Ύπαρξη και Μοναδικότητα Καθέτου — Κριτήρια Ισότητας Ορθογωνίων Τριγώνων 📐

Ύπαρξη και Μοναδικότητα Καθέτου 📏

Θεώρημα

Από ένα σημείο που βρίσκεται εκτός μιας ευθείας, μπορούμε να φέρουμε μία και μοναδική κάθετη γραμμή προς αυτή την ευθεία.

Το θεώρημα λέει δύο πράγματα μαζί: ότι κάθετη υπάρχει (μπορούμε πάντα να τη φέρουμε) και ότι είναι μοναδική (δεν υπάρχει δεύτερη). Η μοναδικότητα είναι το εργαλείο που θα χρησιμοποιήσουμε ξανά και ξανά: αν μια απόδειξη μάς οδηγήσει σε δύο διαφορετικές κάθετες από το ίδιο σημείο προς την ίδια ευθεία, τότε κάπου έχουμε καταλήξει σε άτοπο.

Κριτήρια Ισότητας Ορθογωνίων Τριγώνων 🧐

Ξέρουμε ήδη ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες (ΠΓΠ) ή μία πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες ίσες (ΓΠΓ). Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν πάντα μία γωνία ίση (την ορθή $90^\circ$), τα κριτήρια απλοποιούνται:

• Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις δύο κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία. 👍
• Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν μία κάθετη πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία ίσες μία προς μία. 👍

Υπάρχουν όμως και άλλα κριτήρια ειδικά για ορθογώνια τρίγωνα:

Θεώρημα Ι

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 🤩

• Απόδειξη: Έστω $ΑΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ ορθογώνια με $\hat{Α} = \hat{Α'} = 90^\circ$, $ΒΓ = Β'Γ'$ (υποτείνουσες) και $\hat{Β} = \hat{Β'}$. Αν υποθέσουμε ότι $ΑΒ \neq Α'Β'$ (π.χ. $ΑΒ > Α'Β'$), παίρνουμε σημείο $Δ$ στην $ΑΒ$ ώστε $ΒΔ = Α'Β'$. Τότε τα τρίγωνα $ΔΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ είναι ίσα (ΠΓΠ: $ΒΔ=Α'Β'$, $ΒΓ=Β'Γ'$, $\hat{Β}=\hat{Β'}$). Άρα $\hat{Δ}_1 = \hat{Α'} = 90^\circ$. Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο $Γ$ έχουμε δύο κάθετες ($ΓΑ$ και $ΓΔ$) προς την $ΑΒ$, πράγμα αδύνατο λόγω της μοναδικότητας της καθέτου. Άρα η αρχική υπόθεση ήταν λάθος, και $ΑΒ = Α'Β'$. Τότε τα αρχικά τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ είναι ίσα (ΠΓΠ).

Θεώρημα ΙΙ

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 💪

• Απόδειξη: Έστω $ΑΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ ορθογώνια με $\hat{Α} = \hat{Α'} = 90^\circ$, $ΒΓ = Β'Γ'$ (υποτείνουσες) και $ΑΒ = Α'Β'$ (κάθετες). Προεκτείνουμε τις $ΒΑ$ και $Β'Α'$ και παίρνουμε σημεία $Δ$ και $Δ'$ ώστε $ΑΔ = ΑΒ$ και $Α'Δ' = Α'Β'$. Τότε η $ΓΑ$ είναι μεσοκάθετος του $ΔΒ$ (αφού $Α$ μέσο του $ΔΒ$ και $ΓΑ \perp ΔΒ$) και η $Γ'Α'$ μεσοκάθετος του $Δ'Β'$. Από την ιδιότητα της μεσοκαθέτου, $ΓΔ = ΓΒ$ και $Γ'Δ' = Γ'Β'$. Επειδή $ΒΓ = Β'Γ'$, έχουμε $ΓΔ = Γ'Δ'$. Τώρα, τα τρίγωνα $ΓΔΒ$ και $Γ'Δ'Β'$ έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες ($ΓΔ = Γ'Δ'$, $ΓΒ = Γ'Β'$, $ΔΒ = 2ΑΒ = 2Α'Β' = Δ'Β'$), άρα είναι ίσα (ΠΠΠ). Επομένως, $\hat{Β} = \hat{Β'}$. Τελικά, τα αρχικά τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ είναι ίσα (ΠΓΠ: $ΑΒ=Α'Β'$, $ΒΓ=Β'Γ'$, $\hat{Β}=\hat{Β'}$).

Πόρισμα Ι

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι ταυτόχρονα και διάμεσος (ενώνει την κορυφή με το μέσο της βάσης) και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής. 🌲

Πόρισμα ΙΙ

Η κάθετος από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του:

1. Διχοτομεί τη χορδή (περνάει από το μέσο της).
2. Διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο (χωρίζει το τόξο που αντιστοιχεί στη χορδή σε δύο ίσα τόξα). 🎯

• Απόδειξη (Πόρισμα ΙΙ): Έστω κύκλος $(Ο, ρ)$, χορδή $ΑΒ$, $ΟΚ \perp ΑΒ$ και $Μ$ το σημείο όπου η προέκταση της $ΟΚ$ τέμνει το τόξο $ΑΒ$. Το τρίγωνο $ΟΑΒ$ είναι ισοσκελές ($ΟΑ = ΟΒ = ρ$). Η $ΟΚ$ είναι ύψος στο ισοσκελές τρίγωνο. Σύμφωνα με το Πόρισμα Ι, η $ΟΚ$ είναι και διάμεσος (άρα $Κ$ μέσο της $ΑΒ$) και διχοτόμος της γωνίας $Α\hat{Ο}Β$ (άρα $\hat{Ο}_1 = \hat{Ο}_2$). Επειδή οι γωνίες $\hat{Ο}_1$ και $\hat{Ο}_2$ είναι επίκεντρες που αντιστοιχούν στα τόξα $ΑΜ$ και $ΜΒ$, η ισότητα $\hat{Ο}_1 = \hat{Ο}_2$ σημαίνει ότι και τα τόξα είναι ίσα: $τόξο(ΑΜ) = τόξο(ΜΒ)$.

Ανακεφαλαίωση Κριτηρίων Ισότητας Ορθογωνίων Τριγώνων 📝

Συνοπτικά, δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:

• Δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία (Κάθετη-Κάθετη ή Υποτείνουσα-Κάθετη).
• Μία πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία (Κάθετη-Οξεία Γωνία ή Υποτείνουσα-Οξεία Γωνία).

Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται συγκεντρωμένα και τα τέσσερα κριτήρια:

Ιδιότητες Χορδών και Διχοτόμων 💫

Θεώρημα ΙΙΙ (Χορδές και Αποστήματα)

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους (οι αποστάσεις τους από το κέντρο) είναι ίσα.

• Απόδειξη:
  • (Ίσες χορδές $\Rightarrow$ Ίσα αποστήματα): Έστω $ΑΒ = ΓΔ$ χορδές κύκλου $(Ο, ρ)$ και $ΟΚ, ΟΛ$ τα αποστήματά τους. Τα ορθογώνια τρίγωνα $ΚΟΑ$ και $ΛΟΓ$ έχουν $\hat{Κ} = \hat{Λ} = 90^\circ$, $ΟΑ = ΟΓ = ρ$ (ακτίνες) και $ΑΚ = \frac{ΑΒ}{2} = \frac{ΓΔ}{2} = ΓΛ$ (αφού τα αποστήματα διχοτομούν τις χορδές). Άρα, τα τρίγωνα είναι ίσα (Υποτείνουσα-Κάθετη). Επομένως, $ΟΚ = ΟΛ$.
  • (Ίσα αποστήματα $\Rightarrow$ Ίσες χορδές): Έστω $ΟΚ = ΟΛ$. Τα ορθογώνια τρίγωνα $ΚΟΑ$ και $ΛΟΓ$ έχουν $\hat{Κ} = \hat{Λ} = 90^\circ$, $ΟΑ = ΟΓ = ρ$ και $ΟΚ = ΟΛ$. Άρα, είναι ίσα (Υποτείνουσα-Κάθετη). Επομένως, $ΑΚ = ΓΛ$. Αφού $ΑΒ = 2ΑΚ$ και $ΓΔ = 2ΓΛ$, προκύπτει $ΑΒ = ΓΔ$.

Θεώρημα IV (Ιδιότητα Διχοτόμου Γωνίας)

1. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας.
2. Αντίστροφα, κάθε εσωτερικό σημείο μιας γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της, ανήκει στη διχοτόμο της. ↔️

• Απόδειξη:
  • (1. Σημείο διχοτόμου $\Rightarrow$ Ισαπέχει): Έστω γωνία $x\hat{O}y$, η διχοτόμος της $Οδ$ και $Μ$ σημείο της $Οδ$. Φέρνουμε $ΜΑ \perp Ox$ και $ΜΒ \perp Oy$. Τα ορθογώνια τρίγωνα $ΑΟΜ$ και $ΒΟΜ$ έχουν $\hat{Α} = \hat{Β} = 90^\circ$, την $ΟΜ$ κοινή υποτείνουσα και τις οξείες γωνίες $Μ\hat{Ο}Α = Μ\hat{Ο}Β$ (αφού $Οδ$ διχοτόμος). Άρα, τα τρίγωνα είναι ίσα (Υποτείνουσα-Οξεία Γωνία). Επομένως, $ΜΑ = ΜΒ$.
  • (2. Ισαπέχει $\Rightarrow$ Σημείο διχοτόμου): Έστω $Μ$ εσωτερικό σημείο της $x\hat{O}y$ με $ΜΑ \perp Ox$, $ΜΒ \perp Oy$ και $ΜΑ = ΜΒ$. Τα ορθογώνια τρίγωνα $ΑΟΜ$ και $ΒΟΜ$ έχουν $\hat{Α} = \hat{Β} = 90^\circ$, την $ΟΜ$ κοινή υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές $ΜΑ = ΜΒ$. Άρα, είναι ίσα (Υποτείνουσα-Κάθετη). Επομένως, $Μ\hat{Ο}Α = Μ\hat{Ο}Β$, που σημαίνει ότι η $ΟΜ$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $x\hat{O}y$.

Εφαρμογή 💡

Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$. Προεκτείνουμε την $ΑΒ$ κατά τμήμα $ΒΕ = ΑΒ$ και την $ΑΓ$ κατά τμήμα $ΓΖ = ΑΓ$. Φέρνουμε το ύψος $ΑΔ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$ και τις κάθετες $ΕΗ$ και $ΖΘ$ από τα $Ε$ και $Ζ$ προς την ευθεία $ΒΓ$.

• i) Σύγκριση τριγώνων:

  • Τα τρίγωνα $ΑΒΔ$ και $ΕΒΗ$ είναι ορθογώνια ($\hat{Δ} = \hat{Η} = 90^\circ$). Έχουν $ΑΒ = ΒΕ$ (υπόθεση) και τις γωνίες $\hat{Β}_1 = \hat{Β}_2$ ως κατακορυφήν. Άρα, τα τρίγωνα $ΑΒΔ$ και $ΕΒΗ$ είναι ίσα (Υποτείνουσα-Οξεία Γωνία). ✨
  • Τα τρίγωνα $ΑΓΔ$ και $ΖΓΘ$ είναι ορθογώνια ($\hat{Δ} = \hat{Θ} = 90^\circ$). Έχουν $ΑΓ = ΓΖ$ (υπόθεση) και τις γωνίες $\hat{Γ}_1 = \hat{Γ}_2$ ως κατακορυφήν. Άρα, τα τρίγωνα $ΑΓΔ$ και $ΖΓΘ$ είναι ίσα (Υποτείνουσα-Οξεία Γωνία). ✨

• ii) Απόδειξη $ΕΗ = ΖΘ$:

  • Από την ισότητα $ΑΒΔ = ΕΒΗ$ προκύπτει ότι $ΕΗ = ΑΔ$ (ως αντίστοιχες κάθετες πλευρές).
  • Από την ισότητα $ΑΓΔ = ΖΓΘ$ προκύπτει ότι $ΖΘ = ΑΔ$ (ως αντίστοιχες κάθετες πλευρές).
  • Επομένως, αφού και τα δύο τμήματα $ΕΗ$ και $ΖΘ$ είναι ίσα με το $ΑΔ$, είναι και μεταξύ τους ίσα: $ΕΗ = ΖΘ$. ✅