Εκθετική Συνάρτηση 📈

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

Θυμόμαστε από προηγούμενες τάξεις τη δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό και εκθέτη ακέραιο.

• Αν $ν$ είναι θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 1, ορίζουμε:
  $α^ν = \underbrace{α \cdot α \cdot \dots \cdot α}_{ν \text{ παράγοντες}}$ για $α \in \mathbb{R}$ και $ν \in \mathbb{N}^*$, $ν>1$
• Αν $ν=1$, ορίζουμε:
  $α^1 = α$
• Για παράδειγμα: $(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$ 😊

Επεκτείνουμε τον ορισμό με τις ισότητες:

• $α^0 = 1$ για $α \neq 0$
• $α^{-ν} = \frac{1}{α^ν} = (\frac{1}{α})^ν$ για $α \neq 0$ και $ν \in \mathbb{N}^*$

• Για παράδειγμα: $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ 👍

Θέλουμε να ορίσουμε δυνάμεις της μορφής $α^{\frac{μ}{ν}}$, όπου $α \ge 0$, $μ$ ακέραιος και $ν$ θετικός ακέραιος. Αυτές λέγονται δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Ο ορισμός πρέπει να διατηρεί τις γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων, π.χ., $(α^p)^q = α^{pq}$. Για παράδειγμα, θέλουμε $(3^5)^{\frac{2}{5}} = 3^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 3^2$.

Αυτό μας οδηγεί στον ορισμό:

Αν $α>0$, $μ$ ακέραιος και $ν$ θετικός ακέραιος, ορίζουμε:

😮 Επιπλέον, αν $μ, ν$ θετικοί ακέραιοι, ορίζουμε $0^{\frac{μ}{ν}} = 0$.

Παραδείγματα:

• $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
• $27^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3^3)^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^{12}}} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$ (Εναλλακτικά: $27^{-\frac{4}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^{-4} = (\sqrt[3]{27})^{-4} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$)

Αποδεικνύεται ότι οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Αυτό διευκολύνει τον λογισμό με τα ριζικά.

Παράδειγμα: $\sqrt{α} \cdot \sqrt[3]{α} = α^{\frac{1}{2}} \cdot α^{\frac{1}{3}} = α^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = α^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{α^5}$ ✅

Οι δυνάμεις αυτές υπολογίζονται εύκολα με υπολογιστή τσέπης:

• $2^{1.4}$ → 2.6390158
• $1.4^{-3.21}$ → 0.3395697
• $5^{\frac{7}{3}}$ → 42.749398

Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη

Πώς ορίζουμε δυνάμεις της μορφής $α^x$ με $x$ άρρητο, διατηρώντας τις βασικές ιδιότητες; 🤔

Χρησιμοποιούμε δεκαδικές προσεγγίσεις του άρρητου εκθέτη. Για παράδειγμα, για τον $3^{\sqrt{2}}$:

Οι δεκαδικές προσεγγίσεις του $\sqrt{2}$ είναι:

Η αντίστοιχη ακολουθία των δυνάμεων του 3 είναι:

Με υπολογιστή βρίσκουμε τις τιμές του πίνακα:

Παρατηρούμε ότι καθώς το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της ακολουθίας των προσεγγίσεων αυξάνει, οι όροι της ακολουθίας των δυνάμεων φαίνεται να προσεγγίζουν έναν ορισμένο αριθμό, που λέγεται οριακή τιμή ή όριο της ακολουθίας. 💯

Ορίζουμε τη δύναμη $3^{\sqrt{2}}$ ως την πιο πάνω οριακή τιμή. Έτσι $3^{\sqrt{2}} \approx 4.7288$.

Γενικά, αν $α>0$, $x$ άρρητος και $ρ_ν$ η δεκαδική προσέγγιση του $x$ με $ν$ δεκαδικά ψηφία, τότε καθώς το $ν$ αυξάνει τείνοντας στο $+\infty$, οι όροι της ακολουθίας $α^{ρ_ν}$ «προσεγγίζουν» έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό, τον οποίο ονομάζουμε όριο της ακολουθίας $α^{ρ_ν}$.

Αυτό το όριο συμβολίζεται με $α^x$ και λέγεται δύναμη του α με εκθέτη x.

Συμβολικά:

Επιπλέον, για κάθε $x > 0$, ορίζουμε $0^x = 0$.

Εκθετική συνάρτηση

Έστω $α$ ένας θετικός αριθμός ($α>0$). Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ορίζεται η δύναμη $α^x$. Έτσι, αντιστοιχίζοντας κάθε $x \in \mathbb{R}$ στη δύναμη $α^x$, ορίζουμε τη συνάρτηση:

Η συνάρτηση αυτή, στην περίπτωση που $α \neq 1$, λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α.

Αν $α = 1$, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση $f(x) = 1$.

Μελέτη της συνάρτησης $f(x) = α^x$

Περίπτωση 1: $α > 1$ (π.χ., $f(x) = 2^x$)

• Πεδίο ορισμού: Το $\mathbb{R}$.
• Σύνολο τιμών: Το διάστημα $(0, +\infty)$.
• Μονοτονία: Είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$. Δηλαδή, αν $x_1 < x_2$, τότε $α^{x_1} < α^{x_2}$. ↗️
• Γραφική παράσταση: Τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $Α(0,1)$ και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των $x$.

Περίπτωση 2: $0 < α < 1$ (π.χ., $g(x) = (\frac{1}{2})^x$)

• Πεδίο ορισμού: Το $\mathbb{R}$.
• Σύνολο τιμών: Το διάστημα $(0, +\infty)$.
• Μονοτονία: Είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$. Δηλαδή, αν $x_1 < x_2$, τότε $α^{x_1} > α^{x_2}$. ↘️
• Γραφική παράσταση: Τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $Α(0,1)$ και έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα των $x$.

Παρατήρηση: Για τις συναρτήσεις $f(x) = 2^x$ και $g(x) = (\frac{1}{2})^x$, παρατηρούμε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει:

Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα $y'y$. ↔️

Σημαντική Ιδιότητα (λόγω μονοτονίας):

Αν $α > 0$ και $α \neq 1$, τότε για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ ισχύει η ισοδυναμία:

Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στον εκθέτη. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται εκθετικές εξισώσεις.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 📝

1° Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) $2^{3x} = \frac{1}{64}$

ii) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

ΛΥΣΗ

i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

Επειδή η εκθετική συνάρτηση $y=2^x$ είναι 1-1 (ένα προς ένα), ισχύει:

✅

ii) Η εξίσωση γράφεται:

Αν θέσουμε $3^x = y$, με $y>0$, αυτή γίνεται $y^2 - 8y - 9 = 0$.

Οι ρίζες της τριωνυμικής εξίσωσης είναι $y_1 = 9$ και $y_2 = -1$.

Επειδή $y = 3^x > 0$, η λύση $y = -1$ απορρίπτεται.

Για $y = 9$, έχουμε $3^x = 9 \Leftrightarrow 3^x = 3^2 \Leftrightarrow x = 2$. ✅

2° Να λυθεί το σύστημα:

(εκθετικό σύστημα)

ΛΥΣΗ

Αν θέσουμε $3^x = ω$ και $2^y = φ$ (με $ω, φ > 0$), το σύστημα γίνεται:

(η δεύτερη εξίσωση πολλαπλασιάστηκε με 6)

Προσθέτοντας κατά μέλη: $32ω = 32 \Leftrightarrow ω = 1$.

Αντικαθιστώντας $ω=1$ στην πρώτη εξίσωση: $2(1) - 3φ = -22 \Leftrightarrow -3φ = -24 \Leftrightarrow φ = 8$.

Επομένως, το αρχικό σύστημα γράφεται:

Από όπου παίρνουμε $x = 0$ και $y = 3$. ✅

3° Να λυθούν οι ανισώσεις:

i) $3^{x^2-3x} > \frac{1}{9}$

ii) $(\frac{1}{2})^{x^2+x} < \frac{1}{4}$

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε:

Επειδή η βάση $3 > 1$, η συνάρτηση $y=3^x$ είναι γνησίως αύξουσα. Άρα:

Το τριώνυμο $x^2 - 3x + 2$ έχει ρίζες $x=1$ και $x=2$. Επειδή ο συντελεστής του $x^2$ είναι θετικός (1>0), το τριώνυμο είναι θετικό όταν:

$x < 1$ ή $x > 2$ ✅

ii) Έχουμε:

Επειδή η βάση $0 < \frac{1}{2} < 1$, η συνάρτηση $y=(\frac{1}{2})^x$ είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα:

Το τριώνυμο $x^2 + x - 2$ έχει ρίζες $x=1$ και $x=-2$. Επειδή ο συντελεστής του $x^2$ είναι θετικός (1>0), το τριώνυμο είναι θετικό όταν:

$x < -2$ ή $x > 1$ ✅

4° Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i) $f(x) = 2^x + 3$

ii) $g(x) = 2^{x-3}$

iii) $h(x) = 2^{x-3} + 2$

ΛΥΣΗ

Οι γραφικές παραστάσεις προκύπτουν από μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της $φ(x) = 2^x$.

i) Η γραφική παράσταση της $f$ προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της $φ(x) = 2^x$ κατά 3 μονάδες προς τα πάνω. ⬆️

ii) Η γραφική παράσταση της $g$ προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της $φ(x) = 2^x$ κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά. ➡️

iii) Η γραφική παράσταση της $h$ προκύπτει από δύο μετατοπίσεις της $φ(x) = 2^x$:

• μιας οριζόντιας κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά (δίνει την $y=2^{x-3}$) ΚΑΙ
• μιας κατακόρυφης κατά 2 μονάδες προς τα πάνω (δίνει την $y=2^{x-3}+2$). ➡️⬆️

Ο αριθμός e 🔢

Μια τράπεζα προσφέρει ετήσιο επιτόκιο $ε\%$. Αν καταθέσουμε ποσό $α_0$, μετά από 1 χρόνο θα έχουμε $α_1 = α_0 (1 + \frac{ε}{100})$. Αν ο ανατοκισμός γίνεται $ν$ φορές το χρόνο, το επιτόκιο κάθε περιόδου είναι $τ = \frac{ε}{100 \cdot ν}$ και το τελικό ποσό μετά από 1 χρόνο είναι $α_ν = α_0 (1 + τ)^ν$.

Ας υποθέσουμε $α_0 = 1$ ευρώ και ετήσιο επιτόκιο 100% ($ε=100$). Τότε $τ = \frac{100}{100 \cdot ν} = \frac{1}{ν}$. Το ποσό μετά από 1 χρόνο, με $ν$ ανατοκισμούς, είναι:

Ας δούμε τιμές για διάφορα $ν$:

Παρατηρούμε ότι καθώς το $ν$ αυξάνει, η τιμή $(1 + \frac{1}{ν})^ν$ προσεγγίζει έναν ορισμένο αριθμό. Αυτός ο αριθμός είναι άρρητος και συμβολίζεται με e. Ονομάζεται αριθμός του Euler (Λέοναρντ Όιλερ, 1707-1783).

Η προσέγγιση με πέντε δεκαδικά ψηφία είναι $e \approx 2.71828$.

Συμβολικά γράφουμε:

Η συνάρτηση $f(x) = e^x$ ονομάζεται απλώς εκθετική συνάρτηση.

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής 🌿📉

Πολλά φυσικά μεγέθη μεταβάλλονται με το χρόνο $t$ σύμφωνα με τον τύπο:

όπου:

• $Q(t)$ είναι η τιμή του μεγέθους τη χρονική στιγμή $t$.
• $Q_0 = Q(0)$ είναι η αρχική τιμή του μεγέθους (τη στιγμή $t=0$).
• $c$ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τη συγκεκριμένη εφαρμογή.

Αυτή η συνάρτηση είναι γνωστή ως νόμος της εκθετικής μεταβολής.

• Αν $c > 0$, η συνάρτηση $Q$ είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει τον νόμο της εκθετικής αύξησης. 📈
• Αν $c < 0$, η συνάρτηση $Q$ είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει τον νόμο της εκθετικής απόσβεσης (ή εκθετικής μείωσης). 📉

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής αποτελεί ένα ικανοποιητικό μοντέλο για πολλές εφαρμογές της Φυσικής, της Βιολογίας, της Στατιστικής κ.ά.

Παράδειγμα (Ραδιενεργός διάσπαση): Ο αριθμός των γραμμαρίων μιας ραδιενεργού ουσίας κατά τη χρονική στιγμή $t$ (σε δευτερόλεπτα) δίνεται από τον τύπο $Q(t) = 200 \cdot e^{-0.3t}$. Αυτό σημαίνει ότι η ουσία που παραμένει αδιάσπαστη μετά από 7 δευτερόλεπτα είναι:

Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται χρόνος υποδιπλασιασμού ή ημιζωή της ραδιενεργού ουσίας. ⏳