Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Ο περιγεγραμμένος κύκλος 🔵

Κάθε τρίγωνο, όποιο σχήμα κι αν έχει, συνοδεύεται από έναν **μοναδικό** κύκλο που περνάει και από τις τρεις :tooltip[κορυφές]{content="Τα σημεία όπου συναντώνται οι πλευρές ενός σχήματος."} του. Ο κύκλος αυτός λέγεται **περιγεγραμμένος κύκλος** του τριγώνου.

### Το περίκεντρο

Το :tooltip[κέντρο]{content="Το σημείο που απέχει εξίσου από όλα τα σημεία της περιφέρειας ενός κύκλου."} του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται **περίκεντρο**. Είναι το σημείο στο οποίο τέμνονται οι τρεις :tooltip[μεσοκάθετοι]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} των πλευρών του τριγώνου.

Γιατί όμως αυτό το σημείο κάνει τη δουλειά; Επειδή κάθε σημείο μιας μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα δύο άκρα του τμήματος. Το περίκεντρο ανήκει και στις τρεις μεσοκαθέτους, άρα ισαπέχει και από τις τρεις κορυφές — και αυτή ακριβώς η κοινή απόσταση γίνεται η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

### Το θεώρημα

Οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου.

:::alert{title="Το περίκεντρο δεν είναι πάντα μέσα στο τρίγωνο"}
Είναι εύκολο να το φανταστείς πάντα στο εσωτερικό, αλλά αυτό ισχύει μόνο σε οξυγώνιο τρίγωνο. Σε τρίγωνο με αμβλεία γωνία το περίκεντρο πέφτει **έξω** από το τρίγωνο, ενώ σε ορθογώνιο τρίγωνο πέφτει ακριβώς πάνω στο μέσο της :tooltip[υποτείνουσας]{content="Η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, απέναντι από την ορθή γωνία."}. Ο περιγεγραμμένος κύκλος περνάει σε κάθε περίπτωση από τις τρεις κορυφές — αυτό ορίζει το περίκεντρο, όχι η θέση του.
:::

# Η απόδειξη για τις μεσοκαθέτους 🧐

Πώς ξέρουμε ότι οι τρεις :tooltip[μεσοκάθετοι]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} συναντιούνται πραγματικά σε ένα σημείο; Η απόδειξη είναι σύντομη και δείχνει μια τακτική που θα ξαναδείς πολλές φορές.

### Το ξεκίνημα

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα. Οι μεσοκάθετοι Κx και Λy των ΑΒ και ΒΓ θα τέμνονται σε ένα σημείο Ο, αφού είναι κάθετες σε δύο ευθείες που τέμνονται, τις ΑΒ και ΒΓ.

### Τα βήματα

1. Το Ο ισαπέχει από τις κορυφές Α και Β, αφού ανήκει στη μεσοκάθετο της ΑΒ: \(OA = OB\).
2. Επίσης \(OB = OΓ\), αφού το Ο ανήκει στη μεσοκάθετο της ΒΓ.
3. Επομένως \(OA = OΓ\), οπότε το Ο ανήκει και στη μεσοκάθετο της ΑΓ.
4. Άρα ο κύκλος \((Ο, ΟΑ)\) διέρχεται από τις τρεις κορυφές του ΑΒΓ και είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. ✅

:::fact{title="Η τακτική: δύο πρώτα, η τρίτη αναγκαστικά"}
Πρόσεξε ότι δεν ξεκινήσαμε παίρνοντας και τις τρεις μεσοκαθέτους μαζί — κάτι τέτοιο θα θεωρούσε δεδομένο αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε. Πήραμε **δύο**, που σίγουρα τέμνονται, και μετά δείξαμε ότι η τρίτη είναι **υποχρεωμένη** να περάσει από το ίδιο σημείο. Αυτό είναι το τυπικό σχήμα σκέψης για κάθε απόδειξη ότι τρεις γραμμές συντρέχουν.
:::

# Ο εγγεγραμμένος κύκλος 🟢

Μέσα σε κάθε τρίγωνο υπάρχει ένας κύκλος που :tooltip[εφάπτεται]{content="Ευθεία που 'αγγίζει' τον κύκλο σε ένα μόνο σημείο."} και στις τρεις πλευρές του. Λέγεται **εγγεγραμμένος κύκλος** του τριγώνου, και αποδεικνύεται ότι κάθε τρίγωνο έχει έναν τέτοιο.

### Το έκκεντρο

Το κέντρο του λέγεται **έκκεντρο** και είναι το σημείο τομής των τριών :tooltip[διχοτόμων]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} των γωνιών του τριγώνου.

Ο λόγος είναι αντίστοιχος με πριν, αλλά με διαφορετική ιδιότητα: κάθε σημείο μιας διχοτόμου ισαπέχει από τις **δύο πλευρές** της γωνίας. Το έκκεντρο ανήκει και στις τρεις διχοτόμους, άρα ισαπέχει και από τις τρεις πλευρές. Η κοινή αυτή απόσταση — το μήκος της καθέτου προς κάθε πλευρά — είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

### Το θεώρημα

Οι :tooltip[διχοτόμοι]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου.

:::alert{title="Κορυφές ή πλευρές; Εκεί χάνονται οι περισσότεροι"}
Μεσοκάθετος σημαίνει ίση απόσταση από δύο **σημεία**, διχοτόμος σημαίνει ίση απόσταση από δύο **πλευρές**. Γι' αυτό το περίκεντρο δίνει κύκλο που **περνάει** από τις κορυφές, ενώ το έκκεντρο δίνει κύκλο που **εφάπτεται** στις πλευρές. Αν μπερδέψεις τις δύο ιδιότητες, θα βγάλεις λάθος και τα δύο κέντρα.
:::

# Η απόδειξη για τις διχοτόμους 🧐

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και οι :tooltip[διχοτόμοι]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} ΒΕ και ΓΖ των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα.

### Γιατί τέμνονται

Οι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται σε ένα σημείο Ι, γιατί οι γωνίες που σχηματίζουν με την πλευρά ΒΓ έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές:

\[
Ε\hat{Β}Γ + Ζ\hat{Γ}Β = \frac{\hat{Β}}{2} + \frac{\hat{Γ}}{2} = \frac{\hat{Β} + \hat{Γ}}{2} < \frac{2L}{2} = L
\]

### Τα βήματα

1. Το Ι, ως σημείο της διχοτόμου της Β, ισαπέχει από τις πλευρές ΒΑ και ΒΓ: \(ΙΔ = ΙΘ\).
2. Ανάλογα, το Ι ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας Γ: \(ΙΘ = ΙΝ\).
3. Επομένως το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ και ΑΓ, άρα ανήκει και στη διχοτόμο της γωνίας Α.
4. Τελικά το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή απόσταση από τις πλευρές, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές. ✅

Τα ΙΔ, ΙΘ και ΙΝ είναι οι **αποστάσεις** του Ι από τις τρεις πλευρές, δηλαδή τα κάθετα τμήματα προς αυτές. Επειδή βγαίνουν όλα ίσα, η κοινή τους τιμή γίνεται η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

# Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι 🟠

Οι κύκλοι που σχετίζονται με ένα τρίγωνο δεν σταματούν στους δύο προηγούμενους. Υπάρχουν και άλλοι, που προκύπτουν όταν φέρουμε στο παιχνίδι και τις **εξωτερικές** γωνίες.

### Η ιδιότητα

Η διχοτόμος μιας εσωτερικής γωνίας και οι διχοτόμοι των δύο :tooltip[εξωτερικών γωνιών]{content="Η γωνία που σχηματίζεται από μία πλευρά ενός τριγώνου και την προέκταση μιας άλλης πλευράς του."} στις άλλες κορυφές διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη **μία** πλευρά του τριγώνου και στις **προεκτάσεις** των δύο άλλων. Ο κύκλος λέγεται **παρεγγεγραμμένος** και το κέντρο του **παράκεντρο**.

### Τρία παράκεντρα, τρεις κύκλοι

Κάθε τρίγωνο έχει τρία τέτοια παράκεντρα, που συμβολίζονται \(I_α, I_β, I_γ\), και συνεπώς τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους. Το καθένα αντιστοιχεί σε μία πλευρά: το \(I_α\) είναι το κέντρο του κύκλου που εφάπτεται στην πλευρά \(α\), δηλαδή στη ΒΓ, και στις προεκτάσεις των άλλων δύο. Ανάλογα ισχύει για τα \(I_β\) και \(I_γ\). Κάθε παρεγγεγραμμένος κύκλος βρίσκεται **έξω** από το τρίγωνο, στην απέναντι μεριά της πλευράς που εφάπτεται.

:::fact{title="Τέσσερις κύκλοι εφάπτονται και στις τρεις πλευρές"}
Αν αντί για τις πλευρές σκεφτείς τις **ευθείες** πάνω στις οποίες βρίσκονται, τότε το τρίγωνο δεν έχει έναν αλλά **τέσσερις** κύκλους που τις εφάπτονται και τις τρεις: τον εγγεγραμμένο μαζί με τους τρεις παρεγγεγραμμένους. Ο εγγεγραμμένος είναι απλώς εκείνος που τυχαίνει να ακουμπάει τα ίδια τα τμήματα των πλευρών και όχι τις προεκτάσεις τους.
:::

# Σύνοψη των κέντρων 🎯

Και τα τρία κέντρα προκύπτουν με τον ίδιο μηχανισμό — τρεις γραμμές που συντρέχουν σε ένα σημείο — αλλά η ιδιότητα που τις ορίζει είναι κάθε φορά διαφορετική. Αυτή η διαφορά είναι που καθορίζει τι κάνει ο κύκλος στις πλευρές.

### Ο πίνακας που τα ξεχωρίζει

| Κύκλος | Κέντρο | Προκύπτει από | Ιδιότητα του κέντρου | Σχέση με τις πλευρές |
|---|---|---|---|---|
| Περιγεγραμμένος | Περίκεντρο | Τις τρεις μεσοκαθέτους των πλευρών | Ισαπέχει από τις τρεις **κορυφές** | Διέρχεται από τις κορυφές |
| Εγγεγραμμένος | Έκκεντρο | Τις τρεις διχοτόμους των γωνιών | Ισαπέχει από τις τρεις **πλευρές** | Εφάπτεται στις τρεις πλευρές |
| Παρεγγεγραμμένος | Παράκεντρο | Μία εσωτερική και δύο εξωτερικές διχοτόμους | Ισαπέχει από τις τρεις **ευθείες** των πλευρών | Εφάπτεται σε μία πλευρά και στις προεκτάσεις των άλλων δύο |

### Πώς να τα θυμάσαι

Ξεκίνα πάντα από τη γραμμή, όχι από το όνομα. Αν σου δώσουν **μεσοκαθέτους**, μιλάς για αποστάσεις από σημεία, άρα καταλήγεις στις κορυφές και στον περιγεγραμμένο. Αν σου δώσουν **διχοτόμους**, μιλάς για αποστάσεις από πλευρές, άρα καταλήγεις σε εφαπτόμενο κύκλο. Και αν στις διχοτόμους ανακατευτούν εξωτερικές γωνίες, ο κύκλος βγαίνει έξω από το τρίγωνο.

:::alert{title="Ένα περίκεντρο, ένα έκκεντρο — αλλά τρία παράκεντρα"}
Τα δύο πρώτα κέντρα είναι μοναδικά για κάθε τρίγωνο, όμως τα παράκεντρα είναι **τρία**, ένα για κάθε πλευρά. Όταν σε ρωτούν «πόσοι κύκλοι», μέτρα: ένας περιγεγραμμένος, ένας εγγεγραμμένος και τρεις παρεγγεγραμμένοι.
:::

01. Βασική Θεωρία

Ο κύκλος που περνάει από τις τρεις κορυφές κάθε τριγώνου και το περίκεντρο, το σημείο όπου συναντιούνται οι μεσοκάθετοι.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος

Πώς δύο μεσοκάθετοι που τέμνονται υποχρεώνουν και την τρίτη να περάσει από το ίδιο σημείο, μέσα από ισότητες αποστάσεων.

Απόδειξη για τις μεσοκαθέτους

Ο κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές από μέσα, με κέντρο το έκκεντρο, εκεί όπου τέμνονται οι διχοτόμοι.

Ο εγγεγραμμένος κύκλος

Γιατί δύο διχοτόμοι σίγουρα τέμνονται και πώς η ιδιότητα της διχοτόμου δίνει την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Απόδειξη για τις διχοτόμους

Οι τρεις κύκλοι έξω από το τρίγωνο, τα παράκεντρα τους και ο συνδυασμός εσωτερικής με εξωτερικές διχοτόμους.

Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

Τι ακριβώς ξεχωρίζει το περίκεντρο από το έκκεντρο και το παράκεντρο, και ποια ιδιότητα ορίζει το καθένα.

Σύγκριση των κέντρων

# Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου — Σύνοψη 🎯

Κάθε τρίγωνο συνοδεύεται από ορισμένους χαρακτηριστικούς κύκλους, που προκύπτουν όλοι από την ίδια ιδέα: τρεις γραμμές του τριγώνου συντρέχουν, δηλαδή περνούν από ένα κοινό σημείο, και αυτό το σημείο γίνεται κέντρο κύκλου.

### Ο περιγεγραμμένος κύκλος

Για κάθε τρίγωνο υπάρχει ένας μοναδικός κύκλος που περνάει από τις τρεις :tooltip[κορυφές]{content="Τα σημεία όπου συναντώνται οι πλευρές ενός σχήματος."} του: ο **περιγεγραμμένος κύκλος**. Το κέντρο του λέγεται **περίκεντρο** και είναι το σημείο τομής των τριών :tooltip[μεσοκαθέτων]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} των πλευρών. Η απόδειξη στηρίζεται στο ότι κάθε σημείο μιας μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος: παίρνουμε δύο μεσοκαθέτους που τέμνονται σε σημείο Ο, οπότε \(OA = OB\) και \(OB = OΓ\), άρα \(OA = OΓ\) και το Ο ανήκει αναγκαστικά και στην τρίτη μεσοκάθετο. Ο κύκλος (Ο, ΟΑ) περνάει τότε και από τις τρεις κορυφές.

### Ο εγγεγραμμένος κύκλος

Στο εσωτερικό κάθε τριγώνου υπάρχει κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του: ο **εγγεγραμμένος κύκλος**, με κέντρο το **έκκεντρο**, που είναι το σημείο τομής των τριών :tooltip[διχοτόμων]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} των γωνιών. Δύο διχοτόμοι, έστω των Β και Γ, σίγουρα τέμνονται σε σημείο Ι, αφού οι γωνίες που σχηματίζουν με τη ΒΓ έχουν άθροισμα \(\frac{\hat{Β} + \hat{Γ}}{2} < L\). Επειδή κάθε σημείο διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας, το Ι ισαπέχει διαδοχικά από όλες τις πλευρές, οπότε ανήκει και στην τρίτη διχοτόμο. Η κοινή αυτή απόσταση είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

### Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

Η διχοτόμος μιας εσωτερικής γωνίας μαζί με τις διχοτόμους των δύο εξωτερικών γωνιών στις άλλες κορυφές διέρχονται επίσης από ένα κοινό σημείο, το **παράκεντρο**. Είναι το κέντρο ενός **παρεγγεγραμμένου κύκλου**, ο οποίος εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων, και βρίσκεται έξω από το τρίγωνο. Κάθε τρίγωνο έχει τρία παράκεντρα, τα \(I_α, I_β, I_γ\), άρα και τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους.

| Κύκλος | Κέντρο | Προκύπτει από | Το κέντρο ισαπέχει από |
|---|---|---|---|
| Περιγεγραμμένος | Περίκεντρο | Τις τρεις μεσοκαθέτους | Τις τρεις κορυφές |
| Εγγεγραμμένος | Έκκεντρο | Τις τρεις διχοτόμους | Τις τρεις πλευρές |
| Παρεγγεγραμμένος | Παράκεντρο | Μία εσωτερική και δύο εξωτερικές διχοτόμους | Τις τρεις ευθείες των πλευρών |

:::alert{title="Κορυφές ή πλευρές; Εκεί χάνονται οι περισσότεροι"}
Μεσοκάθετος σημαίνει ίση απόσταση από δύο **σημεία**, διχοτόμος σημαίνει ίση απόσταση από δύο **πλευρές**. Γι' αυτό το περίκεντρο δίνει κύκλο που **περνάει** από τις κορυφές, ενώ το έκκεντρο δίνει κύκλο που **εφάπτεται** στις πλευρές. Πρόσεξε επίσης ότι το έκκεντρο είναι πάντα εσωτερικό σημείο, ενώ το περίκεντρο μπορεί να πέσει και έξω από το τρίγωνο.
:::

:::fact{title="Η τακτική που ξεκλειδώνει κάθε τέτοια απόδειξη"}
Σε καμία από αυτές τις αποδείξεις δεν ξεκινάμε με τρεις γραμμές μαζί — κάτι τέτοιο θα προϋπέθετε αυτό που θέλουμε να δείξουμε. Παίρνουμε **δύο** γραμμές, που σίγουρα τέμνονται, και μετά αποδεικνύουμε ότι η τρίτη είναι υποχρεωμένη να περάσει από το ίδιο σημείο. Το ίδιο σχήμα σκέψης θα το ξαναδείς σε κάθε θεώρημα συντρέχουσας γραμμής.
:::
