Καλωσόρισες στην πόλη των σχημάτων!  Εδώ τα τρίγωνα θα προσπαθήσουν να σε μπερδέψουν αφού χωρίζονται σε πολλά και περίπλοκα σχήματα. Ψάξε καλά και δώσε φως στο μυστήριο που κρύβει η γεωμετρία 🔦

Γεωμετρία Α' Λυκείου

# Τα Κύρια Στοιχεία του Τριγώνου 🔺

Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ορίζεται από τρία είδη στοιχείων: τις κορυφές, τις πλευρές και τις γωνίες του. Τα λέμε **κύρια στοιχεία**, γιατί χωρίς αυτά δεν υπάρχει καν το σχήμα.

### Κορυφές, πλευρές, γωνίες

- **Τρεις :tooltip[κορυφές]{content="Τα σημεία όπου συναντώνται οι πλευρές ενός σχήματος."}**: Α, Β, Γ 📍
- **Τρεις πλευρές**: ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ
- **Τρεις γωνίες**: ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΒΓΑ

### Ο συμβολισμός με ένα γράμμα

Για συντομία, αντί να γράφουμε κάθε φορά δύο ή τρία γράμματα, χρησιμοποιούμε έναν πιο σύντομο συμβολισμό. Το κλειδί είναι η λέξη **απέναντι**: κάθε μικρό γράμμα δηλώνει την πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ομώνυμη κορυφή.

| Κορυφή | Γωνία | Απέναντι πλευρά | Σύμβολο πλευράς |
|---|---|---|---|
| Α | \(\hat{A}\) | ΒΓ | \(α\) |
| Β | \(\hat{B}\) | ΓΑ | \(β\) |
| Γ | \(\hat{Γ}\) | ΑΒ | \(γ\) |

### Η περίμετρος

Το άθροισμα των μηκών των τριών πλευρών, δηλαδή \(α + β + γ\), ονομάζεται **περίμετρος** του τριγώνου.

:::fact{title="Γιατί γράφουμε 2τ και όχι απλώς Π"}
Η περίμετρος συμβολίζεται συχνά με \(2τ\). Ο συμβολισμός δεν είναι τυχαίος: αφού η περίμετρος γράφεται ως \(2τ\), το \(τ\) είναι η **ημιπερίμετρος**, δηλαδή το μισό της περιμέτρου. Το μέγεθος αυτό εμφανίζεται συνέχεια σε τύπους της Γεωμετρίας, γι' αυτό και του δίνεται δικό του γράμμα.
:::


# Είδη Τριγώνων ως προς τις Πλευρές 📏

Το πρώτο κριτήριο κατάταξης των τριγώνων είναι το πλήθος των **ίσων πλευρών** που έχουν. Με βάση αυτό, κάθε τρίγωνο ανήκει σε μία ακριβώς από τρεις κατηγορίες.

### Οι τρεις κατηγορίες

| Είδος | Πλευρές |
|---|---|
| Σκαληνό | Όλες οι πλευρές του άνισες |
| :tooltip[Ισοσκελές]{content="Τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες."} | Δύο πλευρές ίσες |
| Ισόπλευρο | Όλες οι πλευρές του ίσες |

### Τα ιδιαίτερα ονόματα του ισοσκελούς

Το ισοσκελές τρίγωνο έχει δική του ορολογία, επειδή οι δύο ίσες πλευρές του το κάνουν συμμετρικό. Αν, για παράδειγμα, ισχύει ΑΒ = ΑΓ, τότε:

- η **άνιση** πλευρά ΒΓ λέγεται **βάση** του τριγώνου
- η κορυφή Α, δηλαδή αυτή που βρίσκεται απέναντι από τη βάση, λέγεται **κορυφή** του τριγώνου

Οι ονομασίες αυτές θα χρησιμοποιούνται συνεχώς στα επόμενα, γι' αυτό αξίζει να συνδεθούν από την αρχή με τη σωστή εικόνα: η βάση είναι η μοναδική πλευρά που δεν είναι ίση με καμία άλλη.

:::alert{title="Η βάση δεν είναι «η κάτω πλευρά»"}
Πολλοί μαθητές νομίζουν ότι βάση είναι όποια πλευρά τυχαίνει να σχεδιαστεί οριζόντια στο κάτω μέρος του σχήματος. Η βάση ορίζεται όμως αποκλειστικά από τα μήκη: είναι η άνιση πλευρά του ισοσκελούς, όπου κι αν βρίσκεται στο χαρτί. Αν στρίψεις το σχήμα, η βάση παραμένει η ίδια πλευρά.
:::


# Είδη Τριγώνων ως προς τις Γωνίες 📐

Το δεύτερο κριτήριο κατάταξης δεν κοιτάζει τις πλευρές αλλά τις **γωνίες** του τριγώνου, και συγκεκριμένα το πώς συγκρίνονται με την ορθή γωνία των \(90^\circ\).

### Οι τρεις κατηγορίες

| Είδος | Γωνίες |
|---|---|
| Οξυγώνιο | Όλες οι γωνίες του οξείες, δηλαδή μικρότερες από \(90^\circ\) |
| Ορθογώνιο | Μία γωνία :tooltip[ορθή]{content="Μια γωνία που έχει μέτρο 90 μοίρες."}, δηλαδή ίση με \(90^\circ\) |
| Αμβλυγώνιο | Μία γωνία αμβλεία, δηλαδή μεγαλύτερη από \(90^\circ\) |

Πρόσεξε τη διαφορά στη διατύπωση: στο οξυγώνιο η συνθήκη αφορά **όλες** τις γωνίες, ενώ στο ορθογώνιο και στο αμβλυγώνιο αρκεί **μία** γωνία με τη ζητούμενη ιδιότητα.

### Οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου

Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι τόσο σημαντικό ώστε οι πλευρές του έχουν ξεχωριστά ονόματα:

- Η πλευρά **απέναντι από την ορθή γωνία** λέγεται :tooltip[υποτείνουσα]{content="Η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, απέναντι από την ορθή γωνία."}.
- Οι άλλες δύο πλευρές, δηλαδή αυτές που σχηματίζουν την ορθή γωνία, λέγονται **κάθετες πλευρές**.

:::alert{title="Δύο κατατάξεις, όχι μία"}
Η κατάταξη ως προς τις πλευρές και η κατάταξη ως προς τις γωνίες ισχύουν **ταυτόχρονα**, δεν αλληλοαποκλείονται. Κάθε τρίγωνο παίρνει έναν χαρακτηρισμό από την κάθε λίστα, γι' αυτό υπάρχουν π.χ. ορθογώνια ισοσκελή ή αμβλυγώνια σκαληνά τρίγωνα. Θυμήσου επίσης ότι το ορθογώνιο έχει **μία μόνο** ορθή γωνία και το αμβλυγώνιο **μία μόνο** αμβλεία — ποτέ δύο ή τρεις.
:::


# Δευτερεύοντα Στοιχεία του Τριγώνου 🧩

Εκτός από τις πλευρές και τις γωνίες, μέσα σε ένα τρίγωνο σχεδιάζουμε και κάποια χαρακτηριστικά ευθύγραμμα τμήματα. Αυτά λέγονται **δευτερεύοντα στοιχεία** του τριγώνου και είναι τρία ειδών: οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη. Κάθε τρίγωνο έχει από τρία στοιχεία κάθε είδους, ένα ξεκινώντας από κάθε κορυφή.

### Διάμεσος 📏

Η :tooltip[διάμεσος]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς."} είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το **μέσο** της απέναντι πλευράς. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά \(α\), δηλαδή στη ΒΓ, συμβολίζεται με \(μ_α\)· αντίστοιχα έχουμε τις \(μ_β\) και \(μ_γ\).

### Διχοτόμος ✂️

Η διχοτόμος του τριγώνου είναι το τμήμα της :tooltip[διχοτόμου]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} μιας γωνίας, από την κορυφή μέχρι την απέναντι πλευρά. Η διχοτόμος της γωνίας Α συμβολίζεται με \(δ_α\)· αντίστοιχα έχουμε τις \(δ_β\) και \(δ_γ\).

### Ύψος ⬆️

Το :tooltip[ύψος]{content="Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς."} είναι το **κάθετο** ευθύγραμμο τμήμα από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Το ύψος που φέρεται από την κορυφή Α συμβολίζεται με \(υ_α\)· αντίστοιχα έχουμε τα \(υ_β\) και \(υ_γ\).

### Σύνοψη συμβολισμών

| Στοιχείο | Τι ενώνει | Σύμβολα |
|---|---|---|
| Διάμεσος | Κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς | \(μ_α\), \(μ_β\), \(μ_γ\) |
| Διχοτόμος | Κορυφή με την απέναντι πλευρά, χωρίζοντας τη γωνία στα δύο | \(δ_α\), \(δ_β\), \(δ_γ\) |
| Ύψος | Κορυφή με την ευθεία της απέναντι πλευράς, κάθετα | \(υ_α\), \(υ_β\), \(υ_γ\) |

:::alert{title="«Ευθεία της πλευράς», όχι «πλευρά»"}
Ο ορισμός του ύψους λέει σκόπιμα «προς την **ευθεία** της απέναντι πλευράς». Σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο δύο από τα τρία ύψη καταλήγουν πάνω στην **προέκταση** της πλευράς, δηλαδή έξω από το τρίγωνο. Η διάμεσος και η διχοτόμος, αντίθετα, καταλήγουν πάντα σε σημείο της ίδιας της πλευράς.
:::


# Ισότητα Τριγώνων και Ομόλογα Στοιχεία 🤔

Δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται **ίσα** όταν μπορούν να ταυτιστούν πλήρως με κατάλληλη μετατόπιση. 🔄 Δηλαδή, αν φανταστούμε ότι σηκώνουμε το ένα και το τοποθετούμε πάνω στο άλλο, τα δύο σχήματα συμπίπτουν σε κάθε τους σημείο.

### Τι συνεπάγεται η ισότητα δύο τριγώνων

Δύο :tooltip[ίσα τρίγωνα]{content="Τρίγωνα που έχουν ακριβώς το ίδιο σχήμα και μέγεθος."} έχουν:

- τις πλευρές τους ίσες **μία προς μία**
- τις γωνίες τους ίσες **μία προς μία**

Επιπλέον, σε δύο ίσα τρίγωνα ισχύει μια σχέση θέσης: απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες, και αντίστροφα, απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.

### Ομόλογες πλευρές και ομόλογες γωνίες

Η παραπάνω σχέση δίνει και τα ονόματα των αντίστοιχων στοιχείων:

| Όρος | Ορισμός |
|---|---|
| Ομόλογες πλευρές | Οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες |
| Ομόλογες γωνίες | Οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές |

Όταν γράφουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, η σειρά των γραμμάτων δείχνει ακριβώς ποια στοιχεία είναι ομόλογα μεταξύ τους.

### Γιατί χρειαζόμαστε κριτήρια

Ένα τρίγωνο έχει έξι κύρια στοιχεία: τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Για να αποδείξουμε όμως ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, **δεν** χρειάζεται να ελέγξουμε και τα έξι. Αρκεί να ισχύουν ορισμένες προτάσεις, που λέγονται **κριτήρια ισότητας τριγώνων**. ✅

:::fact{title="Λιγότερος έλεγχος, ίδια βεβαιότητα"}
Η αξία των κριτηρίων είναι ακριβώς αυτή η οικονομία: με λίγα δεδομένα στοιχεία εξασφαλίζουμε συμπέρασμα για **όλα** τα υπόλοιπα. Μόλις αποδειχθεί η ισότητα δύο τριγώνων, κάθε ζευγάρι ομόλογων πλευρών και γωνιών θεωρείται αυτόματα ίσο — και αυτό είναι το βασικό εργαλείο με το οποίο γράφονται οι αποδείξεις στη Γεωμετρία.
:::


01. Βασική Θεωρία

Κορυφές, πλευρές και γωνίες, ο συμβολισμός τους με μικρά και κεφαλαία γράμματα, καθώς και η περίμετρος του τριγώνου.

Τα κύρια στοιχεία του τριγώνου

Πώς ξεχωρίζουμε το σκαληνό, το ισοσκελές και το ισόπλευρο τρίγωνο, και ποια πλευρά ονομάζεται βάση στο ισοσκελές.

Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές

Οξυγώνιο, ορθογώνιο και αμβλυγώνιο τρίγωνο, και πώς ονομάζονται οι πλευρές γύρω από μια ορθή γωνία.

Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες

Διάμεσος, διχοτόμος και ύψος: τι ακριβώς ενώνει το καθένα, πώς συμβολίζονται και γιατί τα λέμε δευτερεύοντα στοιχεία.

Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου

Πότε δύο σχήματα λέγονται ίσα, τι ισχύει για τις πλευρές και τις γωνίες δύο ίσων τριγώνων και τι σημαίνει ομόλογα στοιχεία.

Ισότητα τριγώνων και ομόλογα στοιχεία

# Σύνοψη: Στοιχεία και Είδη Τριγώνων 🔺

Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις :tooltip[κορυφές]{content="Τα σημεία όπου συναντώνται οι πλευρές ενός σχήματος."} (Α, Β, Γ), τρεις πλευρές (ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ) και τρεις γωνίες (ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΒΓΑ). Οι πλευρές συμβολίζονται και με τα μικρά γράμματα \(α\), \(β\), \(γ\), όπου κάθε γράμμα δηλώνει την πλευρά **απέναντι** από την ομώνυμη κορυφή, ενώ οι γωνίες με \(\hat{A}\), \(\hat{B}\), \(\hat{Γ}\). Το άθροισμα \(α + β + γ\) είναι η περίμετρος και συμβολίζεται συχνά με \(2τ\).

Τα τρίγωνα κατατάσσονται με δύο ανεξάρτητους τρόπους. **Ως προς τις πλευρές**: σκαληνό (όλες οι πλευρές άνισες), ισοσκελές (δύο πλευρές ίσες — η άνιση λέγεται βάση και η απέναντί της κορυφή λέγεται κορυφή του τριγώνου) και ισόπλευρο (και οι τρεις πλευρές ίσες). **Ως προς τις γωνίες**: οξυγώνιο (όλες οι γωνίες μικρότερες από \(90^\circ\)), ορθογώνιο (μία γωνία \(90^\circ\), με την απέναντι πλευρά να λέγεται :tooltip[υποτείνουσα]{content="Η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, απέναντι από την ορθή γωνία."} και τις άλλες δύο κάθετες πλευρές) και αμβλυγώνιο (μία γωνία μεγαλύτερη από \(90^\circ\)).

:::alert{title="Μία κατάταξη δεν αποκλείει την άλλη"}
Οι δύο κατατάξεις ισχύουν ταυτόχρονα: το ίδιο τρίγωνο μπορεί να είναι π.χ. ορθογώνιο και ισοσκελές. Θυμήσου επίσης ότι το ορθογώνιο έχει **μία μόνο** ορθή γωνία και το αμβλυγώνιο **μία μόνο** αμβλεία — ποτέ δύο.
:::

Πέρα από πλευρές και γωνίες, κάθε τρίγωνο έχει τα **δευτερεύοντα στοιχεία** του: τη :tooltip[διάμεσο]{content="Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς."} (από κορυφή προς το μέσο της απέναντι πλευράς, με συμβολισμό \(μ_α\), \(μ_β\), \(μ_γ\)), τη διχοτόμο (το τμήμα της :tooltip[διχοτόμου]{content="Η ημιευθεία που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες."} μιας γωνίας από την κορυφή ως την απέναντι πλευρά, με συμβολισμό \(δ_α\), \(δ_β\), \(δ_γ\)) και το :tooltip[ύψος]{content="Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς."} (κάθετο τμήμα από κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς, με συμβολισμό \(υ_α\), \(υ_β\), \(υ_γ\)). Κάθε τρίγωνο έχει από τρία στοιχεία κάθε είδους, ένα για κάθε κορυφή.

:::fact{title="Γιατί ο ορισμός λέει «ευθεία» και όχι «πλευρά»"}
Το ύψος ορίζεται προς την **ευθεία** της απέναντι πλευράς, γιατί σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο δύο από τα τρία ύψη καταλήγουν στην προέκταση της πλευράς — δηλαδή έξω από το τρίγωνο. Η διάμεσος και η διχοτόμος καταλήγουν πάντα πάνω στην ίδια την πλευρά.
:::

Τέλος, δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται **ίσα** όταν μπορούν να ταυτιστούν πλήρως με κατάλληλη μετατόπιση. Δύο :tooltip[ίσα τρίγωνα]{content="Τρίγωνα που έχουν ακριβώς το ίδιο σχήμα και μέγεθος."} έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία· απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Οι πλευρές απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται **ομόλογες** πλευρές και οι γωνίες απέναντι από ίσες πλευρές **ομόλογες** γωνίες. Για την απόδειξη της ισότητας δύο τριγώνων δεν χρειάζεται έλεγχος και των έξι στοιχείων: αρκούν ορισμένες προτάσεις που λέγονται **κριτήρια ισότητας τριγώνων**.
