Σχετικές Θέσεις Δύο Κύκλων ⭕⭕

Θεωρούμε δύο κύκλους $(Κ, R)$ και $(Λ, ρ)$ .

Η διάκεντρος τους είναι το ευθύγραμμο τμήμα $ΚΛ$ που ενώνει τα κέντρα τους, και το μήκος της συμβολίζεται με $δ = ΚΛ$ . 📏

Οι σχετικές θέσεις των δύο κύκλων εξαρτώνται από τη σχέση της διακέντρου $δ$ με το άθροισμα $R + ρ$ και τη διαφορά $|R - ρ|$ των ακτίνων τους. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία 🤷‍♀️

Ο ένας εξωτερικός του άλλου: Αυτό συμβαίνει αν $δ > R + ρ$ . Ο κύκλος $(Λ, ρ)$ βρίσκεται στο εξωτερικό του $(K, R)$ και ο $(K, R)$ βρίσκεται στο εξωτερικό του $(Λ, ρ)$ .
Ο ένας εσωτερικός του άλλου: Αυτό συμβαίνει αν $δ < |R - ρ|$ . Ο κύκλος $(Λ, ρ)$ βρίσκεται στο εσωτερικό του $(K, R)$ ή ο $(K, R)$ βρίσκεται στο εσωτερικό του $(Λ, ρ)$ .

Εφαπτόμενοι κύκλοι 👌

Έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το σημείο επαφής.

Εξωτερικά εφαπτόμενοι: Έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου. Αυτό συμβαίνει αν $δ = R + ρ$ . Το σημείο επαφής βρίσκεται πάνω στη διάκεντρο $ΚΛ$ .
Εσωτερικά εφαπτόμενοι: Έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου. Αυτό συμβαίνει αν $δ = |R - ρ|$ (και $R \neq ρ$ ). Το σημείο επαφής βρίσκεται στην προέκταση της διακέντρου $ΚΛ$ .

Τεμνόμενοι κύκλοι ✂️

Έχουν δύο κοινά σημεία, έστω $A$ και $B$ . Αυτό συμβαίνει αν $|R - ρ| < δ < R + ρ$ . Το ευθύγραμμο τμήμα $AB$ που ενώνει τα κοινά σημεία λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων.

Προσοχή στην απόλυτη τιμή

Στη διαφορά των ακτίνων γράφουμε πάντα $|R - ρ|$ και όχι $R - ρ$ . Αν τύχει να είναι $ρ > R$ , τότε το $R - ρ$ βγαίνει αρνητικό και η συνθήκη $δ < R - ρ$ δεν ισχύει ποτέ, αφού η απόσταση $δ$ δεν μπορεί να είναι αρνητική. Η απόλυτη τιμή κάνει τα κριτήρια σωστά ανεξάρτητα από το ποιος κύκλος έχει τη μεγαλύτερη ακτίνα.

Θεώρημα 💡

Η διάκεντρος $ΚΛ$ δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους $AB$ .

Απόδειξη: Έστω $(K, R)$ και $(Λ, ρ)$ οι κύκλοι και $A, B$ τα σημεία τομής τους. Επειδή $KA = KB = R$ (ακτίνες του κύκλου Κ), το σημείο $K$ ισαπέχει από τα $A$ και $B$ . Ομοίως, επειδή $ΛA = ΛB = ρ$ (ακτίνες του κύκλου Λ), το σημείο $Λ$ ισαπέχει από τα $A$ και $B$ . Άρα, τα $K$ και $Λ$ ανήκουν στη μεσοκάθετο του $AB$ . Επομένως, η ευθεία $ΚΛ$ (που ορίζεται από τα $K$ και $Λ$ ) είναι η μεσοκάθετος της κοινής χορδής $AB$ . ✅

Δύο σημεία αρκούν για μια ευθεία

Η απόδειξη δεν χρειάζεται καθόλου να μετρήσει γωνίες ή να βρει το μέσο του $AB$ . Στηρίζεται μόνο στο ότι η μεσοκάθετος ενός τμήματος περιέχει όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα του: βρίσκουμε δύο τέτοια σημεία, τα $K$ και $Λ$ , και αφού από δύο σημεία περνάει μία μόνο ευθεία, η $ΚΛ$ είναι υποχρεωτικά αυτή η μεσοκάθετος.

Παρατήρηση 👀

Στην περίπτωση που οι τεμνόμενοι κύκλοι $(K, R)$ και $(Λ, ρ)$ έχουν ίσες ακτίνες, δηλαδή $R = ρ$ , τότε η κοινή χορδή $AB$ είναι και μεσοκάθετος της διακέντρου $ΚΛ$ .

Εξήγηση: Πράγματι, επειδή $R = ρ$ , θα είναι $AK = ΑΛ (=R)$ και $BK = ΒΛ (=R)$ . Άρα τα $A$ και $B$ είναι σημεία που ισαπέχουν από τα $K$ και $Λ$ , επομένως ανήκουν στη μεσοκάθετο του $ΚΛ$ . Επομένως, η ευθεία $AB$ (που ορίζεται από τα $A$ και $B$ ) είναι η μεσοκάθετος της διακέντρου $ΚΛ$ . ✨