Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Η Διάκεντρος: το Κλειδί της Ενότητας 📏

Όταν σχεδιάζουμε στο ίδιο επίπεδο δύο κύκλους \( (Κ, R) \) και \( (Λ, ρ) \), το ερώτημα είναι πώς βρίσκεται ο ένας ως προς τον άλλον: μακριά ο ένας από τον άλλον, ο ένας μέσα στον άλλον, να ακουμπούν σε ένα σημείο ή να τέμνονται σε δύο. Όλες αυτές οι περιπτώσεις κρίνονται από ένα και μόνο μέγεθος.

### Ο ορισμός

Η :tooltip[διάκεντρος]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων."} των δύο κύκλων είναι το ευθύγραμμο τμήμα \( ΚΛ \) που ενώνει τα κέντρα τους. Το μήκος της συμβολίζεται με

\[
δ = ΚΛ
\]

### Τι συγκρίνουμε με τι

Η σχετική θέση των δύο κύκλων εξαρτάται αποκλειστικά από τη σχέση του \( δ \) με δύο ποσότητες που φτιάχνονται από τις ακτίνες:

- το **άθροισμα** των ακτίνων \( R + ρ \)
- τη **διαφορά** τους σε απόλυτη τιμή, \( |R - ρ| \)

Ανάλογα με το αν το \( δ \) είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από καθεμία από αυτές, προκύπτουν πέντε διαφορετικές σχετικές θέσεις. Δεν χρειάζεται να δούμε το σχήμα: τρεις αριθμοί (\( δ \), \( R \), \( ρ \)) αρκούν για να πούμε με βεβαιότητα πόσα κοινά σημεία έχουν οι κύκλοι.

:::alert{title="Πάντα απόλυτη τιμή στη διαφορά"}
Γράφουμε \( |R - ρ| \) και όχι \( R - ρ \). Αν τύχει \( ρ > R \), η διαφορά \( R - ρ \) βγαίνει αρνητική, ενώ η απόσταση \( δ \) είναι πάντα θετική — έτσι η συνθήκη δεν θα ίσχυε ποτέ και το κριτήριο θα κατέρρεε. Με την απόλυτη τιμή τα κριτήρια δουλεύουν σωστά όποιος κύκλος και αν είναι ο μεγαλύτερος.
:::


# Κύκλοι Χωρίς Κοινά Σημεία 🤷‍♀️

Δύο κύκλοι μπορεί να μην έχουν κανένα κοινό σημείο για δύο εντελώς διαφορετικούς λόγους: είτε επειδή είναι πολύ **μακριά** ο ένας από τον άλλον, είτε επειδή ο ένας βρίσκεται ολόκληρος **μέσα** στον άλλον χωρίς να τον αγγίζει. Οι δύο περιπτώσεις μοιάζουν στο αποτέλεσμα (μηδέν κοινά σημεία) αλλά ξεχωρίζουν καθαρά από τη διάκεντρο.

### Ο ένας εξωτερικός του άλλου

Συμβαίνει όταν

\[
δ > R + ρ
\]

Δηλαδή τα κέντρα απέχουν περισσότερο από όσο «φτάνουν» μαζί οι δύο ακτίνες. Τότε ο κύκλος \( (Λ, ρ) \) βρίσκεται στο εξωτερικό του \( (K, R) \) και ταυτόχρονα ο \( (K, R) \) βρίσκεται στο εξωτερικό του \( (Λ, ρ) \) — η σχέση είναι αμοιβαία.

### Ο ένας εσωτερικός του άλλου

Συμβαίνει όταν

\[
δ < |R - ρ|
\]

Εδώ τα κέντρα είναι τόσο κοντά που ο μικρός κύκλος «χωράει» ολόκληρος μέσα στον μεγάλο χωρίς να τον ακουμπά. Ο κύκλος \( (Λ, ρ) \) βρίσκεται στο εσωτερικό του \( (K, R) \) ή, αντίστροφα, ο \( (K, R) \) στο εσωτερικό του \( (Λ, ρ) \) — εδώ η σχέση **δεν** είναι αμοιβαία, ο ένας από τους δύο περιέχει τον άλλον.

| Θέση | Συνθήκη | Κοινά σημεία |
|---|---|---|
| Ο ένας εξωτερικός του άλλου | \( δ > R + ρ \) | κανένα |
| Ο ένας εσωτερικός του άλλου | \( δ < \|R - ρ\| \) | κανένα |

:::alert{title="Μηδέν κοινά σημεία δεν σημαίνει «μακριά»"}
Το συνηθισμένο λάθος είναι να θεωρούμε ότι, αν οι κύκλοι δεν τέμνονται, τότε βρίσκονται ο ένας έξω από τον άλλον. Δύο ομόκεντροι κύκλοι με διαφορετικές ακτίνες έχουν \( δ = 0 \) και επίσης κανένα κοινό σημείο. Πάντα ελέγχουμε **και** τις δύο πλευρές: αν το \( δ \) είναι πολύ μεγάλο ή πολύ μικρό.
:::


# Εφαπτόμενοι και Τεμνόμενοι Κύκλοι 👌✂️

Ανάμεσα στις δύο ακραίες περιπτώσεις (πολύ μακριά, πολύ κοντά) βρίσκονται οι θέσεις όπου οι κύκλοι έχουν κοινά σημεία: ένα, όταν απλώς ακουμπούν, ή δύο, όταν τέμνονται.

### Εφαπτόμενοι κύκλοι: ένα κοινό σημείο

Δύο κύκλοι λέγονται εφαπτόμενοι όταν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το :tooltip[σημείο επαφής]{content="Το μοναδικό κοινό σημείο δύο εφαπτόμενων κύκλων."}. Υπάρχουν δύο τρόποι να συμβεί αυτό:

- **Εξωτερικά εφαπτόμενοι:** ισχύει \( δ = R + ρ \) και ο ένας κύκλος βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου. Το σημείο επαφής βρίσκεται **πάνω στη διάκεντρο** \( ΚΛ \), ανάμεσα στα δύο κέντρα.
- **Εσωτερικά εφαπτόμενοι:** ισχύει \( δ = |R - ρ| \) με \( R \neq ρ \), και ο ένας κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου. Το σημείο επαφής βρίσκεται **στην προέκταση της διακέντρου** \( ΚΛ \), έξω από το τμήμα των κέντρων.

### Τεμνόμενοι κύκλοι: δύο κοινά σημεία

Οι κύκλοι τέμνονται, δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία \( A \) και \( B \), ακριβώς όταν

\[
\|R - ρ\| < δ < R + ρ
\]

Το \( δ \) είναι δηλαδή αυστηρά ανάμεσα στις δύο οριακές τιμές που δίνουν τις επαφές. Το ευθύγραμμο τμήμα \( AB \) που ενώνει τα δύο κοινά σημεία λέγεται :tooltip[κοινή χορδή]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία τομής δύο τεμνόμενων κύκλων."} των δύο κύκλων.

### Συγκεντρωτικά

| Σχετική θέση | Συνθήκη για τη διάκεντρο | Κοινά σημεία |
|---|---|---|
| Εξωτερικά εφαπτόμενοι | \( δ = R + ρ \) | ένα, πάνω στη διάκεντρο |
| Τεμνόμενοι | \( \|R - ρ\| < δ < R + ρ \) | δύο |
| Εσωτερικά εφαπτόμενοι | \( δ = \|R - ρ\| \), \( R \neq ρ \) | ένα, στην προέκταση της διακέντρου |

:::fact{title="Οι επαφές είναι τα σύνορα"}
Οι δύο περιπτώσεις επαφής είναι ακριβώς οι οριακές τιμές ανάμεσα στην τομή και στη μη τομή. Αν φανταστούμε τον έναν κύκλο να πλησιάζει σιγά σιγά τον άλλον, το \( δ \) μικραίνει συνεχώς: μόλις πέσει στο \( R + ρ \) εμφανίζεται το πρώτο κοινό σημείο, μετά γίνονται δύο, και μόλις φτάσει στο \( |R - ρ| \) ξαναγίνονται ένα πριν εξαφανιστούν.
:::


# Θεώρημα: Η Διάκεντρος και η Κοινή Χορδή 💡

Όταν δύο κύκλοι τέμνονται, η κοινή χορδή τους και η διάκεντρός τους δεν είναι δύο άσχετα τμήματα — συνδέονται με μια πολύ αυστηρή σχέση, που είναι και το βασικό θεώρημα της ενότητας.

### Το θεώρημα

Η διάκεντρος \( ΚΛ \) δύο τεμνόμενων κύκλων είναι :tooltip[μεσοκάθετος]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} της κοινής χορδής τους \( AB \).

### Η απόδειξη

Έστω \( (K, R) \) και \( (Λ, ρ) \) οι δύο κύκλοι και \( A, B \) τα σημεία τομής τους.

1. Τα \( KA \) και \( KB \) είναι ακτίνες του πρώτου κύκλου, άρα \( KA = KB = R \). Επομένως το \( K \) ισαπέχει από τα \( A \) και \( B \).
2. Ομοίως, τα \( ΛA \) και \( ΛB \) είναι ακτίνες του δεύτερου κύκλου, άρα \( ΛA = ΛB = ρ \). Επομένως και το \( Λ \) ισαπέχει από τα \( A \) και \( B \).
3. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του. Άρα και τα δύο κέντρα \( K, Λ \) ανήκουν στη μεσοκάθετο του \( AB \).
4. Από δύο διαφορετικά σημεία περνάει μία μόνο ευθεία. Άρα η ευθεία \( ΚΛ \) **είναι** η μεσοκάθετος της κοινής χορδής \( AB \). ✅

:::fact{title="Απόδειξη χωρίς καμία γωνία"}
Παρόλο που το συμπέρασμα μιλάει για καθετότητα, στην απόδειξη δεν μετράμε ούτε μία γωνία και δεν βρίσκουμε το μέσο του \( AB \). Αρκεί ο χαρακτηρισμός της μεσοκαθέτου ως συνόλου των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα: βρίσκουμε δύο τέτοια σημεία και η ευθεία τους είναι υποχρεωτικά η μεσοκάθετος.
:::

### Η περίπτωση των ίσων ακτίνων 👀

Αν οι δύο τεμνόμενοι κύκλοι έχουν **ίσες ακτίνες**, δηλαδή \( R = ρ \), τότε ισχύει και το αντίστροφο: η κοινή χορδή \( AB \) είναι μεσοκάθετος της διακέντρου \( ΚΛ \).

Πράγματι, επειδή \( R = ρ \) έχουμε \( AK = AΛ \) και \( BK = BΛ \). Άρα τα \( A \) και \( B \) είναι σημεία που ισαπέχουν από τα \( K \) και \( Λ \), οπότε ανήκουν στη μεσοκάθετο του \( ΚΛ \). Επομένως η ευθεία \( AB \) είναι η μεσοκάθετος της διακέντρου. ✨

:::alert{title="Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα"}
Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής σε **κάθε** ζεύγος τεμνόμενων κύκλων. Το ανάποδο όμως — η κοινή χορδή να είναι μεσοκάθετος της διακέντρου — ισχύει μόνο στην ειδική περίπτωση \( R = ρ \). Αν οι ακτίνες διαφέρουν, η χορδή τέμνει κάθετα τη διάκεντρο, αλλά όχι στο μέσο της.
:::


01. Βασική Θεωρία

Τι είναι το τμήμα που ενώνει τα δύο κέντρα και γιατί το μήκος του δ κρίνει μόνο του τη σχετική θέση των κύκλων.

Η διάκεντρος δύο κύκλων

Πότε ο ένας κύκλος βρίσκεται ολόκληρος έξω από τον άλλον και πότε ολόκληρος μέσα του, με βάση τη σύγκριση του δ με τις ακτίνες.

Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία

Οι δύο περιπτώσεις με ένα μόνο κοινό σημείο, η εξωτερική και η εσωτερική επαφή, και πού ακριβώς βρίσκεται το σημείο επαφής.

Εφαπτόμενοι κύκλοι

Η διπλή ανισότητα που δίνει δύο κοινά σημεία και το τμήμα που ενώνει τα σημεία τομής, η κοινή χορδή των δύο κύκλων.

Τεμνόμενοι κύκλοι και κοινή χορδή

Η απόδειξη ότι η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους, με μόνο εργαλείο τις ακτίνες.

Θεώρημα της διακέντρου

Τι επιπλέον ισχύει όταν οι δύο τεμνόμενοι κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες και γιατί τότε η σχέση χορδής και διακέντρου γίνεται αμοιβαία.

Η περίπτωση των ίσων ακτίνων

# Σχετικές Θέσεις Δύο Κύκλων — Σύνοψη 🔗

Για δύο κύκλους \( (Κ, R) \) και \( (Λ, ρ) \), η :tooltip[διάκεντρος]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων."} είναι το τμήμα \( ΚΛ \) και το μήκος της συμβολίζεται \( δ = ΚΛ \). Ολόκληρη η θεωρία της ενότητας στηρίζεται σε μία ιδέα: συγκρίνουμε το \( δ \) με το άθροισμα \( R + ρ \) και με τη διαφορά \( |R - ρ| \) των ακτίνων, και από τη σύγκριση αυτή προκύπτει αμέσως πόσα κοινά σημεία έχουν οι δύο κύκλοι και πώς βρίσκεται ο ένας ως προς τον άλλον.

### Τα πέντε κριτήρια

| Σχετική θέση | Συνθήκη | Κοινά σημεία |
|---|---|---|
| Ο ένας εξωτερικός του άλλου | \( δ > R + ρ \) | κανένα |
| Εξωτερικά εφαπτόμενοι | \( δ = R + ρ \) | ένα |
| Τεμνόμενοι | \( \|R - ρ\| < δ < R + ρ \) | δύο |
| Εσωτερικά εφαπτόμενοι | \( δ = \|R - ρ\| \), με \( R \neq ρ \) | ένα |
| Ο ένας εσωτερικός του άλλου | \( δ < \|R - ρ\| \) | κανένα |

Στους εξωτερικά εφαπτόμενους το :tooltip[σημείο επαφής]{content="Το μοναδικό κοινό σημείο δύο εφαπτόμενων κύκλων."} βρίσκεται πάνω στη διάκεντρο \( ΚΛ \), ενώ στους εσωτερικά εφαπτόμενους βρίσκεται στην προέκταση της διακέντρου.

:::alert{title="Η απόλυτη τιμή δεν είναι διακοσμητική"}
Η διαφορά των ακτίνων γράφεται πάντα \( |R - ρ| \). Αν γράψουμε \( R - ρ \) και συμβαίνει \( ρ > R \), η ποσότητα βγαίνει αρνητική και η συνθήκη καταρρέει, αφού η απόσταση \( δ \) είναι πάντα θετική. Με την απόλυτη τιμή τα κριτήρια ισχύουν όποιος κύκλος και αν είναι ο μεγαλύτερος.
:::

### Η κοινή χορδή των τεμνόμενων κύκλων

Όταν οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία \( A \) και \( B \), το τμήμα \( AB \) λέγεται :tooltip[κοινή χορδή]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία τομής δύο τεμνόμενων κύκλων."}. Ισχύει το θεώρημα: **η διάκεντρος \( ΚΛ \) είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής \( AB \)**. Η απόδειξη είναι σύντομη: \( KA = KB = R \), άρα το \( K \) ισαπέχει από τα \( A, B \)· \( ΛA = ΛB = ρ \), άρα και το \( Λ \) ισαπέχει από τα \( A, B \). Επομένως και τα δύο κέντρα ανήκουν στη :tooltip[μεσοκάθετο]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} του \( AB \), και αφού από δύο σημεία περνάει μία μόνο ευθεία, η \( ΚΛ \) είναι ακριβώς αυτή.

:::fact{title="Όταν οι ακτίνες είναι ίσες, η σχέση γίνεται αμοιβαία"}
Αν επιπλέον \( R = ρ \), τότε ισχύει \( AK = AΛ \) και \( BK = BΛ \), δηλαδή τα \( A \) και \( B \) ισαπέχουν από τα κέντρα. Έτσι όχι μόνο η \( ΚΛ \) είναι μεσοκάθετος της \( AB \), αλλά και η \( AB \) είναι μεσοκάθετος της \( ΚΛ \) — τα δύο τμήματα διχοτομούνται κάθετα μεταξύ τους.
:::
