Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Τα Δευτερεύοντα Στοιχεία του Τριγώνου 📏

Ένα τρίγωνο δεν έχει μόνο τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Μέσα του μπορούμε να φέρουμε και άλλα ευθύγραμμα τμήματα με σαφή γεωμετρικό ρόλο, τα οποία ονομάζονται **δευτερεύοντα στοιχεία** του τριγώνου. Είναι τρία ειδών: τα ύψη, οι διάμεσοι και οι διχοτόμοι.

### Ύψος \(υ\)

Είναι το **κάθετο** ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Πρόσεξε τη διατύπωση: προς την **ευθεία** της απέναντι πλευράς, όχι απαραίτητα προς την ίδια την πλευρά — σε αμβλυγώνιο τρίγωνο το ύψος μπορεί να πέσει έξω από την πλευρά, πάνω στην προέκτασή της.

### Διάμεσος \(μ\)

Είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το **μέσο** της απέναντι πλευράς. Εδώ δεν υπάρχει καμία απαίτηση καθετότητας — μόνο η απαίτηση να καταλήγει ακριβώς στο μέσο.

### Διχοτόμος \(δ\)

Είναι το ευθύγραμμο τμήμα της :tooltip[διχοτόμου]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} μιας γωνίας του τριγώνου, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. Χωρίζει δηλαδή τη γωνία της κορυφής σε δύο ίσες γωνίες.

### Οι συμβολισμοί

Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη, τρεις διαμέσους και τρεις διχοτόμους — μία από κάθε κορυφή. Ο δείκτης δείχνει πάντα από ποια κορυφή ξεκινά το στοιχείο.

| Στοιχείο | Από την κορυφή Α | Από την κορυφή Β | Από την κορυφή Γ |
|---|---|---|---|
| Ύψος | \(υ_α\) | \(υ_β\) | \(υ_γ\) |
| Διάμεσος | \(μ_α\) | \(μ_β\) | \(μ_γ\) |
| Διχοτόμος | \(δ_α\) | \(δ_β\) | \(δ_γ\) |

:::alert{title="Μην τα μπερδεύεις μεταξύ τους"}
Και τα τρία ξεκινούν από κορυφή και καταλήγουν στην απέναντι πλευρά, γι' αυτό μοιάζουν. Ο κανόνας που τα ξεχωρίζει είναι **τι εγγυάται το καθένα**: το ύψος εγγυάται ορθή γωνία, η διάμεσος εγγυάται ίσα τμήματα στην απέναντι πλευρά, η διχοτόμος εγγυάται ίσες γωνίες στην κορυφή. Σε τυχαίο τρίγωνο είναι τρία διαφορετικά τμήματα.
:::


# Τι Σημαίνει «Ίσα Τρίγωνα» 🤝

Δύο τρίγωνα είναι **ίσα** (λέμε και ότι ταυτίζονται) όταν μπορούν να τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο ώστε να **συμπίπτουν πλήρως**. Δεν πρόκειται δηλαδή για κάποια χαλαρή ομοιότητα: είναι το ίδιο ακριβώς σχήμα στο ίδιο ακριβώς μέγεθος, απλώς σχεδιασμένο σε άλλη θέση του χαρτιού.

### Τι συνεπάγεται η ισότητα

Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε έχουν:

- τις πλευρές τους ίσες μία προς μία,
- τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

Δηλαδή και τα **έξι** στοιχεία τους (τρεις πλευρές και τρεις γωνίες) είναι ίσα ανά ζεύγη.

### Αντίστοιχα ή ομόλογα στοιχεία

Τα στοιχεία των δύο τριγώνων που αντιστοιχίζονται μεταξύ τους ονομάζονται **αντίστοιχα** ή **ομόλογα**. Η αντιστοίχιση δεν είναι αυθαίρετη — καθορίζεται από τη θέση των στοιχείων μέσα στο τρίγωνο.

:::alert{title="Ο κανόνας που καθορίζει ποιο πάει με ποιο"}
Σε δύο ίσα τρίγωνα, **απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες** και, αντίστροφα, **απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές**. Αυτό είναι το εργαλείο που χρησιμοποιείς κάθε φορά που, αφού απέδειξες δύο τρίγωνα ίσα, θέλεις να «διαβάσεις» ποια συγκεκριμένη πλευρά ισούται με ποια. Η γραφή \(\triangle ΑΒΓ = \triangle Α'Β'Γ'\) κρύβει ήδη μέσα της την αντιστοίχιση: \(Α\) με \(Α'\), \(Β\) με \(Β'\), \(Γ\) με \(Γ'\).
:::

### Γιατί χρειαζόμαστε κριτήρια

Για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, θα ήταν εξοντωτικό να ελέγχουμε κάθε φορά και τα έξι στοιχεία τους. Ευτυχώς δεν χρειάζεται: αρκεί να ισχύουν ορισμένες συγκεκριμένες, πολύ λιγότερες συνθήκες. Αυτές οι συνθήκες ονομάζονται **Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων** και αποτελούν το βασικό εργαλείο κάθε γεωμετρικής απόδειξης.


# Το 1ο Κριτήριο Ισότητας: Π - Γ - Π ✅

**ΘΕΩΡΗΜΑ:** Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την :tooltip[περιεχόμενη]{content="Η γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στις δύο πλευρές."} γωνία σε αυτές τις πλευρές ίση, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Το όνομα **Π-Γ-Π** (Πλευρά - Γωνία - Πλευρά) περιγράφει ακριβώς τη διάταξη: μια πλευρά, μετά η γωνία ανάμεσά τους, μετά η δεύτερη πλευρά. Με τρία μόνο στοιχεία εξασφαλίζεις και τα έξι.

### Η απόδειξη με μετατόπιση

Έστω δύο τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(Α'Β'Γ'\) με \(ΑΒ = Α'Β'\), \(ΑΓ = Α'Γ'\) και \(\hat{Α} = \hat{Α'}\). Μετατοπίζουμε το \(\triangle Α'Β'Γ'\) ώστε η κορυφή \(Α'\) να πέσει στην \(Α\) και η πλευρά \(Α'Β'\) να πέσει πάνω στην ημιευθεία \(ΑΒ\). Τότε, βήμα-βήμα:

1. Επειδή \(ΑΒ = Α'Β'\), το \(Β'\) θα συμπέσει με το \(Β\).
2. Επειδή \(\hat{Α} = \hat{Α'}\), η ημιευθεία \(Α'Γ'\) θα συμπέσει με την \(ΑΓ\).
3. Επειδή \(ΑΓ = Α'Γ'\), το \(Γ'\) θα συμπέσει με το \(Γ\).

Και οι τρεις κορυφές συνέπεσαν, άρα τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν πλήρως και είναι ίσα. 🎉

:::alert{title="Η γωνία πρέπει να είναι η περιεχόμενη!"}
Το κριτήριο απαιτεί η ίση γωνία να βρίσκεται **ανάμεσα** στις δύο ίσες πλευρές. Αν η ίση γωνία βρίσκεται αλλού, π.χ. απέναντι από μία από τις δύο πλευρές, το σχήμα Π-Π-Γ **δεν** εξασφαλίζει ισότητα: μπορούν να προκύψουν δύο διαφορετικά τρίγωνα με τα ίδια δεδομένα. Γι' αυτό το κριτήριο γράφεται Π-Γ-Π, με τη γωνία στη μέση.
:::

:::fact{title="Γιατί η απόδειξη «σαλεύει» το τρίγωνο"}
Η απόδειξη δεν κάνει πράξεις — μετακινεί ένα σχήμα. Στηρίζεται στην παραδοχή ότι η μετατόπιση δεν αλλάζει μήκη και γωνίες, οπότε αν δύο σχήματα μπορούν να έρθουν σε πλήρη επικάλυψη, είναι ίσα. Είναι από τις πρώτες φορές που θα δεις μια απόδειξη να στηρίζεται στην κίνηση ενός σχήματος αντί σε υπολογισμό.
:::


# Πόρισμα I: Οι Ιδιότητες του Ισοσκελούς Τριγώνου 🔺

Το πρώτο και πιο χρησιμοποιούμενο πόρισμα του Π-Γ-Π αφορά το :tooltip[ισοσκελές]{content="Τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες."} τρίγωνο. Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\)· η \(ΒΓ\) λέγεται **βάση** και η \(\hat{Α}\) **γωνία της κορυφής**.

### Οι δύο ιδιότητες

- Οι γωνίες που βρίσκονται στη βάση είναι ίσες: \(\hat{Β} = \hat{Γ}\). 🤩
- Η :tooltip[διχοτόμος]{content="Η γραμμή που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} της γωνίας της κορυφής είναι ταυτόχρονα και :tooltip[διάμεσος]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς."} προς τη βάση και :tooltip[ύψος]{content="Η κάθετη γραμμή από μια κορυφή προς την απέναντι πλευρά."} προς τη βάση.

### Η απόδειξη

Φέρνουμε τη διχοτόμο \(ΑΔ\) της γωνίας \(\hat{Α}\). Τα τρίγωνα \(ΑΔΒ\) και \(ΑΔΓ\) έχουν:

| Στοιχείο | Γιατί είναι ίσο |
|---|---|
| \(ΑΒ = ΑΓ\) | από την υπόθεση του ισοσκελούς |
| \(ΑΔ\) κοινή | είναι η ίδια πλευρά και στα δύο τρίγωνα |
| \(\hat{Α}_1 = \hat{Α}_2\) | η \(ΑΔ\) είναι διχοτόμος της \(\hat{Α}\) |

Η γωνία \(\hat{Α}\) περιέχεται ανάμεσα στις δύο πλευρές, άρα \(\triangle ΑΔΒ = \triangle ΑΔΓ\) με το κριτήριο Π-Γ-Π. Από την ισότητα των τριγώνων παίρνουμε \(ΒΔ = ΔΓ\), δηλαδή το \(Δ\) είναι το μέσο της \(ΒΓ\) και η \(ΑΔ\) είναι **διάμεσος**. Παίρνουμε επίσης \(\hat{Δ}_1 = \hat{Δ}_2\)· επειδή όμως οι δύο αυτές γωνίες είναι :tooltip[εφεξής και παραπληρωματικές]{content="Δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή, κοινή πλευρά και οι άλλες πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες. Το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες."}, ισχύει \(\hat{Δ}_1 + \hat{Δ}_2 = 180^\circ\), οπότε

\[
\hat{Δ}_1 = \hat{Δ}_2 = 90^\circ
\]

και επομένως η \(ΑΔ\) είναι και **ύψος**.

:::fact{title="Τρία τμήματα σε ένα"}
Σε ένα τυχαίο τρίγωνο η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος από την ίδια κορυφή είναι τρία διαφορετικά τμήματα. Στο ισοσκελές, από την κορυφή τους, ταυτίζονται σε ένα και μοναδικό τμήμα — και αυτό είναι που κάνει το ισοσκελές τόσο βολικό στις αποδείξεις.
:::


# Πόρισμα II: Οι Γωνίες του Ισόπλευρου Τριγώνου ✨

Ισόπλευρο ονομάζεται το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. Το δεύτερο πόρισμα του 1ου κριτηρίου λέει ότι:

**Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι όλες ίσες μεταξύ τους, και ίσες με \(60^\circ\).**

### Από πού προκύπτει

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ταυτόχρονα ισοσκελές, και μάλιστα με **τρεις διαφορετικούς τρόπους**: όποια πλευρά και αν θεωρήσουμε βάση, οι άλλες δύο είναι ίσες. Εφαρμόζοντας κάθε φορά την ιδιότητα του ισοσκελούς — ότι οι γωνίες της βάσης είναι ίσες — παίρνουμε διαδοχικά ότι κάθε ζεύγος γωνιών του είναι ίσο, άρα και οι τρεις γωνίες είναι ίσες. Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι \(180^\circ\), καθεμία από τις τρεις ίσες γωνίες είναι

\[
\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ
\]

### Γιατί είναι χρήσιμο

Είναι το μοναδικό σχήμα τριγώνου του οποίου γνωρίζουμε τις γωνίες χωρίς καμία άλλη πληροφορία. Κάθε φορά που σε μια άσκηση εμφανίζεται ισόπλευρο τρίγωνο, έχεις αυτόματα στη διάθεσή σου τρεις γωνίες των \(60^\circ\), χωρίς να χρειάζεται να αποδείξεις τίποτα άλλο.

:::fact{title="Και το αντίστροφο ισχύει"}
Ένα τρίγωνο με τρεις ίσες γωνίες είναι υποχρεωτικά ισόπλευρο, αφού απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. Έτσι «ισόπλευρο» και «ισογώνιο» τρίγωνο είναι, στην πραγματικότητα, δύο ονόματα για το ίδιο σχήμα.
:::


# Πόρισμα III: Η Ιδιότητα της Μεσοκαθέτου ↔️

**ΠΟΡΙΣΜΑ:** Κάθε σημείο της :tooltip[μεσοκαθέτου]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} ενός ευθύγραμμου τμήματος **ισαπέχει από τα άκρα** του τμήματος.

Η μεσοκάθετος συνδυάζει δύο απαιτήσεις: περνά από το **μέσο** του τμήματος και είναι **κάθετη** σε αυτό. Και οι δύο θα χρησιμοποιηθούν στην απόδειξη.

### Η απόδειξη

Έστω \(ε\) η μεσοκάθετος του τμήματος \(ΑΒ\), η οποία το τέμνει στο μέσο του \(Κ\), και έστω \(Μ\) ένα οποιοδήποτε σημείο της \(ε\). Ενώνουμε το \(Μ\) με τα \(Α\) και \(Β\) και συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(ΜΚΑ\) και \(ΜΚΒ\):

| Στοιχείο | Γιατί είναι ίσο |
|---|---|
| \(ΚΑ = ΚΒ\) | το \(Κ\) είναι το μέσο του \(ΑΒ\) |
| \(ΜΚ\) κοινή | είναι η ίδια πλευρά και στα δύο τρίγωνα |
| \(\hat{Κ}_1 = \hat{Κ}_2 = 90^\circ\) | η \(ε\) είναι κάθετη στο \(ΑΒ\) |

Η ορθή γωνία περιέχεται ανάμεσα στις δύο ίσες πλευρές, άρα \(\triangle ΜΚΑ = \triangle ΜΚΒ\) με το κριτήριο Π-Γ-Π. Συνεπώς \(ΜΑ = ΜΒ\), δηλαδή το \(Μ\) ισαπέχει από τα \(Α\) και \(Β\).

:::alert{title="Ισχύει για κάθε σημείο, όχι μόνο για το μέσο"}
Είναι εύκολο να σκεφτεί κανείς ότι μόνο το \(Κ\) ισαπέχει από τα άκρα. Η απόδειξη όμως δεν χρησιμοποίησε πουθενά πόσο μακριά βρίσκεται το \(Μ\) από το \(Κ\): το \(Μ\) ήταν **τυχαίο** σημείο της \(ε\). Άρα η ιδιότητα ισχύει για όλα τα σημεία της μεσοκαθέτου, όσο μακριά και αν βρίσκονται από το τμήμα.
:::


# Πόρισμα IV: Ίσα Τόξα και Ίσες Χορδές 🏹

**ΠΟΡΙΣΜΑ:** Αν δύο :tooltip[τόξα]{content="Ένα συνεχές τμήμα της περιφέρειας ενός κύκλου."} ενός κύκλου (ή ίσων κύκλων) είναι ίσα, τότε και οι αντίστοιχες :tooltip[χορδές]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου."} τους είναι ίσες.

Το πόρισμα αυτό μεταφέρει μια ισότητα από την **καμπύλη** περιφέρεια του κύκλου στα **ευθύγραμμα** τμήματα που ενώνουν τα άκρα των τόξων.

### Η απόδειξη

Έστω ίσα τόξα \(\stackrel{\frown}{AB} = \stackrel{\frown}{\Gamma\Delta}\) σε κύκλο κέντρου \(Ο\) και ακτίνας \(\rho\). Φέρνουμε τις ακτίνες προς τα τέσσερα άκρα και συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(ΟΑΒ\) και \(ΟΓΔ\):

| Στοιχείο | Γιατί είναι ίσο |
|---|---|
| \(ΟΑ = ΟΓ = \rho\) | είναι ακτίνες του ίδιου κύκλου |
| \(ΟΒ = ΟΔ = \rho\) | είναι ακτίνες του ίδιου κύκλου |
| \(\angle{ΑΟΒ} = \angle{ΓΟΔ}\) | ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες :tooltip[επίκεντρες]{content="Γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου."} γωνίες |

Οι γωνίες αυτές περιέχονται ανάμεσα στις ίσες ακτίνες, άρα \(\triangle ΟΑΒ = \triangle ΟΓΔ\) με το κριτήριο Π-Γ-Π. Συνεπώς \(ΑΒ = ΓΔ\), δηλαδή οι δύο χορδές είναι ίσες.

:::fact{title="Ο κύκλος δίνει δωρεάν δύο ίσες πλευρές"}
Κάθε φορά που σε μια άσκηση φέρνεις ακτίνες από το κέντρο ενός κύκλου, αποκτάς αμέσως ίσες πλευρές χωρίς να χρειάζεται να το αποδείξεις — και σου λείπει μόνο η γωνία ανάμεσά τους για να εφαρμόσεις το Π-Γ-Π. Γι' αυτό οι ακτίνες είναι η πιο συνηθισμένη «βοηθητική γραμμή» σε προβλήματα με κύκλους.
:::


01. Βασική Θεωρία

Τι είναι το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος ενός τριγώνου, από πού ξεκινά το καθένα και πώς συμβολίζονται.

Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

Τι σημαίνει ακριβώς ισότητα τριγώνων και ποια στοιχεία τους ονομάζονται αντίστοιχα ή ομόλογα.

Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα

Το θεώρημα που γλιτώνει τον έλεγχο και των έξι στοιχείων, και η απόδειξή του με μετατόπιση του ενός τριγώνου.

Το 1ο Κριτήριο Ισότητας (Π-Γ-Π)

Γιατί οι γωνίες της βάσης είναι ίσες και πώς η διχοτόμος της κορυφής γίνεται ταυτόχρονα διάμεσος και ύψος.

Ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου

Το πόρισμα που δίνει αμέσως τη μοναδική τιμή των γωνιών κάθε ισόπλευρου τριγώνου.

Οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου

Γιατί κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος απέχει το ίδιο και από τα δύο άκρα του τμήματος.

Ιδιότητα της μεσοκαθέτου

Πώς η ισότητα δύο τόξων ενός κύκλου μεταφέρεται στις χορδές τους μέσα από τις ακτίνες και την επίκεντρη γωνία.

Ίσα τόξα και ίσες χορδές

# Ισότητα Τριγώνων με το Π-Γ-Π σε μια Ματιά 🔍

Κάθε τρίγωνο, εκτός από τις πλευρές και τις γωνίες του, έχει και **δευτερεύοντα στοιχεία**: το :tooltip[ύψος]{content="Η κάθετη γραμμή από μια κορυφή προς την απέναντι πλευρά."} \(υ\), που είναι το κάθετο τμήμα από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς, τη :tooltip[διάμεσο]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς."} \(μ\), που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς, και τη :tooltip[διχοτόμο]{content="Η γραμμή που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} \(δ\), το τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας από την κορυφή μέχρι την απέναντι πλευρά. Συμβολίζονται με δείκτη ανάλογα με την κορυφή από την οποία ξεκινούν: \(υ_α\), \(υ_β\), \(υ_γ\), \(μ_α\), \(δ_α\).

Δύο τρίγωνα λέγονται **ίσα** όταν μπορούν να τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο και να συμπέσουν πλήρως, δηλαδή έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Τα στοιχεία που αντιστοιχίζονται λέγονται **αντίστοιχα** ή **ομόλογα**, και ισχύει ότι απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Δεν χρειάζεται όμως να ελέγξουμε και τα έξι στοιχεία: αρκούν τα **κριτήρια ισότητας**.

Το **1ο Κριτήριο (Π - Γ - Π)** λέει: αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την :tooltip[περιεχόμενη]{content="Η γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στις δύο πλευρές."} σε αυτές γωνία ίση, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Η απόδειξη γίνεται με μετατόπιση: φέρνουμε το \(Α'\) πάνω στο \(Α\) και την \(Α'Β'\) πάνω στην ημιευθεία \(ΑΒ\)· επειδή \(ΑΒ = Α'Β'\) το \(Β'\) συμπίπτει με το \(Β\), επειδή \(\hat{Α} = \hat{Α'}\) η ημιευθεία \(Α'Γ'\) πέφτει πάνω στην \(ΑΓ\), και επειδή \(ΑΓ = Α'Γ'\) το \(Γ'\) συμπίπτει με το \(Γ\). Άρα τα τρίγωνα ταυτίζονται.

:::alert{title="Η γωνία πρέπει να είναι ανάμεσα στις πλευρές"}
Το κριτήριο ονομάζεται Π-Γ-Π ακριβώς επειδή η ίση γωνία βρίσκεται **στη μέση**, ανάμεσα στις δύο ίσες πλευρές. Αν η γωνία που ξέρεις ίση βρίσκεται αλλού, δεν έχεις δικαίωμα να επικαλεστείς το 1ο κριτήριο.
:::

Από το κριτήριο αυτό προκύπτουν τέσσερα πορίσματα. Σε κάθε **ισοσκελές** τρίγωνο με \(ΑΒ = ΑΓ\) οι γωνίες της βάσης είναι ίσες (\(\hat{Β} = \hat{Γ}\)) και η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ταυτόχρονα διάμεσος και ύψος προς τη βάση — αποδεικνύεται φέρνοντας τη διχοτόμο \(ΑΔ\) και συγκρίνοντας τα \(ΑΔΒ\), \(ΑΔΓ\) με Π-Γ-Π. Οι γωνίες κάθε **ισόπλευρου** τριγώνου είναι όλες ίσες, δηλαδή \(60^\circ\). Κάθε σημείο της :tooltip[μεσοκαθέτου]{content="Η ευθεία που είναι κάθετη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα στο μέσο του."} ενός τμήματος **ισαπέχει από τα άκρα** του, αφού τα τρίγωνα \(ΜΚΑ\) και \(ΜΚΒ\) είναι ίσα με Π-Γ-Π (η περιεχόμενη γωνία εδώ είναι ορθή). Τέλος, σε έναν κύκλο (ή σε ίσους κύκλους) ίσα :tooltip[τόξα]{content="Ένα συνεχές τμήμα της περιφέρειας ενός κύκλου."} αντιστοιχούν σε ίσες :tooltip[χορδές]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου."}, γιατί οι δύο ακτίνες και η ίση επίκεντρη γωνία δίνουν πάλι Π-Γ-Π.

:::fact{title="Ένα κριτήριο, τέσσερα πορίσματα"}
Πρόσεξε το μοτίβο: και στις τέσσερις αποδείξεις χρησιμοποιείται το **ίδιο** εργαλείο, το Π-Γ-Π. Αλλάζει μόνο από πού προκύπτει κάθε φορά η ισότητα των δύο πλευρών — από την υπόθεση του ισοσκελούς, από το μέσο του τμήματος ή από τις ακτίνες του κύκλου.
:::
