Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου και Κυρτού ν-γώνου ➕📐

Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου ➕📐

ΘΕΩΡΗΜΑ
Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές ( $180^\circ$ ). 🤓

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Φέρνουμε από την κορυφή Α μια ευθεία xy παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ. Έτσι δημιουργούνται γύρω από το Α δύο νέες γωνίες, η $\omega$ (προς τη μεριά της ΑΒ) και η $\phi$ (προς τη μεριά της ΑΓ). Τότε:

Η γωνία $\omega$ είναι ίση με τη γωνία $\hat{B}$ , δηλαδή $\omega = \hat{B}$ (1), γιατί είναι εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων xy // ΒΓ που τέμνονται από την ΑΒ.
Η γωνία $\phi$ είναι ίση με τη γωνία $\hat{\Gamma}$ , δηλαδή $\phi = \hat{\Gamma}$ (2), για τον ίδιο λόγο, με τέμνουσα τώρα την ΑΓ.

Οι γωνίες $\omega$ , $\hat{A}$ και $\phi$ είναι διαδοχικές και σχηματίζουν ευθεία γωνία γύρω από το Α, άρα:

\omega + \hat{A} + \phi = 2L

Αυτή είναι η σχέση (3), όπου το L συμβολίζει την ορθή γωνία. Αντικαθιστώντας τις (1) και (2) στην (3), παίρνουμε:

\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 2L

Δηλαδή το άθροισμα των τριών γωνιών του τριγώνου είναι $180^\circ$ . ✅

Χωρίς τις παράλληλες δεν υπάρχει απόδειξη

Η απόδειξη στηρίζεται εξ ολοκλήρου στην παράλληλη που φέρνουμε από την κορυφή Α και στις εντός εναλλάξ γωνίες. Δεν πρόκειται για μια ιδιότητα που «φαίνεται» με το μάτι ή που την επιβεβαιώνουμε μετρώντας γωνίες σε ένα σχήμα: η μέτρηση δίνει πάντα μικρά σφάλματα, ενώ η απόδειξη ισχύει για κάθε τρίγωνο.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ (Τι άλλο μαθαίνουμε από αυτό το θεώρημα;)

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών.

Απόδειξη: Ξέρουμε ότι $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 2L$ . Επίσης, η εξωτερική γωνία $\hat{\Gamma}_{\epsilon\xi}$ και η εσωτερική $\hat{\Gamma}$ είναι παραπληρωματικές, άρα $\hat{\Gamma}_{\epsilon\xi} + \hat{\Gamma} = 2L$ . Συγκρίνοντας τις δύο σχέσεις έχουμε $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = \hat{\Gamma}_{\epsilon\xi} + \hat{\Gamma}$ , που σημαίνει $\hat{\Gamma}_{\epsilon\xi} = \hat{A} + \hat{B}$ .

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες (μία προς μία), τότε και οι τρίτες τους γωνίες είναι ίσες. 👍
Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές, δηλαδή το άθροισμά τους είναι $90^\circ$ .
Κάθε γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι $60^\circ$ .

Ποιες είναι οι «απέναντι» γωνίες;

Η εξωτερική γωνία της κορυφής Γ ισούται με $\hat{A} + \hat{B}$ , δηλαδή με τις δύο άλλες γωνίες του τριγώνου — όχι με την εσωτερική γωνία $\hat{\Gamma}$ της ίδιας κορυφής. Με την $\hat{\Gamma}$ η εξωτερική είναι παραπληρωματική, όχι ίση.

Γωνίες με Πλευρές Κάθετες 📐↔️📐

ΘΕΩΡΗΜΑ
Δύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. 🤔

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω οι γωνίες $x\hat{O}y = \omega$ και $x'\hat{O'}y' = \phi$ , των οποίων οι πλευρές είναι κάθετες: Ox ⊥ O'x' και Oy ⊥ O'y'.

Στα τρίγωνα ΟΑΓ και Ο'ΒΓ που σχηματίζονται έχουμε:

$\hat{A} = \hat{B} = 1L$ , δηλαδή είναι ορθές γωνίες, λόγω της καθετότητας των πλευρών.
$\hat{\Gamma}_1 = \hat{\Gamma}_2$ , ως κατακορυφήν γωνίες.

Αφού τα δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, θα έχουν και την τρίτη τους γωνία ίση. Άρα $\omega = \phi$ . 🎉

Το θεώρημα του τριγώνου δουλεύει σαν εργαλείο

Προσέξτε τι έγινε εδώ: το πόρισμα «δύο γωνίες ίσες ⟹ και οι τρίτες ίσες» χρησιμοποιήθηκε αμέσως για να αποδειχθεί ένα εντελώς διαφορετικό θεώρημα. Έτσι χτίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία — κάθε αποτέλεσμα που αποδεικνύεται γίνεται εργαλείο για το επόμενο.

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ

i) Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι επίσης ίσες.

Απόδειξη: Αν $\theta$ και $\theta'$ είναι οι αμβλείες γωνίες και $\omega$ , $\phi$ οι αντίστοιχες οξείες που σχηματίζονται από τις ίδιες ημιευθείες, τότε $\theta + \omega = 2L$ και $\theta' + \phi = 2L$ . Αφού $\omega = \phi$ από το θεώρημα, προκύπτει $\theta = \theta'$ .

ii) Αν έχουμε δύο γωνίες με κάθετες πλευρές, αλλά η μία είναι οξεία ( $\phi$ ) και η άλλη αμβλεία ( $\theta$ ), τότε είναι παραπληρωματικές, δηλαδή το άθροισμά τους είναι $180^\circ$ .

Απόδειξη: Έχουμε $\theta + \omega = 2L$ , όπου $\omega$ η οξεία γωνία που αντιστοιχεί στην $\theta$ . Αφού $\omega = \phi$ , αντικαθιστώντας παίρνουμε $\theta + \phi = 2L$ .

Κάθετες πλευρές δεν σημαίνει πάντα ίσες γωνίες

Δύο γωνίες με κάθετες πλευρές είναι ίσες μόνο όταν είναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες. Αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία, τότε δεν είναι ίσες αλλά παραπληρωματικές. Πριν απαντήσετε, δείτε πάντα τι είδους είναι οι δύο γωνίες.

Άθροισμα Γωνιών Κυρτού ν-γώνου ➕

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι $(2\nu - 4)$ ορθές: 💯✨

\hat{A_1} + \hat{A_2} + \dots + \hat{A_\nu} = (2\nu - 4) \cdot 90^\circ

Για $\nu = 3$ η σχέση δίνει $(2 \cdot 3 - 4) = 2$ ορθές, δηλαδή $180^\circ$ , που είναι ακριβώς το θεώρημα για το τρίγωνο. Για $\nu = 4$ δίνει $(2 \cdot 4 - 4) = 4$ ορθές, δηλαδή $360^\circ$ για κάθε κυρτό τετράπλευρο.

Τι γίνεται όμως με τις εξωτερικές γωνίες; Παίρνουμε μία εξωτερική γωνία σε κάθε κορυφή.

ΠΟΡΙΣΜΑ
Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι πάντα 4 ορθές ( $360^\circ$ ), ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών ν! 😮

Το άθροισμα που δεν αλλάζει ποτέ

Ενώ το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών μεγαλώνει συνεχώς όσο προσθέτουμε πλευρές, το άθροισμα των εξωτερικών μένει κολλημένο στις $360^\circ$ : ίδιο για το τρίγωνο, ίδιο για το εκατοντάγωνο. Ο λόγος είναι ότι σε κάθε κορυφή η εσωτερική και η εξωτερική γωνία δίνουν μαζί $180^\circ$ , οπότε συνολικά έχουμε $\nu \cdot 180^\circ - (2\nu - 4) \cdot 90^\circ = 360^\circ$ .