων ΑΔ, ΒΓ με τέμνουσα τη ΒΔ.
- \( \hat{Δ}_2 = \hat{Β}_2 = φ \), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ με τέμνουσα πάλι τη ΒΔ.

Έχουμε λοιπόν μία πλευρά ανάμεσα σε δύο γωνίες: τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ είναι **ίσα** με το κριτήριο **Γ-Π-Γ**.

### Τι μας δίνει η ισότητα

Από τα ίσα τρίγωνα προκύπτουν αμέσως:

- **ΑΒ = ΓΔ** και **ΑΔ = ΒΓ** — αυτή είναι η ιδιότητα i).
- \( \hat{Α} = \hat{Γ} \), ως αντίστοιχες γωνίες ίσων τριγώνων.

Για το δεύτερο ζεύγος γωνιών δουλεύουμε με πρόσθεση: η γωνία Β του παραλληλογράμμου χωρίζεται από τη ΒΔ σε δύο κομμάτια, και το ίδιο η γωνία Δ. Άρα
\[
\hat{Β} = \hat{Β}_1 + \hat{Β}_2 = ω + φ, \qquad \hat{Δ} = \hat{Δ}_1 + \hat{Δ}_2 = ω + φ
\]
οπότε \( \hat{Β} = \hat{Δ} \) — η ιδιότητα ii). ✅

:::fact{title="Δύο γωνίες με μία κίνηση"}
Παρατήρησε ότι η γωνία Α και η γωνία Γ είναι ολόκληρες μέσα στα τρίγωνα, γι' αυτό βγαίνουν κατευθείαν ίσες. Οι γωνίες Β και Δ όμως «κόβονται» στη μέση από τη διαγώνιο, γι' αυτό χρειάζονται το επιπλέον βήμα της πρόσθεσης ω + φ.
:::

# Η απόδειξη ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται 🔗

Εδώ αξιοποιούμε το σημείο **Ο**, την τομή των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, και συγκρίνουμε τα τρίγωνα **ΟΑΒ** και **ΟΓΔ**.

### Η σύγκριση βήμα βήμα

- **ΑΒ = ΓΔ**, ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου. Προσοχή: αυτό το ξέρουμε ήδη, επειδή έχει **προηγηθεί** η απόδειξη της ιδιότητας για τις πλευρές.
- \( \hat{Β}_1 = \hat{Δ}_1 = ω \), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ // ΒΓ.
- \( \hat{Α}_1 = \hat{Γ}_1 = φ \), ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ // ΓΔ.

Πάλι έχουμε μία πλευρά προσκείμενη σε δύο γωνίες, άρα τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα με το κριτήριο **Γ-Π-Γ**. Επομένως
\[
ΟΑ = ΟΓ \quad \text{και} \quad ΟΒ = ΟΔ
\]
δηλαδή το Ο είναι μέσο και των δύο διαγωνίων: οι διαγώνιοι :tooltip[διχοτομούν]{content="Χωρίζουν μια γωνία ή ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα μέρη."}ται. ✅

### Το πόρισμα για το κέντρο συμμετρίας

:::fact{title="Πόρισμα Ι: το Ο είναι κέντρο συμμετρίας"}
Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι :tooltip[κέντρο συμμετρίας]{content="Ένα σημείο ως προς το οποίο κάθε σημείο του σχήματος έχει ένα συμμετρικό που ανήκει επίσης στο σχήμα."} του. Πρακτικά: αν στρέψεις το παραλληλόγραμμο κατά μισή στροφή γύρω από το Ο, πέφτει ακριβώς πάνω στον εαυτό του. 💡
:::

:::alert{title="Η σειρά των αποδείξεων έχει σημασία"}
Η απόδειξη αυτή **χρησιμοποιεί** την ιδιότητα ΑΒ = ΓΔ, που αποδείχθηκε πρώτη. Δεν επιτρέπεται να αντιστρέψεις τη σειρά και να στηρίξεις τις ίσες πλευρές στις διχοτομούμενες διαγωνίους — θα ήταν κυκλικό επιχείρημα.
:::

# Παράλληλα τμήματα, αποστάσεις και ύψη 📏

### Πόρισμα ΙΙ: ίσα παράλληλα τμήματα

:::fact{title="Πόρισμα ΙΙ"}
Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες είναι **ίσα**.
:::

Ο λόγος είναι απλός: αν τα τμήματα ΑΑ' και ΒΒ' είναι παράλληλα μεταξύ τους και οι ευθείες που περιέχουν τα άκρα τους είναι επίσης παράλληλες, τότε το σχήμα ΑΒΒ'Α' έχει και τα δύο ζεύγη απέναντι πλευρών παράλληλα — είναι δηλαδή παραλληλόγραμμο, οπότε ΑΑ' = ΒΒ' ως απέναντι πλευρές του.

### Η απόσταση δύο παραλλήλων

Αν τα τμήματα αυτά (π.χ. ΑΑ', ΒΒ') είναι **κάθετα** στις παράλληλες \( ε_1, ε_2 \), τότε είναι πάλι ίσα μεταξύ τους και το κοινό τους μήκος ονομάζεται **απόσταση των παραλλήλων**. Δύο παράλληλες ευθείες έχουν λοιπόν μία και μοναδική απόσταση: ισαπέχουν παντού.

### Ύψος και βάσεις παραλληλογράμμου

| Όρος | Ορισμός |
|---|---|
| **Ύψος** | Κάθε ευθύγραμμο τμήμα με άκρα στις ευθείες δύο απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου, κάθετο σε αυτές |
| **Βάσεις** | Οι δύο απέναντι πλευρές ως προς τις οποίες φέρθηκε το συγκεκριμένο ύψος |

:::alert{title="Ένα παραλληλόγραμμο έχει δύο διαφορετικά ύψη"}
Κάθε παραλληλόγραμμο έχει **δύο ζεύγη** απέναντι πλευρών, άρα και δύο διαφορετικά ύψη — ένα ως προς κάθε ζεύγος βάσεων. Οι όροι «ύψος» και «βάση» πάνε πάντα μαζί: δεν έχει νόημα να μιλάμε για το ύψος χωρίς να πούμε ως προς ποιες βάσεις. Πρόσεξε ακόμη ότι το ύψος έχει τα άκρα του στις **ευθείες** των πλευρών, οπότε μπορεί να πέφτει και έξω από το σχήμα.
:::

# Τα κριτήρια: πώς αποδεικνύουμε ότι κάτι είναι παραλληλόγραμμο 🎯

Μέχρι τώρα ξεκινούσαμε από ένα παραλληλόγραμμο. Τώρα κάνουμε το αντίστροφο: έχουμε ένα τυχαίο τετράπλευρο και θέλουμε να **αποδείξουμε** ότι είναι παραλληλόγραμμο. Αρκεί να ισχύει **μία** από τις παρακάτω τέσσερις προτάσεις.

### Τα τέσσερα κριτήρια

| # | Κριτήριο |
|---|---|
| i | Οι απέναντι πλευρές του ανά δύο είναι ίσες |
| ii | Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες **και** παράλληλες |
| iii | Οι απέναντι γωνίες του ανά δύο είναι ίσες |
| iv | Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται |

Μόλις ένα από αυτά επαληθευτεί, το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και κληρονομεί **αυτόματα όλες** τις ιδιότητες — δεν χρειάζεται να ελέγξεις και τα υπόλοιπα κριτήρια.

### Ιδιότητες και κριτήρια: η ίδια πρόταση, αντίστροφη φορά

| Πρόταση | Ως ιδιότητα (υπόθεση → συμπέρασμα) | Ως κριτήριο (υπόθεση → συμπέρασμα) |
|---|---|---|
| Απέναντι πλευρές ίσες | Παραλληλόγραμμο → ίσες πλευρές | Ίσες πλευρές → παραλληλόγραμμο |
| Απέναντι γωνίες ίσες | Παραλληλόγραμμο → ίσες γωνίες | Ίσες γωνίες → παραλληλόγραμμο |
| Διαγώνιοι διχοτομούνται | Παραλληλόγραμμο → διχοτομούνται | Διχοτομούνται → παραλληλόγραμμο |
| Δύο πλευρές ίσες και παράλληλες | — | Ίσες και παράλληλες → παραλληλόγραμμο |

:::alert{title="Η πιο συχνή παγίδα"}
Πριν γράψεις οτιδήποτε, ρώτησε: **το παραλληλόγραμμο είναι η υπόθεση ή το ζητούμενο;** Αν σου δίνεται, χρησιμοποιείς ιδιότητα. Αν σου ζητείται, χρησιμοποιείς κριτήριο. Πρόσεξε επίσης το κριτήριο ii): απαιτεί δύο απέναντι πλευρές να είναι **ταυτόχρονα** ίσες **και** παράλληλες — μόνη της η ισότητα δεν αρκεί.
:::

# Η απόδειξη του κριτηρίου των ίσων απέναντι πλευρών 🎉

Θέλουμε να δείξουμε: αν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ, τότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Προσοχή στη φορά: εδώ η παραλληλία είναι το **ζητούμενο**, όχι το δεδομένο.

### Η σύγκριση των τριγώνων

Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ και συγκρίνουμε τα τρίγωνα **ΑΒΔ** και **ΒΓΔ**:

- ΑΒ = ΓΔ, από υπόθεση.
- ΑΔ = ΒΓ, από υπόθεση.
- ΒΔ κοινή πλευρά.

Και οι τρεις πλευρές ίσες μία προς μία, άρα τα τρίγωνα είναι ίσα με το κριτήριο **Π-Π-Π**.

### Από τις ίσες γωνίες στην παραλληλία

Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτουν ίσες γωνίες, και εδώ γίνεται το κρίσιμο βήμα — διαβάζουμε την ισότητα των εντός εναλλάξ γωνιών **ανάποδα**, ως απόδειξη παραλληλίας:

- \( \hat{Β}_1 = \hat{Δ}_1 = ω \). Οι γωνίες αυτές είναι εντός εναλλάξ ως προς τις ΑΔ, ΒΓ με τέμνουσα τη ΒΔ, άρα **ΑΔ // ΒΓ**.
- \( \hat{Δ}_2 = \hat{Β}_2 = φ \). Οι γωνίες αυτές είναι εντός εναλλάξ ως προς τις ΑΒ, ΓΔ με τέμνουσα τη ΒΔ, άρα **ΑΒ // ΓΔ**.

Αφού ΑΔ // ΒΓ και ΑΒ // ΓΔ, ικανοποιείται ακριβώς ο ορισμός: το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 🎉

:::fact{title="Το ίδιο θεώρημα διαβάζεται και προς τις δύο κατευθύνσεις"}
Στην απόδειξη των ιδιοτήτων χρησιμοποιήσαμε τη σχέση «παράλληλες ευθείες → ίσες εντός εναλλάξ γωνίες». Εδώ τη χρησιμοποιούμε αντίστροφα: «ίσες εντός εναλλάξ γωνίες → παράλληλες ευθείες». Αυτή η αμφίδρομη ανάγνωση είναι που κάνει κάθε ιδιότητα να έχει το αντίστροφό της κριτήριο.
:::

01. Βασική Θεωρία

Τι είναι τετράπλευρο, τι σημαίνει να είναι κυρτό, πώς συμπεριφέρονται οι διαγώνιοί του και ποιες ειδικές κατηγορίες ξεχωρίζουμε.

Τετράπλευρα και οι κατηγορίες τους

Η συνθήκη που κάνει ένα τετράπλευρο παραλληλόγραμμο και πώς γράφεται με σύμβολα για το τετράπλευρο ΑΒΓΔ.

Ορισμός του παραλληλογράμμου

Τι ισχύει αυτόματα σε κάθε παραλληλόγραμμο για τις πλευρές, τις γωνίες και τις διαγωνίους του, χωρίς να χρειάζεται έλεγχος.

Οι τρεις ιδιότητες του παραλληλογράμμου

Πώς η σύγκριση δύο τριγώνων με τα κριτήρια ισότητας οδηγεί βήμα βήμα σε καθεμιά από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου.

Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων

Το κέντρο συμμετρίας, τα ίσα παράλληλα τμήματα ανάμεσα σε παράλληλες ευθείες, και τι ονομάζουμε απόσταση, ύψος και βάση.

Πορίσματα, αποστάσεις και ύψη

Οι τέσσερις προτάσεις που, αν ισχύει έστω μία, εγγυώνται ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, και η απόδειξη της πρώτης.

Τα κριτήρια των παραλληλογράμμων

# Παραλληλόγραμμα: Γρήγορη Επανάληψη 🔷

Κάθε ευθύγραμμο σχήμα με τέσσερις πλευρές λέγεται **τετράπλευρο**. Όταν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι :tooltip[κυρτό]{content="Ένα σχήμα είναι κυρτό αν οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του σχήματος περιέχεται ολόκληρο μέσα στο σχήμα."}, οι :tooltip[διαγώνιοί]{content="Ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές ενός πολυγώνου."} του ΑΓ και ΒΔ τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο Ο — και όταν λέμε απλώς «τετράπλευρο», αυτό εννοούμε. Δύο ειδικές κατηγορίες τετραπλεύρων είναι το **τραπέζιο**, που έχει (τουλάχιστον) δύο πλευρές παράλληλες, και το **παραλληλόγραμμο**, που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

## Ορισμός και ιδιότητες

Παραλληλόγραμμο είναι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ // ΒΓ. Από τον ορισμό αυτόν και μόνο προκύπτουν τρεις ιδιότητες που ισχύουν σε **κάθε** παραλληλόγραμμο: i) οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, ii) οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, iii) οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Οι δύο πρώτες αποδεικνύονται συγκρίνοντας τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ, που είναι ίσα με το κριτήριο Γ-Π-Γ (κοινή η ΒΔ και δύο ζεύγη εντός εναλλάξ γωνιών ίσα). Η τρίτη αποδεικνύεται συγκρίνοντας τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ, επίσης με Γ-Π-Γ, οπότε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ.

Δύο πορίσματα συμπληρώνουν την εικόνα: το σημείο τομής των διαγωνίων είναι :tooltip[κέντρο συμμετρίας]{content="Ένα σημείο ως προς το οποίο κάθε σημείο του σχήματος έχει ένα συμμετρικό που ανήκει επίσης στο σχήμα."} του παραλληλογράμμου, και παράλληλα τμήματα με τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες είναι ίσα. Αν μάλιστα τα τμήματα αυτά είναι **κάθετα** στις παράλληλες \( ε_1, ε_2 \), το κοινό μήκος τους λέγεται **απόσταση** των παραλλήλων. Αντίστοιχα, κάθε τμήμα με άκρα στις ευθείες δύο απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου και κάθετο σε αυτές λέγεται **ύψος**, ενώ οι δύο απέναντι πλευρές λέγονται **βάσεις** ως προς αυτό το ύψος. 📏

## Κριτήρια

Για να **αποδείξουμε** ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, αρκεί να ισχύει ένα μόνο από τα εξής: i) οι απέναντι πλευρές του ανά δύο είναι ίσες, ii) δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες, iii) οι απέναντι γωνίες του ανά δύο είναι ίσες, iv) οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Η απόδειξη του πρώτου κριτηρίου φέρνει τη διαγώνιο ΒΔ και συγκρίνει τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ με το κριτήριο Π-Π-Π· από την ισότητα των εντός εναλλάξ γωνιών προκύπτει ΑΔ // ΒΓ και ΑΒ // ΓΔ, δηλαδή ο ορισμός του παραλληλογράμμου.

:::alert{title="Ιδιότητα ή κριτήριο; Η κλασική παγίδα"}
Οι ίδιες προτάσεις εμφανίζονται και στις ιδιότητες και στα κριτήρια, αλλά με αντίστροφη φορά. Στην **ιδιότητα** το παραλληλόγραμμο είναι η υπόθεση («είναι παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται»). Στο **κριτήριο** είναι το ζητούμενο («οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, άρα είναι παραλληλόγραμμο»). Πάντα εντόπισε πρώτα τι σου δίνεται και τι σου ζητείται.
:::

:::fact{title="Ένα κριτήριο αρκεί — αλλά όχι μισό"}
Δεν χρειάζεται να ελέγξεις και τις τέσσερις προτάσεις: αν ισχύει **μία**, το τετράπλευρο είναι σίγουρα παραλληλόγραμμο και αυτόματα κληρονομεί όλες τις υπόλοιπες ιδιότητες. Προσοχή όμως στο κριτήριο ii): εκεί οι δύο συνθήκες («ίσες» και «παράλληλες») μετράνε ως μία και πρέπει να ισχύουν μαζί.
:::
