Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου 📐

Σε αυτή την ενότητα θα εξερευνήσουμε μερικούς πολύ σημαντικούς κύκλους που σχετίζονται με κάθε τρίγωνο! 🤩

Ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου 🔵

Αποδεικνύεται ότι για κάθε τρίγωνο υπάρχει ένας μοναδικός κύκλος που περνάει από τις τρεις κορυφές του.

• Ορισμός: Ο κύκλος αυτός λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.
• Το κέντρο του είναι το σημείο όπου τέμνονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου και λέγεται περίκεντρο.

Θεώρημα 💡

Οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου.

Απόδειξη 🧐

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα. Οι μεσοκάθετοι Κx και Λy των ΑΒ, ΒΓ θα τέμνονται σε σημείο Ο, αφού είναι κάθετες σε δύο ευθείες που τέμνονται, τις ΑΒ και ΒΓ.

1. Το Ο ισαπέχει από τις κορυφές Α και Β αφού ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς ΑΒ, δηλαδή $OA = OB$.
2. Επίσης $OB = OΓ$ αφού το Ο ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς ΒΓ.
3. Επομένως ισχύει ότι $OA = OΓ$, οπότε το Ο θα ανήκει και στη μεσοκάθετο της ΑΓ.
4. Άρα, ο κύκλος (Ο, ΟΑ) θα διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. ✅

Παρατήρησε τη λογική της απόδειξης: δεν ξεκινάμε παίρνοντας και τις τρεις μεσοκαθέτους μαζί. Παίρνουμε δύο από αυτές, που σίγουρα τέμνονται, και μετά αποδεικνύουμε ότι η τρίτη είναι αναγκασμένη να περάσει από το ίδιο σημείο. Αυτή είναι η τυπική τακτική για κάθε απόδειξη ότι τρεις γραμμές διέρχονται από κοινό σημείο.

Ο εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου 🟢

Ένας άλλος σημαντικός κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του.

• Ορισμός: Αποδεικνύεται ότι για κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος με την ιδιότητα αυτή. Ο κύκλος αυτός λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.
• Το κέντρο του, το οποίο λέγεται έκκεντρο, θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου.

Θεώρημα 💡

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου.

Απόδειξη 🧐

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ των γωνιών του Β και Γ αντίστοιχα. Οι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται σε σημείο Ι, γιατί οι γωνίες που σχηματίζουν με την πλευρά ΒΓ έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές:

1. Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της Β θα ισαπέχει από τις πλευρές της ΒΑ και ΒΓ, δηλαδή $ΙΔ = ΙΘ$.
2. Ανάλογα το Ι θα ισαπέχει από τις πλευρές της Γ, δηλαδή $ΙΘ = ΙΝ$.
3. Επομένως το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ και ΑΓ και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Α.
4. Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή απόσταση του Ι από τις πλευρές του ΑΒΓ, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. ✅

Εδώ τα ΙΔ, ΙΘ, ΙΝ είναι οι αποστάσεις του Ι από τις τρεις πλευρές, δηλαδή τα κάθετα τμήματα προς αυτές. Επειδή βγαίνουν όλα ίσα, η κοινή τους τιμή γίνεται η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου 🟠

Υπάρχουν και άλλοι κύκλοι που σχετίζονται με τις πλευρές και τις γωνίες!

• Ιδιότητα: Η διχοτόμος μιας εσωτερικής γωνίας και οι διχοτόμοι των δύο εξωτερικών γωνιών στις άλλες κορυφές διέρχονται από το ίδιο σημείο.
• Αυτό το σημείο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται παρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο.
• Κάθε τρίγωνο έχει τρία τέτοια παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε $I_α, I_β, I_γ$, και συνεπώς τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους. 🤯

Το κάθε παράκεντρο αντιστοιχεί σε μία πλευρά: το $I_α$ είναι το κέντρο του κύκλου που εφάπτεται στην πλευρά $α$ (δηλαδή στη ΒΓ) και στις προεκτάσεις των άλλων δύο πλευρών, και ανάλογα τα $I_β$ και $I_γ$. Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος βρίσκεται έξω από το τρίγωνο, στην απέναντι μεριά της πλευράς που εφάπτεται.

Σύνοψη των κέντρων 🎯

Και τα δύο κύρια κέντρα προκύπτουν με τον ίδιο μηχανισμό — τρεις γραμμές που συντρέχουν σε ένα σημείο — αλλά η ιδιότητα που τις ορίζει είναι διαφορετική.