Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Η Μοναδική Κάθετη 📏

Η αφετηρία όλης της ενότητας είναι ένα θεώρημα που φαίνεται προφανές, αλλά αποδεικνύεται εξαιρετικά χρήσιμο.

### Το θεώρημα

Από ένα σημείο που βρίσκεται **εκτός** μιας ευθείας μπορούμε να φέρουμε **μία και μοναδική** κάθετη γραμμή προς αυτή την ευθεία.

Το θεώρημα λέει στην πραγματικότητα δύο πράγματα μαζί:

| Μέρος | Τι εξασφαλίζει |
|---|---|
| Ύπαρξη | Κάθετη μπορούμε πάντα να φέρουμε — δεν υπάρχει σημείο και ευθεία για τα οποία να αποτυγχάνει |
| Μοναδικότητα | Δεύτερη, διαφορετική κάθετη δεν υπάρχει |

### Γιατί μας ενδιαφέρει η μοναδικότητα

Η μοναδικότητα είναι το εργαλείο που θα κλείσει αποδείξεις παρακάτω. Ο μηχανισμός είναι πάντα ο ίδιος: κάνουμε μια υπόθεση, την ακολουθούμε με λογικά βήματα και καταλήγουμε να έχουμε **δύο** κάθετες από το ίδιο σημείο προς την ίδια ευθεία. Επειδή αυτό είναι αδύνατο, η υπόθεση απορρίπτεται. Αυτή είναι η μέθοδος της :tooltip[εις άτοπον απαγωγής]{content="Μέθοδος απόδειξης όπου υποθέτουμε το αντίθετο από αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε και καταλήγουμε σε λογική αντίφαση."}.

:::alert{title="Μία κάθετη, άπειρες πλάγιες"}
Από σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να τραβήξουμε άπειρα ευθύγραμμα τμήματα προς σημεία της ευθείας. Όλα αυτά όμως εκτός από ένα είναι :tooltip[πλάγια]{content="Ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει ένα σημείο εκτός μιας ευθείας με ένα σημείο πάνω στην ευθεία, αλλά δεν είναι κάθετο σε αυτήν."}. Κάθετη είναι μόνο η μία. Το ότι οι γραμμές είναι πολλές δεν σημαίνει ότι και οι κάθετες είναι πολλές.
:::

# Τα Δύο Απλά Κριτήρια για Ορθογώνια 🧐

Από τα γενικά τρίγωνα ξέρουμε ήδη δύο κριτήρια ισότητας: το **ΠΓΠ** (δύο πλευρές και η :tooltip[περιεχόμενη]{content="Η γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στις δύο πλευρές."} γωνία ίσες) και το **ΓΠΓ** (μία πλευρά και οι :tooltip[προσκείμενες]{content="Οι γωνίες που βρίσκονται στα άκρα μιας πλευράς τριγώνου."} γωνίες ίσες).

### Γιατί τα ορθογώνια είναι πιο εύκολη περίπτωση

Δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν εξ αρχής **μία γωνία ίση**: την :tooltip[ορθή γωνία]{content="Μια γωνία που έχει μέτρο 90 μοίρες."} των \(90^\circ\). Αυτή η ισότητα είναι δεδομένη, δεν χρειάζεται απόδειξη. Έτσι τα γενικά κριτήρια απλοποιούνται και αρκούν **δύο** επιπλέον ίσα στοιχεία αντί για τρία.

### Τα δύο κριτήρια που προκύπτουν αμέσως

- Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις **δύο κάθετες πλευρές** τους ίσες μία προς μία. Αυτό είναι απλώς το ΠΓΠ, με την ορθή γωνία στον ρόλο της περιεχόμενης. 👍
- Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν **μία κάθετη πλευρά** και την **προσκείμενη οξεία γωνία** ίσες μία προς μία. Αυτό είναι το ΓΠΓ, αφού η δεύτερη προσκείμενη γωνία είναι η ορθή. 👍

:::alert{title="Χρειάζεται πάντα μία πλευρά"}
Δύο ίσες οξείες γωνίες **δεν** αρκούν για να είναι ίσα δύο ορθογώνια τρίγωνα. Τότε έχουν το ίδιο σχήμα αλλά μπορεί να έχουν εντελώς διαφορετικό μέγεθος. Τουλάχιστον ένα από τα δύο επιπλέον στοιχεία πρέπει να είναι **πλευρά**.
:::

Πέρα από αυτά τα δύο, υπάρχουν και δύο κριτήρια ειδικά για ορθογώνια τρίγωνα, που στηρίζονται στην :tooltip[υποτείνουσα]{content="Η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, απέναντι από την ορθή γωνία."}.

# Θεώρημα Ι: Υποτείνουσα - Οξεία Γωνία 🤩

### Η διατύπωση

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την **υποτείνουσα** και **μία οξεία γωνία** αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

### Η απόδειξη με άτοπο

Έστω \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) ορθογώνια με \(\hat{Α} = \hat{Α'} = 90^\circ\), \(ΒΓ = Β'Γ'\) (οι υποτείνουσες) και \(\hat{Β} = \hat{Β'}\).

Υποθέτουμε ότι \(ΑΒ \neq Α'Β'\), π.χ. \(ΑΒ > Α'Β'\). Τότε:

1. Παίρνουμε σημείο \(Δ\) πάνω στην \(ΑΒ\) ώστε \(ΒΔ = Α'Β'\).
2. Τα τρίγωνα \(ΔΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) είναι ίσα με **ΠΓΠ**, αφού \(ΒΔ = Α'Β'\), \(ΒΓ = Β'Γ'\) και \(\hat{Β} = \hat{Β'}\).
3. Άρα \(\hat{Δ}_1 = \hat{Α'} = 90^\circ\), δηλαδή και η \(ΓΔ\) είναι κάθετη στην \(ΑΒ\).
4. Τότε όμως από το σημείο \(Γ\) έχουμε **δύο** κάθετες προς την \(ΑΒ\): την \(ΓΑ\) και την \(ΓΔ\). Αυτό είναι αδύνατο λόγω της μοναδικότητας της καθέτου.

Άρα η υπόθεση ήταν λάθος και ισχύει \(ΑΒ = Α'Β'\). Με αυτή την ισότητα, τα αρχικά τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) είναι ίσα με **ΠΓΠ**.

:::fact{title="Πώς ένα θεώρημα στηρίζει ένα άλλο"}
Η μοναδικότητα της καθέτου φαίνεται σαν ασήμαντη παρατήρηση όταν τη διαβάζουμε πρώτη φορά. Εδώ όμως είναι το μοναδικό σημείο όπου σπάει η υπόθεση: χωρίς αυτήν, η απόδειξη δεν θα είχε πού να ακουμπήσει. Έτσι χτίζεται η Ευκλείδεια Γεωμετρία — κάθε νέο θεώρημα πατάει στα προηγούμενα.
:::

# Θεώρημα ΙΙ: Υποτείνουσα - Κάθετη 💪

### Η διατύπωση

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την **υποτείνουσα** και **μία κάθετη πλευρά** αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

### Η απόδειξη με διπλασιασμό

Έστω \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) ορθογώνια με \(\hat{Α} = \hat{Α'} = 90^\circ\), \(ΒΓ = Β'Γ'\) (υποτείνουσες) και \(ΑΒ = Α'Β'\) (κάθετες πλευρές).

1. Προεκτείνουμε τις \(ΒΑ\) και \(Β'Α'\) και παίρνουμε σημεία \(Δ\), \(Δ'\) ώστε \(ΑΔ = ΑΒ\) και \(Α'Δ' = Α'Β'\).
2. Η \(ΓΑ\) γίνεται τότε :tooltip[μεσοκάθετος]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} του \(ΔΒ\), αφού το \(Α\) είναι μέσο του \(ΔΒ\) και \(ΓΑ \perp ΔΒ\). Ομοίως η \(Γ'Α'\) είναι μεσοκάθετος του \(Δ'Β'\).
3. Από την ιδιότητα της μεσοκαθέτου προκύπτει \(ΓΔ = ΓΒ\) και \(Γ'Δ' = Γ'Β'\). Επειδή \(ΒΓ = Β'Γ'\), έχουμε και \(ΓΔ = Γ'Δ'\).
4. Τα τρίγωνα \(ΓΔΒ\) και \(Γ'Δ'Β'\) έχουν και τις τρεις πλευρές ίσες: \(ΓΔ = Γ'Δ'\), \(ΓΒ = Γ'Β'\) και \(ΔΒ = 2ΑΒ = 2Α'Β' = Δ'Β'\). Άρα είναι ίσα με **ΠΠΠ**.
5. Επομένως \(\hat{Β} = \hat{Β'}\), και τα αρχικά τρίγωνα \(ΑΒΓ\), \(Α'Β'Γ'\) είναι ίσα με **ΠΓΠ**.

:::fact{title="Το κόλπο του διπλασιασμού"}
Η ιδέα της απόδειξης δεν είναι να συγκρίνουμε τα δεδομένα τρίγωνα, αλλά να φτιάξουμε **μεγαλύτερα** τρίγωνα για τα οποία ξέρουμε και τις τρεις πλευρές. Ο διπλασιασμός μιας πλευράς μετατρέπει ένα δύσκολο πρόβλημα σε μια απλή εφαρμογή του ΠΠΠ — τεχνική που θα ξανασυναντήσετε πολλές φορές στη Γεωμετρία.
:::

# Πόρισμα Ι: Το Ισοσκελές και η Βάση του 🌲

### Η ιδιότητα

Σε ένα :tooltip[ισοσκελές]{content="Τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες."} τρίγωνο, το **ύψος** που αντιστοιχεί στη βάση είναι ταυτόχρονα:

- **:tooltip[διάμεσος]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς."}** — καταλήγει ακριβώς στο μέσο της βάσης, και
- **:tooltip[διχοτόμος]{content="Η γραμμή που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."}** της γωνίας της κορυφής — τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

### Γιατί αυτό είναι σημαντικό

Στο γενικό τρίγωνο, το :tooltip[ύψος]{content="Η κάθετη γραμμή από μια κορυφή προς την απέναντι πλευρά."}, η διάμεσος και η διχοτόμος από την ίδια κορυφή είναι **τρεις διαφορετικές γραμμές**. Στο ισοσκελές, όταν ξεκινούν από την κορυφή προς τη βάση, ταυτίζονται και οι τρεις σε μία.

Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μόλις σε μια άσκηση αναγνωρίσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο, μία μόνο πληροφορία σας δίνει τρεις:

| Αν ξέρετε ότι μια γραμμή προς τη βάση είναι... | Τότε ξέρετε επίσης ότι είναι... |
|---|---|
| ύψος | διάμεσος και διχοτόμος |
| διάμεσος | ύψος και διχοτόμος |
| διχοτόμος | ύψος και διάμεσος |

:::alert{title="Μόνο για τη βάση"}
Η ιδιότητα ισχύει **αποκλειστικά** για τη γραμμή που ξεκινά από την κορυφή προς τη βάση, δηλαδή προς την άνιση πλευρά. Το ύψος που αντιστοιχεί σε μία από τις δύο ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς **δεν** είναι ούτε διάμεσος ούτε διχοτόμος.
:::

# Πόρισμα ΙΙ: Κάθετος από το Κέντρο προς Χορδή 🎯

### Η ιδιότητα

Η κάθετος που φέρνουμε από το κέντρο ενός κύκλου προς μια :tooltip[χορδή]{content="Ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία της περιφέρειας ενός κύκλου."} του:

1. **Διχοτομεί τη χορδή** — περνάει από το μέσο της.
2. **Διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο** — το χωρίζει σε δύο ίσα :tooltip[τόξα]{content="Ένα συνεχές τμήμα της περιφέρειας ενός κύκλου."}.

### Η απόδειξη

Έστω κύκλος \((Ο, ρ)\), χορδή \(ΑΒ\), \(ΟΚ \perp ΑΒ\) και \(Μ\) το σημείο όπου η προέκταση της \(ΟΚ\) τέμνει το τόξο \(ΑΒ\).

- Το τρίγωνο \(ΟΑΒ\) είναι **ισοσκελές**, γιατί \(ΟΑ = ΟΒ = ρ\) (και οι δύο είναι ακτίνες).
- Η \(ΟΚ\) είναι το ύψος του προς τη βάση \(ΑΒ\).
- Από το Πόρισμα Ι, η \(ΟΚ\) είναι λοιπόν και **διάμεσος** (άρα το \(Κ\) είναι μέσο της \(ΑΒ\)) και **διχοτόμος** της γωνίας \(Α\hat{Ο}Β\), δηλαδή \(\hat{Ο}_1 = \hat{Ο}_2\).
- Οι γωνίες \(\hat{Ο}_1\) και \(\hat{Ο}_2\) είναι :tooltip[επίκεντρες]{content="Γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου."} και αντιστοιχούν στα τόξα \(ΑΜ\) και \(ΜΒ\). Άρα η ισότητά τους δίνει \(τόξο(ΑΜ) = τόξο(ΜΒ)\).

:::fact{title="Ένα πόρισμα που γεννά ένα άλλο"}
Παρατηρήστε ότι εδώ δεν αποδείξαμε τίποτα καινούριο για τον κύκλο: απλώς αναγνωρίσαμε ένα **ισοσκελές τρίγωνο** εκεί όπου οι περισσότεροι βλέπουν έναν κύκλο. Οι δύο ακτίνες προς τα άκρα κάθε χορδής σχηματίζουν πάντα ισοσκελές τρίγωνο, και αυτή η παρατήρηση ξεκλειδώνει πλήθος ασκήσεων με κύκλους.
:::

# Τα Τέσσερα Κριτήρια Μαζί 📝

Συγκεντρωτικά, δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:

- Δύο **ομόλογες πλευρές** τους ίσες μία προς μία — δηλαδή Κάθετη-Κάθετη ή Υποτείνουσα-Κάθετη.
- Μία **πλευρά** και την **προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία** αντίστοιχα ίσες — δηλαδή Κάθετη-Οξεία Γωνία ή Υποτείνουσα-Οξεία Γωνία.

### Ο πίνακας των κριτηρίων

| Τι γνωρίζουμε ίσο | Ονομασία κριτηρίου | Από πού προκύπτει |
|---|---|---|
| Οι δύο κάθετες πλευρές | Κάθετη - Κάθετη | Το γενικό ΠΓΠ (περιεχόμενη η ορθή) |
| Μία κάθετη πλευρά και η προσκείμενη οξεία γωνία | Κάθετη - Οξεία Γωνία | Το γενικό ΓΠΓ |
| Η υποτείνουσα και μία οξεία γωνία | Υποτείνουσα - Οξεία Γωνία | Θεώρημα Ι |
| Η υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά | Υποτείνουσα - Κάθετη | Θεώρημα ΙΙ |

### Πώς διαλέγουμε κριτήριο σε μια άσκηση

Καταγράψτε πρώτα τα ίσα στοιχεία που σας δίνονται και ελέγξτε τι **είδος** είναι το καθένα: υποτείνουσα, κάθετη πλευρά ή οξεία γωνία. Το ζεύγος που προκύπτει σας οδηγεί κατευθείαν σε μία από τις τέσσερις γραμμές του πίνακα.

:::alert{title="Η ορθή γωνία δεν μετράει ως δεύτερο στοιχείο"}
Ένα συχνό λάθος είναι να μετρήσει κανείς την ορθή γωνία σαν ένα από τα δύο στοιχεία που πρέπει να βρει. Η ισότητα των ορθών γωνιών είναι **δεδομένη** και δεν προσφέρει καμία νέα πληροφορία: χρειάζονται δύο **ακόμη** ίσα στοιχεία, από τα οποία τουλάχιστον ένα πλευρά.
:::

# Θεώρημα ΙΙΙ: Χορδές και Αποστήματα 💫

### Η διατύπωση

Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες **αν και μόνο αν** τα :tooltip[αποστήματά]{content="Η απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι τη χορδή (δηλαδή το μήκος της καθέτου από το κέντρο προς τη χορδή)."} τους, δηλαδή οι αποστάσεις τους από το κέντρο, είναι ίσα.

Η διατύπωση «αν και μόνο αν» σημαίνει ότι πρέπει να αποδειχθούν **δύο** πράγματα.

### Ίσες χορδές \(\Rightarrow\) Ίσα αποστήματα

Έστω \(ΑΒ = ΓΔ\) χορδές κύκλου \((Ο, ρ)\) και \(ΟΚ\), \(ΟΛ\) τα αποστήματά τους. Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΚΟΑ\) και \(ΛΟΓ\) έχουν:

- \(\hat{Κ} = \hat{Λ} = 90^\circ\)
- \(ΟΑ = ΟΓ = ρ\) (ακτίνες, άρα ίσες υποτείνουσες)
- \(ΑΚ = \frac{ΑΒ}{2} = \frac{ΓΔ}{2} = ΓΛ\), αφού τα αποστήματα διχοτομούν τις χορδές

Άρα είναι ίσα με **Υποτείνουσα - Κάθετη**, οπότε \(ΟΚ = ΟΛ\).

### Ίσα αποστήματα \(\Rightarrow\) Ίσες χορδές

Έστω \(ΟΚ = ΟΛ\). Τα ίδια ορθογώνια τρίγωνα \(ΚΟΑ\) και \(ΛΟΓ\) έχουν \(\hat{Κ} = \hat{Λ} = 90^\circ\), \(ΟΑ = ΟΓ = ρ\) και \(ΟΚ = ΟΛ\). Άρα είναι πάλι ίσα με **Υποτείνουσα - Κάθετη**, οπότε \(ΑΚ = ΓΛ\). Επειδή \(ΑΒ = 2ΑΚ\) και \(ΓΔ = 2ΓΛ\), προκύπτει \(ΑΒ = ΓΔ\).

:::fact{title="Όσο πιο κοντά στο κέντρο, τόσο μεγαλύτερη η χορδή"}
Το θεώρημα εξηγεί κάτι που φαίνεται και με το μάτι: χορδές που απέχουν το ίδιο από το κέντρο έχουν το ίδιο μήκος. Η μεγαλύτερη χορδή είναι εκείνη με απόστημα μηδέν — δηλαδή η :tooltip[διάμετρος]{content="Η μεγαλύτερη χορδή ενός κύκλου, που περνά από το κέντρο του."}, που περνά από το ίδιο το κέντρο.
:::

# Θεώρημα IV: Η Ιδιότητα της Διχοτόμου ↔️

### Η διατύπωση σε δύο μέρη

1. Κάθε σημείο της :tooltip[διχοτόμου]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} μιας γωνίας **ισαπέχει** από τις πλευρές της γωνίας.
2. Αντίστροφα, κάθε **εσωτερικό** σημείο μιας γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της ανήκει στη διχοτόμο της.

### Απόδειξη του ευθέος

Έστω γωνία \(x\hat{O}y\), η διχοτόμος της \(Οδ\) και \(Μ\) σημείο της \(Οδ\). Φέρνουμε \(ΜΑ \perp Ox\) και \(ΜΒ \perp Oy\). Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΟΜ\) και \(ΒΟΜ\) έχουν \(\hat{Α} = \hat{Β} = 90^\circ\), την \(ΟΜ\) **κοινή υποτείνουσα** και \(Μ\hat{Ο}Α = Μ\hat{Ο}Β\) (αφού η \(Οδ\) είναι διχοτόμος). Άρα είναι ίσα με **Υποτείνουσα - Οξεία Γωνία**, οπότε \(ΜΑ = ΜΒ\).

### Απόδειξη του αντιστρόφου

Έστω \(Μ\) εσωτερικό σημείο της \(x\hat{O}y\) με \(ΜΑ \perp Ox\), \(ΜΒ \perp Oy\) και \(ΜΑ = ΜΒ\). Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΟΜ\) και \(ΒΟΜ\) έχουν \(\hat{Α} = \hat{Β} = 90^\circ\), την \(ΟΜ\) κοινή υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές \(ΜΑ = ΜΒ\). Άρα είναι ίσα με **Υποτείνουσα - Κάθετη**, οπότε \(Μ\hat{Ο}Α = Μ\hat{Ο}Β\), δηλαδή η \(ΟΜ\) είναι η διχοτόμος της γωνίας.

:::fact{title="Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος"}
Επειδή αποδεικνύονται και οι δύο κατευθύνσεις, η διχοτόμος μιας γωνίας είναι **ακριβώς** ο :tooltip[γεωμετρικός τόπος]{content="Το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη ιδιότητα."} των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της: το ευθύ εξασφαλίζει ότι κανένα σημείο της δεν λείπει, το αντίστροφο ότι κανένα ξένο σημείο δεν περισσεύει. 📍
:::

# Εφαρμογή: Δύο Ίσες Κάθετες 💡

### Το πρόβλημα

Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\). Προεκτείνουμε την \(ΑΒ\) κατά τμήμα \(ΒΕ = ΑΒ\) και την \(ΑΓ\) κατά τμήμα \(ΓΖ = ΑΓ\). Φέρνουμε το ύψος \(ΑΔ\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\), καθώς και τις κάθετες \(ΕΗ\) και \(ΖΘ\) από τα \(Ε\) και \(Ζ\) προς την ευθεία \(ΒΓ\). Ζητάμε να συγκρίνουμε τα τρίγωνα που σχηματίζονται και να δείξουμε ότι \(ΕΗ = ΖΘ\).

### i) Σύγκριση των τριγώνων

- Τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΕΒΗ\) είναι ορθογώνια, αφού \(\hat{Δ} = \hat{Η} = 90^\circ\). Έχουν \(ΑΒ = ΒΕ\) από την κατασκευή (ίσες υποτείνουσες) και τις γωνίες \(\hat{Β}_1 = \hat{Β}_2\) ως :tooltip[κατακορυφήν]{content="Δύο γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες ευθείες και βρίσκονται η μία απέναντι από την άλλη. Είναι πάντα ίσες."}. Άρα είναι ίσα με **Υποτείνουσα - Οξεία Γωνία**. ✨
- Ομοίως, τα τρίγωνα \(ΑΓΔ\) και \(ΖΓΘ\) είναι ορθογώνια (\(\hat{Δ} = \hat{Θ} = 90^\circ\)), έχουν \(ΑΓ = ΓΖ\) και \(\hat{Γ}_1 = \hat{Γ}_2\) ως κατακορυφήν, άρα είναι ίσα με **Υποτείνουσα - Οξεία Γωνία**. ✨

### ii) Απόδειξη ότι \(ΕΗ = ΖΘ\)

- Από την ισότητα \(ΑΒΔ = ΕΒΗ\) προκύπτει \(ΕΗ = ΑΔ\), ως αντίστοιχες κάθετες πλευρές ίσων τριγώνων.
- Από την ισότητα \(ΑΓΔ = ΖΓΘ\) προκύπτει \(ΖΘ = ΑΔ\), για τον ίδιο λόγο.
- Και τα δύο τμήματα είναι ίσα με το \(ΑΔ\), άρα \(ΕΗ = ΖΘ\). ✅

:::alert{title="Η στρατηγική του κοινού μέτρου"}
Δεν συγκρίναμε ποτέ απευθείας τα \(ΕΗ\) και \(ΖΘ\) — δεν ανήκουν σε τρίγωνα που να μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους. Τα συνδέσαμε καθένα χωριστά με ένα **τρίτο** τμήμα, το ύψος \(ΑΔ\). Όταν δύο τμήματα φαίνονται ασύνδετα, ψάξτε ένα τρίτο με το οποίο και τα δύο συγκρίνονται εύκολα.
:::

01. Βασική Θεωρία

Γιατί από σημείο εκτός ευθείας φέρνουμε ακριβώς μία κάθετη, και πώς η μοναδικότητα αυτή γίνεται εργαλείο απόδειξης.

Ύπαρξη και μοναδικότητα της καθέτου

Πώς τα γνωστά κριτήρια ΠΓΠ και ΓΠΓ απλοποιούνται όταν τα τρίγωνα έχουν ήδη μία ορθή γωνία κοινή.

Τα βασικά κριτήρια για ορθογώνια τρίγωνα

Το κριτήριο ισότητας με υποτείνουσα και οξεία γωνία, και η απόδειξή του που στηρίζεται στη μοναδικότητα της καθέτου.

Θεώρημα: υποτείνουσα και οξεία γωνία

Το κριτήριο ισότητας με υποτείνουσα και κάθετη πλευρά, αποδεδειγμένο με διπλασιασμό και χρήση της μεσοκαθέτου.

Θεώρημα: υποτείνουσα και κάθετη πλευρά

Το πόρισμα που δείχνει ότι στο ισοσκελές τρίγωνο τρεις διαφορετικές γραμμές προς τη βάση ταυτίζονται σε μία.

Ύψος, διάμεσος και διχοτόμος στο ισοσκελές

Πώς η κάθετος από το κέντρο ενός κύκλου διχοτομεί ταυτόχρονα και τη χορδή και το τόξο που της αντιστοιχεί.

Κάθετος από το κέντρο προς χορδή

Συγκεντρωτική εικόνα των κριτηρίων ισότητας ορθογωνίων τριγώνων και ποια στοιχεία χρειάζεται να γνωρίζουμε κάθε φορά.

Ανακεφαλαίωση των τεσσάρων κριτηρίων

Η ισοδυναμία ανάμεσα στην ισότητα δύο χορδών ενός κύκλου και στην ισότητα των αποστάσεών τους από το κέντρο.

Ίσες χορδές και ίσα αποστήματα

Γιατί τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές μιας γωνίας είναι ακριβώς τα σημεία της διχοτόμου της.

Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος

Μια πλήρης άσκηση όπου προεκτείνονται δύο πλευρές τριγώνου και συγκρίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα που προκύπτουν.

Εφαρμογή με διπλάσιες πλευρές τριγώνου

# Κάθετος και Ορθογώνια Τρίγωνα σε Μια Ματιά 📐

Από κάθε σημείο εκτός μιας ευθείας φέρνουμε **μία και μοναδική** κάθετη προς αυτήν. Η μοναδικότητα αυτή δεν είναι απλή διαπίστωση: είναι το εργαλείο που κλείνει αποδείξεις, γιατί όποτε καταλήγουμε σε δύο κάθετες από το ίδιο σημείο προς την ίδια ευθεία, έχουμε φτάσει σε άτοπο.

Επειδή σε δύο ορθογώνια τρίγωνα η ορθή γωνία είναι εξ ορισμού ίση, για την ισότητά τους αρκούν **δύο** ακόμη ίσα στοιχεία. Έτσι προκύπτουν τέσσερα κριτήρια:

| Ίσα στοιχεία | Κριτήριο |
|---|---|
| Οι δύο κάθετες πλευρές | Κάθετη - Κάθετη (από ΠΓΠ) |
| Μία κάθετη πλευρά και η προσκείμενη οξεία γωνία | Κάθετη - Οξεία Γωνία (από ΓΠΓ) |
| Η :tooltip[υποτείνουσα]{content="Η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, απέναντι από την ορθή γωνία."} και μία οξεία γωνία | Υποτείνουσα - Οξεία Γωνία |
| Η υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά | Υποτείνουσα - Κάθετη |

Το κριτήριο Υποτείνουσα - Οξεία Γωνία αποδεικνύεται **εις άτοπον**: αν υποθέσουμε ότι οι κάθετες πλευρές διαφέρουν, καταλήγουμε σε δύο κάθετες από το ίδιο σημείο προς την ίδια ευθεία, που είναι αδύνατο. Το κριτήριο Υποτείνουσα - Κάθετη αποδεικνύεται με διπλασιασμό: προεκτείνοντας την κάθετη πλευρά κατά ίσο τμήμα, η άλλη κάθετη πλευρά γίνεται :tooltip[μεσοκάθετος]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} και τα διπλάσια τρίγωνα που σχηματίζονται είναι ίσα με ΠΠΠ.

:::alert{title="Δύο γωνίες δεν αρκούν ποτέ"}
Σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, τουλάχιστον ένα από τα δύο επιπλέον ίσα στοιχεία πρέπει να είναι **πλευρά**. Αν γνωρίζουμε μόνο ότι οι οξείες γωνίες τους είναι ίσες, τα τρίγωνα έχουν το ίδιο σχήμα αλλά μπορεί να έχουν εντελώς διαφορετικό μέγεθος — δεν είναι ίσα.
:::

Δύο πορίσματα εφαρμόζουν τα κριτήρια αυτά. Πρώτον, σε ισοσκελές τρίγωνο το **ύψος προς τη βάση** είναι ταυτόχρονα **διάμεσος** και **διχοτόμος** της γωνίας της κορυφής. Δεύτερον, η **κάθετος από το κέντρο κύκλου προς μια χορδή** διχοτομεί και τη :tooltip[χορδή]{content="Ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία της περιφέρειας ενός κύκλου."} και το αντίστοιχο τόξο — και αυτό ακριβώς επειδή το τρίγωνο που ορίζουν οι δύο ακτίνες προς τα άκρα της χορδής είναι ισοσκελές.

Ακολουθούν δύο θεωρήματα με τη μορφή «αν και μόνο αν». Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες **αν και μόνο αν** τα :tooltip[αποστήματά]{content="Η απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι τη χορδή (δηλαδή το μήκος της καθέτου από το κέντρο προς τη χορδή)."} τους είναι ίσα· και οι δύο κατευθύνσεις αποδεικνύονται συγκρίνοντας ορθογώνια τρίγωνα με το κριτήριο Υποτείνουσα - Κάθετη, με τις ακτίνες ως ίσες υποτείνουσες. Αντίστοιχα, κάθε σημείο της :tooltip[διχοτόμου]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της, και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές ανήκει στη διχοτόμο της.

:::fact{title="Γιατί χρειάζονται και οι δύο κατευθύνσεις"}
Επειδή αποδεικνύεται και το ευθύ και το αντίστροφο, η διχοτόμος είναι ακριβώς ο :tooltip[γεωμετρικός τόπος]{content="Το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη ιδιότητα."} των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Το ευθύ εξασφαλίζει ότι κάθε σημείο της διχοτόμου έχει την ιδιότητα, το αντίστροφο ότι κανένα άλλο σημείο δεν την έχει. Χωρίς το δεύτερο, ο τόπος θα μπορούσε να ήταν μεγαλύτερος από τη διχοτόμο.
:::

Χαρακτηριστική εφαρμογή: σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) προεκτείνουμε την \(ΑΒ\) κατά \(ΒΕ = ΑΒ\) και την \(ΑΓ\) κατά \(ΓΖ = ΑΓ\), φέρνουμε το ύψος \(ΑΔ\) και τις κάθετες \(ΕΗ\), \(ΖΘ\) προς την ευθεία \(ΒΓ\). Τα ζεύγη \(ΑΒΔ\) με \(ΕΒΗ\) και \(ΑΓΔ\) με \(ΖΓΘ\) είναι ίσα με Υποτείνουσα - Οξεία Γωνία (οι οξείες γωνίες τους είναι :tooltip[κατακορυφήν]{content="Δύο γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες ευθείες και βρίσκονται η μία απέναντι από την άλλη. Είναι πάντα ίσες."}). Άρα \(ΕΗ = ΑΔ\) και \(ΖΘ = ΑΔ\), οπότε \(ΕΗ = ΖΘ\).


Γεωμετρία Α' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία