Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Το Θεώρημα του Αθροίσματος των Γωνιών 📐

Ένα από τα πιο βασικά θεωρήματα της Γεωμετρίας λέει κάτι εξαιρετικά απλό:

**Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές, δηλαδή \(180^\circ\).**

\[
\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 2L
\]

Το σύμβολο \(L\) παριστάνει την :tooltip[ορθή γωνία]{content="Μια γωνία που έχει μέτρο 90 μοίρες."}, οπότε \(2L = 180^\circ\).

### Ισχύει για κάθε τρίγωνο

Δεν έχει σημασία αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο, μεγάλο ή μικρό: το άθροισμα των τριών γωνιών του είναι πάντα το ίδιο. Αυτό σημαίνει ότι, αν ξέρουμε δύο γωνίες ενός τριγώνου, η τρίτη υπολογίζεται αμέσως με αφαίρεση από τις \(180^\circ\).

:::alert{title="Η μέτρηση δεν είναι απόδειξη"}
Το να μετρήσουμε με το μοιρογνωμόνιο τις γωνίες μερικών τριγώνων και να βρούμε περίπου \(180^\circ\) δεν αποδεικνύει τίποτα: κάθε μέτρηση έχει σφάλμα και τα τρίγωνα είναι άπειρα. Η απόδειξη είναι αυτή που εξασφαλίζει ότι η ιδιότητα ισχύει για **κάθε** τρίγωνο χωρίς εξαίρεση.
:::

# Η Απόδειξη με την Παράλληλη ✏️

Για να αποδείξουμε ότι οι γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνουν \(2L\), χρησιμοποιούμε μια **βοηθητική γραμμή**: φέρνουμε από την κορυφή Α μια ευθεία xy παράλληλη προς την απέναντι πλευρά ΒΓ.

### Τι δημιουργείται στην κορυφή Α

Γύρω από το Α σχηματίζονται δύο νέες γωνίες: η \(\omega\) προς τη μεριά της ΑΒ και η \(\phi\) προς τη μεριά της ΑΓ.

| Γωνία | Ίση με | Δικαιολόγηση |
|---|---|---|
| \(\omega\) | \(\hat{B}\) | εντός εναλλάξ των xy // ΒΓ, με τέμνουσα την ΑΒ |
| \(\phi\) | \(\hat{\Gamma}\) | εντός εναλλάξ των xy // ΒΓ, με τέμνουσα την ΑΓ |

Οι :tooltip[εντός εναλλάξ]{content="Γωνίες που σχηματίζονται εκατέρωθεν μιας τέμνουσας μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών και βρίσκονται στο εσωτερικό των παραλλήλων."} γωνίες δύο παραλλήλων που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία είναι ίσες, και αυτό είναι το κλειδί.

### Το τελικό βήμα

Οι τρεις γωνίες \(\omega\), \(\hat{A}\) και \(\phi\) είναι διαδοχικές πάνω στην ευθεία xy, άρα σχηματίζουν ευθεία γωνία:

\[
\omega + \hat{A} + \phi = 2L
\]

Αντικαθιστώντας \(\omega = \hat{B}\) και \(\phi = \hat{\Gamma}\), παίρνουμε \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 2L\).

:::fact{title="Γιατί χρειάζεται η παράλληλη"}
Η απόδειξη δεν θα δούλευε χωρίς την παράλληλη: αυτή είναι που «μεταφέρει» τις γωνίες Β και Γ πάνω στην κορυφή Α, ώστε να μπουν και οι τρεις γωνίες στην ίδια ευθεία και να αθροιστούν.
:::

# Η Εξωτερική Γωνία Τριγώνου 🔺

Το πρώτο πόρισμα του θεωρήματος αφορά την :tooltip[εξωτερική γωνία]{content="Η γωνία που σχηματίζεται από μία πλευρά ενός τριγώνου και την προέκταση μιας άλλης πλευράς του."} ενός τριγώνου:

**Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών.**

\[
\hat{\Gamma}_{\epsilon\xi} = \hat{A} + \hat{B}
\]

### Η απόδειξη σε δύο σχέσεις

Ξεκινάμε από το θεώρημα: \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 2L\). Επιπλέον, η εξωτερική γωνία της κορυφής Γ και η εσωτερική \(\hat{\Gamma}\) είναι :tooltip[παραπληρωματικές]{content="Δύο γωνίες που το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες ή \(2L\)."}, επειδή η μία είναι συνέχεια της άλλης πάνω στην προέκταση της πλευράς:

\[
\hat{\Gamma}_{\epsilon\xi} + \hat{\Gamma} = 2L
\]

Τα δύο αριστερά μέλη ισούνται με το ίδιο πράγμα (\(2L\)), άρα ισούνται και μεταξύ τους: \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = \hat{\Gamma}_{\epsilon\xi} + \hat{\Gamma}\). Απαλείφοντας το κοινό \(\hat{\Gamma}\) και από τα δύο μέλη, μένει \(\hat{\Gamma}_{\epsilon\xi} = \hat{A} + \hat{B}\).

:::alert{title="Ποιες γωνίες είναι οι «απέναντι»"}
Οι δύο απέναντι εσωτερικές γωνίες είναι εκείνες των **άλλων δύο** κορυφών, όχι η εσωτερική γωνία της ίδιας κορυφής. Με τη δική της εσωτερική η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική — αυτή η σύγχυση είναι το πιο συχνό λάθος στις ασκήσεις.
:::

# Τα Υπόλοιπα Πορίσματα του Θεωρήματος 💡

Πέρα από την εξωτερική γωνία, το θεώρημα του αθροίσματος δίνει άμεσα τρία ακόμη χρήσιμα συμπεράσματα.

### Οι τρίτες γωνίες δύο τριγώνων

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία, τότε και οι τρίτες τους γωνίες είναι ίσες. Ο λόγος είναι απλός: και στα δύο τρίγωνα οι τρεις γωνίες δίνουν \(2L\), οπότε αφαιρώντας από το ίδιο άθροισμα ίσα ποσά, μένουν ίσα υπόλοιπα. Είναι πόρισμα που θα το ξαναχρησιμοποιήσουμε ως έτοιμο εργαλείο.

### Το ορθογώνιο τρίγωνο

Οι δύο οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι :tooltip[συμπληρωματικές]{content="Δύο γωνίες που το άθροισμά τους είναι 90 μοίρες (μία ορθή γωνία)."}:

\[
\hat{B} + \hat{\Gamma} = 90^\circ
\]

Αυτό προκύπτει επειδή η ορθή γωνία «καταναλώνει» τις μισές από τις \(180^\circ\) και μένουν \(90^\circ\) για τις άλλες δύο.

### Το ισόπλευρο τρίγωνο

Κάθε γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι \(60^\circ\), αφού οι τρεις γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους και μοιράζονται εξίσου τις \(180^\circ\).

:::fact{title="Ένα τρίγωνο, μία μόνο μεγάλη γωνία"}
Από το θεώρημα προκύπτει και κάτι που ίσως δεν έχετε σκεφτεί: ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο ορθές ή δύο αμβλείες γωνίες, γιατί μόνο αυτές οι δύο θα ξεπερνούσαν ήδη τις \(180^\circ\).
:::

# Γωνίες με Πλευρές Κάθετες 📐↔️📐

Το δεύτερο θεώρημα της ενότητας συνδέει την καθετότητα με την ισότητα γωνιών:

**Δύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες.**

Έστω οι γωνίες \(x\hat{O}y = \omega\) και \(x'\hat{O'}y' = \phi\), με Ox ⊥ O'x' και Oy ⊥ O'y'. Οι δύο γωνίες μπορεί να βρίσκονται σε εντελώς διαφορετικά σημεία του επιπέδου· αρκεί κάθε πλευρά της μιας να είναι κάθετη στην αντίστοιχη πλευρά της άλλης.

### Η απόδειξη

Οι πλευρές των δύο γωνιών, καθώς τέμνονται, σχηματίζουν δύο τρίγωνα, τα ΟΑΓ και Ο'ΒΓ. Σε αυτά:

| Στοιχείο | Σχέση | Γιατί |
|---|---|---|
| \(\hat{A}\), \(\hat{B}\) | \(\hat{A} = \hat{B} = 1L\) | ορθές γωνίες, λόγω της καθετότητας |
| \(\hat{\Gamma}_1\), \(\hat{\Gamma}_2\) | \(\hat{\Gamma}_1 = \hat{\Gamma}_2\) | είναι :tooltip[κατακορυφήν]{content="Δύο γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες ευθείες και βρίσκονται η μία απέναντι από την άλλη. Είναι πάντα ίσες."} γωνίες |

Τα δύο τρίγωνα έχουν λοιπόν δύο γωνίες ίσες μία προς μία. Από το πόρισμα του προηγούμενου θεωρήματος, θα έχουν ίση και την τρίτη τους γωνία — και οι τρίτες γωνίες είναι ακριβώς οι \(\omega\) και \(\phi\). Άρα \(\omega = \phi\).

:::fact{title="Κάθε θεώρημα γίνεται εργαλείο για το επόμενο"}
Προσέξτε ότι εδώ δεν χρειάστηκε καμία νέα ιδέα: το πόρισμα «δύο γωνίες ίσες, άρα και οι τρίτες ίσες» χρησιμοποιήθηκε αυτούσιο για να αποδειχθεί ένα εντελώς διαφορετικό θεώρημα. Έτσι ακριβώς χτίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία, σαν αλυσίδα.
:::

# Τα Πορίσματα για τις Κάθετες Πλευρές ⚠️

Το θεώρημα μιλάει για δύο **οξείες** γωνίες. Τι γίνεται όμως στις υπόλοιπες περιπτώσεις;

### Δύο αμβλείες γωνίες

Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι επίσης ίσες.

Αν \(\theta\) και \(\theta'\) είναι οι δύο αμβλείες και \(\omega\), \(\phi\) οι αντίστοιχες οξείες που σχηματίζονται από τις ίδιες ημιευθείες, τότε:

\[
\theta + \omega = 2L \quad \text{και} \quad \theta' + \phi = 2L
\]

Αφού από το θεώρημα \(\omega = \phi\), τα ποσά που αφαιρούνται από το ίδιο άθροισμα είναι ίσα, άρα \(\theta = \theta'\).

### Μία οξεία και μία αμβλεία

Αν οι δύο γωνίες με κάθετες πλευρές είναι η μία οξεία (\(\phi\)) και η άλλη αμβλεία (\(\theta\)), τότε **δεν** είναι ίσες αλλά :tooltip[παραπληρωματικές]{content="Δύο γωνίες που το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες ή \(2L\)."}:

\[
\theta + \phi = 2L = 180^\circ
\]

Η απόδειξη ξεκινά από τη σχέση \(\theta + \omega = 2L\), όπου \(\omega\) η οξεία που αντιστοιχεί στην \(\theta\). Επειδή \(\omega = \phi\), η αντικατάσταση δίνει \(\theta + \phi = 2L\).

:::alert{title="Πρώτα κοιτάξτε το είδος των γωνιών"}
Δύο γωνίες με κάθετες πλευρές είναι ίσες μόνο αν είναι **και οι δύο οξείες** ή **και οι δύο αμβλείες**. Σε ανάμεικτη περίπτωση είναι παραπληρωματικές. Πριν γράψετε «άρα είναι ίσες», ελέγξτε πάντα τι είδους είναι η καθεμία.
:::

# Άθροισμα Γωνιών Κυρτού ν-γώνου 🔷

Το θεώρημα του τριγώνου γενικεύεται σε κάθε :tooltip[κυρτό]{content="Ένα σχήμα είναι κυρτό αν οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του σχήματος περιέχεται ολόκληρο μέσα στο σχήμα."} πολύγωνο με ν πλευρές:

**Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι \((2\nu - 4)\) ορθές.**

\[
\hat{A_1} + \hat{A_2} + \dots + \hat{A_\nu} = (2\nu - 4) \cdot 90^\circ
\]

### Έλεγχος του τύπου σε γνωστά σχήματα

| Πολύγωνο | ν | Ορθές \((2\nu - 4)\) | Άθροισμα γωνιών |
|---|---|---|---|
| Τρίγωνο | 3 | 2 | \(180^\circ\) |
| Τετράπλευρο | 4 | 4 | \(360^\circ\) |
| Πεντάγωνο | 5 | 6 | \(540^\circ\) |
| Εξάγωνο | 6 | 8 | \(720^\circ\) |

Για \(\nu = 3\) ο τύπος επιστρέφει ακριβώς το θεώρημα του τριγώνου, κάτι που δείχνει ότι τα δύο αποτελέσματα είναι συνεπή μεταξύ τους. Κάθε φορά που προσθέτουμε μία πλευρά, το άθροισμα μεγαλώνει κατά 2 ορθές, δηλαδή κατά \(180^\circ\).

:::alert{title="Ορθές ή μοίρες;"}
Ο τύπος \((2\nu - 4)\) δίνει **ορθές**, όχι μοίρες. Για να βρείτε μοίρες πολλαπλασιάζετε με \(90^\circ\). Ένα πεντάγωνο δεν έχει άθροισμα γωνιών 6 μοίρες αλλά 6 ορθές, δηλαδή \(540^\circ\).
:::

# Οι Εξωτερικές Γωνίες Κυρτού ν-γώνου 😮

Αφού μάθαμε τι γίνεται με τις εσωτερικές γωνίες ενός κυρτού πολυγώνου, το επόμενο ερώτημα είναι τι συμβαίνει με τις εξωτερικές. Παίρνουμε **μία** εξωτερική γωνία σε κάθε κορυφή, δηλαδή συνολικά ν εξωτερικές γωνίες.

**ΠΟΡΙΣΜΑ: Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι πάντα 4 ορθές, δηλαδή \(360^\circ\), ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών ν.**

### Γιατί το ν εξαφανίζεται

Σε κάθε κορυφή, η εσωτερική και η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματικές, δίνουν δηλαδή μαζί \(180^\circ\). Για ν κορυφές, όλες μαζί δίνουν \(\nu \cdot 180^\circ\). Αν αφαιρέσουμε το άθροισμα των εσωτερικών, μένει το άθροισμα των εξωτερικών:

\[
\nu \cdot 180^\circ - (2\nu - 4) \cdot 90^\circ = 180^\circ \nu - 180^\circ \nu + 360^\circ = 360^\circ
\]

Οι όροι με το ν απλοποιούνται και μένει ένας σταθερός αριθμός.

:::fact{title="Το ίδιο για το τρίγωνο και για το χιλιάγωνο"}
Ενώ το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών μεγαλώνει χωρίς όριο όσο προσθέτουμε πλευρές, το άθροισμα των εξωτερικών μένει καρφωμένο στις \(360^\circ\). Είναι σαν να κάνετε μια πλήρη περιστροφή περπατώντας γύρω από το πολύγωνο: σε κάθε κορυφή στρίβετε λίγο, και όταν επιστρέψετε στην αφετηρία έχετε στρίψει συνολικά μία πλήρη γωνία.
:::

01. Βασική Θεωρία

Γιατί οι τρεις γωνίες κάθε τριγώνου δίνουν πάντα δύο ορθές, και πώς μια παράλληλη από την κορυφή το αποδεικνύει.

Το θεώρημα του αθροίσματος των γωνιών τριγώνου

Τέσσερα άμεσα συμπεράσματα: η εξωτερική γωνία, οι τρίτες γωνίες δύο τριγώνων, το ορθογώνιο και το ισόπλευρο τρίγωνο.

Πορίσματα του θεωρήματος

Πότε δύο γωνίες με κάθετες πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους και πώς η απόδειξη στηρίζεται στα κατακορυφήν ζεύγη.

Γωνίες με πλευρές κάθετες

Η περίπτωση των δύο αμβλειών γωνιών και η περίπτωση όπου η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

Πορίσματα για τις κάθετες πλευρές

Ο τύπος που δίνει το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου και τι δίνει για τρίγωνο και τετράπλευρο.

Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου

Το εντυπωσιακό πόρισμα ότι οι εξωτερικές γωνίες δίνουν πάντα το ίδιο άθροισμα, όσες πλευρές κι αν έχει το πολύγωνο.

Άθροισμα εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου

# Σύνοψη: Αθροίσματα Γωνιών 🧮📐

Το κεντρικό θεώρημα της ενότητας λέει ότι **το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές**, δηλαδή \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ\). Η απόδειξη φέρνει από την κορυφή Α μια ευθεία παράλληλη προς την ΒΓ· οι δύο νέες γωνίες \(\omega\) και \(\phi\) που δημιουργούνται είναι ίσες με τις \(\hat{B}\) και \(\hat{\Gamma}\) αντίστοιχα, ως :tooltip[εντός εναλλάξ]{content="Γωνίες που σχηματίζονται εκατέρωθεν μιας τέμνουσας μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών και βρίσκονται στο εσωτερικό των παραλλήλων."} γωνίες. Επειδή οι \(\omega\), \(\hat{A}\), \(\phi\) σχηματίζουν ευθεία γωνία, το άθροισμά τους είναι \(2L\), και με αντικατάσταση προκύπτει το ζητούμενο.

Από το θεώρημα βγαίνουν τέσσερα πορίσματα: κάθε :tooltip[εξωτερική γωνία]{content="Η γωνία που σχηματίζεται από μία πλευρά ενός τριγώνου και την προέκταση μιας άλλης πλευράς του."} ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών· αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, έχουν ίση και την τρίτη· οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι :tooltip[συμπληρωματικές]{content="Δύο γωνίες που το άθροισμά τους είναι 90 μοίρες (μία ορθή γωνία)."} με άθροισμα \(90^\circ\)· και κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι \(60^\circ\).

:::alert{title="Η εξωτερική γωνία δεν πάει με τη «δική της» εσωτερική"}
Η εξωτερική γωνία της κορυφής Γ είναι **ίση** με \(\hat{A} + \hat{B}\), ενώ με την εσωτερική \(\hat{\Gamma}\) της ίδιας κορυφής είναι απλώς :tooltip[παραπληρωματική]{content="Δύο γωνίες που το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες ή \(2L\)."}. Είναι το πιο συχνό μπέρδεμα της ενότητας.
:::

Το δεύτερο θεώρημα αφορά **γωνίες με κάθετες πλευρές**: δύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. Η απόδειξη εντοπίζει δύο τρίγωνα που έχουν από μία ορθή γωνία, λόγω της καθετότητας, και δύο ίσες :tooltip[κατακορυφήν]{content="Δύο γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες ευθείες και βρίσκονται η μία απέναντι από την άλλη. Είναι πάντα ίσες."} γωνίες, οπότε και οι τρίτες τους γωνίες είναι ίσες. Το ίδιο ισχύει και για δύο αμβλείες γωνίες με κάθετες πλευρές. Αν όμως η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία, τότε δεν είναι ίσες αλλά παραπληρωματικές, με άθροισμα \(180^\circ\).

Τέλος, για κάθε :tooltip[κυρτό]{content="Ένα σχήμα είναι κυρτό αν οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του σχήματος περιέχεται ολόκληρο μέσα στο σχήμα."} ν-γωνο το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι \((2\nu - 4)\) ορθές:

\[
(2\nu - 4) \cdot 90^\circ
\]

Για \(\nu = 3\) δίνει \(180^\circ\) και για \(\nu = 4\) δίνει \(360^\circ\). Το πόρισμα συμπληρώνει ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών, μία σε κάθε κορυφή, είναι πάντα 4 ορθές, δηλαδή \(360^\circ\).

:::fact{title="Μία σταθερά για όλα τα κυρτά πολύγωνα"}
Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών μεγαλώνει με κάθε νέα πλευρά, αλλά το άθροισμα των εξωτερικών μένει \(360^\circ\) είτε έχουμε τρίγωνο είτε χιλιάγωνο — γι' αυτό αρκεί να θυμάστε έναν μόνο αριθμό για κάθε κυρτό πολύγωνο.
:::
