Στοιχεία και Είδη Τριγώνων 📐

Τα Κύρια Στοιχεία του Τριγώνου 🔺

Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει:

Τρεις κορυφές: Α, Β, Γ 📍
Τρεις πλευρές: ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ. Συμβολίζονται και ως $α$ , $β$ , $γ$ αντίστοιχα, δηλαδή κάθε μικρό γράμμα δηλώνει την πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ομώνυμη κορυφή.
Τρεις γωνίες: ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΒΓΑ. Συμβολίζονται και ως $\hat{A}$ , $\hat{B}$ , $\hat{Γ}$ .

Περίμετρος και το σύμβολο 2τ

Το άθροισμα των μηκών των πλευρών ενός τριγώνου ( $α + β + γ$ ) ονομάζεται περίμετρος και συμβολίζεται συχνά με $2τ$ . Το σύμβολο δεν είναι τυχαίο: επειδή η περίμετρος γράφεται ως $2τ$ , το $τ$ είναι η ημιπερίμετρος, δηλαδή το μισό της περιμέτρου — ένα μέγεθος που εμφανίζεται συνέχεια σε τύπους της Γεωμετρίας.

Είδη Τριγώνων ως προς τις Πλευρές 📏

Ανάλογα με τις πλευρές τους, τα τρίγωνα χωρίζονται σε:

Σκαληνό: Όλες οι πλευρές του είναι άνισες.
Ισοσκελές: Έχει δύο πλευρές ίσες (π.χ. ΑΒ = ΑΓ). Η άνιση πλευρά (ΒΓ) λέγεται βάση και η κορυφή Α λέγεται κορυφή του τριγώνου.
Ισόπλευρο: Έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Είδη Τριγώνων ως προς τις Γωνίες 📐

Ανάλογα με τις γωνίες τους, τα τρίγωνα χωρίζονται σε:

Οξυγώνιο: Όλες οι γωνίες του είναι οξείες, δηλαδή μικρότερες από $90^\circ$ .
Ορθογώνιο: Έχει μία γωνία ορθή, δηλαδή ίση με $90^\circ$ . Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο λέγονται κάθετες πλευρές.
Αμβλυγώνιο: Έχει μία γωνία αμβλεία, δηλαδή μεγαλύτερη από $90^\circ$ .

Προσοχή: μία μόνο, όχι περισσότερες

Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία ορθή γωνία και το αμβλυγώνιο μία αμβλεία — ποτέ δύο ή τρεις. Επίσης, οι δύο κατατάξεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους: το ίδιο τρίγωνο χαρακτηρίζεται ταυτόχρονα και ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες του, οπότε υπάρχουν π.χ. ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα.

Δευτερεύοντα Στοιχεία Τριγώνου 🧩

Εκτός από τις βασικές πλευρές και γωνίες, υπάρχουν και άλλα σημαντικά ευθύγραμμα τμήματα σε ένα τρίγωνο:

Διάμεσος 📏: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά $α$ (δηλαδή τη ΒΓ) συμβολίζεται με $μ_α$ . Αντίστοιχα έχουμε τις $μ_β$ και $μ_γ$ .
Διχοτόμος ✂️: Το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας, από την κορυφή μέχρι την απέναντι πλευρά. Η διχοτόμος της γωνίας Α συμβολίζεται με $δ_α$ . Αντίστοιχα έχουμε τις $δ_β$ και $δ_γ$ .
Ύψος ⬆️: Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Το ύψος που φέρεται από την κορυφή Α συμβολίζεται με $υ_α$ . Αντίστοιχα έχουμε τα $υ_β$ και $υ_γ$ .

Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία του.

Το ύψος δεν πέφτει πάντα μέσα στο τρίγωνο

Ο ορισμός λέει «προς την ευθεία της απέναντι πλευράς» και όχι «προς την πλευρά». Αυτό είναι σκόπιμο: σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο, δύο από τα ύψη πέφτουν πάνω στην προέκταση της απέναντι πλευράς, δηλαδή έξω από το τρίγωνο. Η διάμεσος και η διχοτόμος, αντίθετα, καταλήγουν πάντα σε σημείο της ίδιας της πλευράς.

Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων 🤔

Δύο ευθύγραμμα σχήματα είναι ίσα αν μπορούν να ταυτιστούν πλήρως με κατάλληλη μετατόπιση. 🔄

Για τα τρίγωνα, ισχύουν τα εξής:

Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.
Σε δύο ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες, και αντίστροφα.
Οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται ομόλογες πλευρές. Οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές λέγονται ομόλογες γωνίες.

Για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, δεν χρειάζεται να ελέγξουμε όλα τα στοιχεία τους. Αρκεί να ισχύουν ορισμένες προτάσεις που λέγονται κριτήρια ισότητας τριγώνων. ✅