Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη 🔢

Θυμόμαστε την έννοια της δύναμης με **βάση** έναν πραγματικό αριθμό \(α\) και **εκθέτη** έναν ακέραιο αριθμό.

🔹 Για \(ν > 1\):

\(α^ν = \underbrace{α \cdot α \cdot \dots \cdot α}_{ν \text{ παράγοντες}}\)

🔹 Για \(ν = 1\):

\(α^1 = α\)

🔹 Για \(ν = 0\) (και \(α \neq 0\)):

\(α^0 = 1\)

🔹 Για αρνητικό ακέραιο εκθέτη \(-ν\) (όπου \(ν \in \mathbb{N}^*\) και \(α \neq 0\)):

\(α^{-ν} = \frac{1}{α^ν} = (\frac{1}{α})^ν\)

**Παράδειγμα:**

\((\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8\)

\((\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}\)

# Δυνάμεις με ρητό εκθέτη ℚ

Επεκτείνουμε την έννοια της δύναμης για εκθέτες που είναι <tooltip content="Αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα δύο ακεραίων, π.χ., p/q, όπου q ≠ 0.">ρητοί αριθμοί</tooltip> (κλάσματα).

Θέλουμε οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη να ισχύουν και εδώ, π.χ., η ιδιότητα \((α^p)^q = α^{pq}\).

Αν θέλουμε να ορίσουμε το \(3^{\frac{2}{5}}\), θα πρέπει, σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα, να ισχύει:

\((3^{\frac{2}{5}})^5 = 3^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 3^2\)

Άρα, ο \(3^{\frac{2}{5}}\) πρέπει να είναι η 5η ρίζα του \(3^2\), δηλαδή \(3^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{3^2}\).

**Γενικός Ορισμός:**

Για \(α > 0\), \(μ\) ακέραιο και \(ν\) θετικό ακέραιο, ορίζουμε:

\(α^{\frac{μ}{ν}} = \sqrt[ν]{a^μ}\)

Επιπλέον, αν \(μ, ν\) θετικοί ακέραιοι, ορίζουμε \(0^{\frac{μ}{ν}} = 0\).

**Παραδείγματα:**

🔹 \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\)

🔹 \(27^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3^3)^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^{12}}} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}\)

**Σημαντικό:** Όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη! ✅

Αυτό διευκολύνει τον λογισμό με τα ριζικά.

Π.χ. \(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5}\)

Μπορούμε να υπολογίσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη και με υπολογιστή τσέπης.  calculadora

# Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη 🤔

Πώς ορίζουμε δυνάμεις της μορφής \(a^x\) όταν ο εκθέτης \(x\) είναι <tooltip content="Ένας αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακεραίων, π.χ., \(\sqrt{2}\), \(π\).">άρρητος</tooltip>, διατηρώντας τις βασικές ιδιότητες των δυνάμεων;

Χρησιμοποιούμε προσεγγίσεις! Ας δούμε το παράδειγμα \(3^{\sqrt{2}}\).

Γνωρίζουμε τις δεκαδικές προσεγγίσεις του \(\sqrt{2}\):
1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ... (Ακολουθία 1)

Αντίστοιχα, υπολογίζουμε τις δυνάμεις του 3 με αυτούς τους ρητούς εκθέτες:
\(3^1\), \(3^{1.4}\), \(3^{1.41}\), \(3^{1.414}\), \(3^{1.4142}\), \(3^{1.41421}\), ... (Ακολουθία 2)

Με έναν υπολογιστή βρίσκουμε:

\(3^1 = 3\)

\(3^{1.4} \approx 4.6555367\)

\(3^{1.41} \approx 4.7069650\)

\(3^{1.414} \approx 4.7276950\)

\(3^{1.4142} \approx 4.7287339\)

\(3^{1.41421} \approx 4.7287839\)

\(3^{1.414213} \approx 4.7288015\)

Παρατηρούμε ότι καθώς οι όροι της ακολουθίας (1) προσεγγίζουν όλο και καλύτερα τον \(\sqrt{2}\), οι όροι της ακολουθίας (2) φαίνεται να προσεγγίζουν έναν ορισμένο αριθμό. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται **οριακή τιμή** της ακολουθίας (2).

Ορίζουμε τη δύναμη \(3^{\sqrt{2}}\) ως την οριακή τιμή της ακολουθίας \(3^1, 3^{1.4}, 3^{1.41}, \dots\). Με προσέγγιση τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων, \(3^{\sqrt{2}} \approx 4.7288\).

## **Γενικά:**

Αν \(a > 0\), \(x\) άρρητος και \(\rho_\nu\) η δεκαδική προσέγγιση του \(x\) με \(ν\) δεκαδικά ψηφία, τότε οι όροι της ακολουθίας \(a^{\rho_\nu}\) προσεγγίζουν έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό καθώς το \(ν\) αυξάνει (\(ν \to +\infty\)). Αυτός ο αριθμός είναι το όριο της ακολουθίας \(a^{\rho_\nu}\) και ονομάζεται **δύναμη του α με εκθέτη x**.

Συμβολικά: \(a^x = \lim_{\nu \to \infty} a^{\rho_\nu}\)

Επιπλέον, για κάθε \(x > 0\), ορίζουμε \(0^x = 0\).

Μπορούμε να υπολογίσουμε δυνάμεις με άρρητο εκθέτη με υπολογιστή τσέπης. 📟

# Ιδιότητες Δυνάμεων & Εκθετική Συνάρτηση 💡

Οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων, που γνωρίζουμε από το Λύκειο, ισχύουν και για δυνάμεις με **πραγματικό** εκθέτη.

**Συγκεκριμένα:**
Αν \(a, b\) είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και \(x, x_1, x_2 \in \mathbb{R}\), τότε:

*   \(a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1+x_2}\)
*   \(\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1-x_2}\)
*   \((a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 \cdot x_2}\)
*   \((a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x\)
*   \((\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}\)

---

## **Εκθετική Συνάρτηση** 📈

Έστω \(a\) ένας **θετικός** αριθμός (\(a > 0\)). Όπως είδαμε, για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ορίζεται η δύναμη \(a^x\).

Αντιστοιχίζοντας κάθε \(x \in \mathbb{R}\) στη δύναμη \(a^x\), ορίζουμε τη συνάρτηση:

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) με \(f(x) = a^x\)

Η συνάρτηση αυτή, στην περίπτωση που \(a \neq 1\), λέγεται **εκθετική συνάρτηση** με **βάση α**.

📌 Αν \(a = 1\), τότε \(f(x) = 1^x = 1\), η οποία είναι σταθερή συνάρτηση.

# Γραφική Παράσταση της \(f(x) = a^x\) με \(a > 1\) 📈

Ας σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της \(f(x) = 2^x\) (\(a=2 > 1\)).

**Πίνακας Τιμών:**

| x    | -5     | -4     | -3    | -2    | -1    | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :--- | :----- | :----- | :---- | :---- | :---- | :- | :- | :- | :- | :- | :- |
| y=2<sup>x</sup> | 1/32 | 1/16 | 1/8 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |

Τοποθετώντας τα σημεία \((x, y)\) στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη, παίρνουμε τη γραφική παράσταση της \(y=2^x\).

**Γενικά, για τη συνάρτηση \(f(x) = a^x\) με \(a > 1\), αποδεικνύεται ότι:**

*   Έχει **πεδίο ορισμού** το \(\mathbb{R}\).
*   Έχει **σύνολο τιμών** το διάστημα \((0, +\infty)\). Δηλαδή, \(a^x > 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
*   Είναι **γνησίως αύξουσα** στο \(\mathbb{R}\). Δηλαδή, αν \(x_1 < x_2\), τότε \(a^{x_1} < a^{x_2}\). ⬆️
*   Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(Α(0, 1)\).
*   Έχει **ασύμπτωτο** τον αρνητικό ημιάξονα των \(x\) (τον \(x'x\)). Δηλαδή, καθώς το \(x\) μειώνεται απεριόριστα (\(x \to -\infty\)), οι τιμές \(a^x\) πλησιάζουν το 0.

# Γραφική Παράσταση της \(f(x) = a^x\) με \(0 < a < 1\) 📉

Ας σχεδιάσουμε τώρα τη γραφική παράσταση της \(g(x) = (\frac{1}{2})^x\) (\(a=\frac{1}{2}\), όπου \(0 < a < 1\)).

##**Πίνακας Τιμών:**

| x    | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1   | 2   | 3   | 4    | 5    |
| :--- | :- | :- | :- | :- | :- | :- | :-- | :-- | :-- | :--- | :--- |
| y=(\(\frac{1}{2}\))<sup>x</sup> | 32 | 16 | 8  | 4  | 2  | 1 | 1/2 | 1/4 | 1/8 | 1/16 | 1/32 |

Τοποθετώντας τα σημεία \((x, y)\) στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη, παίρνουμε τη γραφική παράσταση της \(y=(\frac{1}{2})^x\).

**Γενικά, για τη συνάρτηση \(f(x) = a^x\) με \(0 < a < 1\), αποδεικνύεται ότι:**

*   Έχει **πεδίο ορισμού** το \(\mathbb{R}\).
*   Έχει **σύνολο τιμών** το διάστημα \((0, +\infty)\). Δηλαδή, \(a^x > 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).
*   Είναι **γνησίως φθίνουσα** στο \(\mathbb{R}\). Δηλαδή, αν \(x_1 < x_2\), τότε \(a^{x_1} > a^{x_2}\). ⬇️
*   Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(Α(0, 1)\).
*   Έχει **ασύμπτωτο** τον θετικό ημιάξονα των \(x\) (τον \(x'x\)). Δηλαδή, καθώς το \(x\) αυξάνεται απεριόριστα (\(x \to +\infty\)), οι τιμές \(a^x\) πλησιάζουν το 0.

##**Παρατήρηση:** 🧐

Για τις συναρτήσεις \(f(x) = 2^x\) και \(g(x) = (\frac{1}{2})^x\), παρατηρούμε ότι για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει:

\(g(x) = (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{2^x} = 2^{-x} = f(-x)\)

Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές τους παραστάσεις είναι **συμμετρικές** ως προς τον άξονα \(y'y\). Γενικά, οι γραφικές παραστάσεις των \(y=a^x\) και \(y=(\frac{1}{a})^x\) είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα \(y'y\).

# Μονοτονία και Εκθετικές Εξισώσεις 🔑

Από τη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης \(f(x) = a^x\) (όπου \(a > 0\) και \(a \neq 1\)) προκύπτει ότι:

Αν \(x_1 \neq x_2\), τότε \(a^{x_1} \neq a^{x_2}\).

Με <tooltip content="Μια μέθοδος απόδειξης όπου υποθέτουμε το αντίθετο από αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε και καταλήγουμε σε αντίφαση.">απαγωγή σε άτοπο</tooltip>, έχουμε ότι:

Αν \(a^{x_1} = a^{x_2}\), τότε \(x_1 = x_2\).

Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:
\(a^{x_1} = a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 = x_2\) (για \(a > 0, a \neq 1\))

###**Εκθετικές Εξισώσεις:**

Η παραπάνω ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων στις οποίες ο άγνωστος εμφανίζεται στον εκθέτη. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται **εκθετικές εξισώσεις**. 💡

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: Επίλυση Εκθετικών Εξισώσεων 📝

Να λυθούν οι εξισώσεις:

i) \(2^{3x} = \frac{1}{64}\)

ii) \(9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0\)

## **ΛΥΣΗ**

i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

\(2^{3x} = \frac{1}{64}\)

\( \Leftrightarrow 2^{3x} = \frac{1}{2^6}\)

\( \Leftrightarrow 2^{3x} = 2^{-6}\)

Επειδή η εκθετική συνάρτηση \(y=2^x\) είναι 1-1 (ένα προς ένα), ισχύει:

\( \Leftrightarrow 3x = -6\)

\( \Leftrightarrow x = -2\)

ii) Η εξίσωση γράφεται:

\(9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow (3^2)^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 = 0\)

Αν θέσουμε \(y = 3^x\), η εξίσωση γίνεται:

\(y^2 - 8y - 9 = 0\)

Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς \(y_1 = 9\) και \(y_2 = -1\).

Επομένως, έχουμε τις εξισώσεις:

\(3^x = 9\)   ή   \(3^x = -1\)

*   Από την \(3^x = 9\), έχουμε \(3^x = 3^2\), άρα \(x = 2\). ✅
*   Η εξίσωση \(3^x = -1\) είναι αδύνατη, αφού \(3^x > 0\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\). ❌

Άρα, η μοναδική λύση της αρχικής εξίσωσης είναι \(x = 2\).

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Επίλυση Εκθετικού Συστήματος 🧩

Να λυθεί το σύστημα:

\(
\begin{cases}
2 \cdot 3^x - 3 \cdot 2^y = -22 \\
5 \cdot 3^x + \frac{1}{2} \cdot 2^y = 9
\end{cases}
\)

(εκθετικό σύστημα)

## **ΛΥΣΗ**

Αν θέσουμε \(3^x = ω\) και \(2^y = φ\), το σύστημα γίνεται:

\(
\begin{cases}
2ω - 3φ = -22 \\
5ω + \frac{1}{2}φ = 9
\end{cases}
\)

Αυτό είναι ένα γραμμικό σύστημα 2x2. Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με 6, παίρνουμε:

\(
\begin{cases}
2ω - 3φ = -22 \\
30ω + 3φ = 54
\end{cases}
\)

Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, βρίσκουμε:

\(32ω = 32 \Leftrightarrow ω = 1\)

Αντικαθιστώντας \(ω = 1\) στην πρώτη εξίσωση \(2ω - 3φ = -22\), έχουμε:

\(2(1) - 3φ = -22 \Leftrightarrow 2 - 3φ = -22 \Leftrightarrow -3φ = -24 \Leftrightarrow φ = 8\)

Άρα, η λύση του γραμμικού συστήματος είναι \(ω = 1\) και \(φ = 8\).

Επιστρέφοντας στις αρχικές αντικαταστάσεις:

\(3^x = ω \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0\)

\(2^y = φ \Rightarrow 2^y = 8 \Rightarrow 2^y = 2^3 \Rightarrow y = 3\)

Επομένως, η λύση του αρχικού εκθετικού συστήματος είναι \(x = 0\) και \(y = 3\). ✅

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3: Επίλυση Εκθετικών Ανισώσεων ⚖️

Να λυθούν οι ανισώσεις:

i) \(3^{x^2-3x} > \frac{1}{9}\)

ii) \((\frac{1}{2})^{x^2+x} < \frac{1}{4}\)

## **ΛΥΣΗ**

Για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων, χρησιμοποιούμε τη μονοτονία της εκθετικής συνάρτησης \(f(x)=a^x\):
*   Αν \(a > 1\), η \(a^x\) είναι γνησίως αύξουσα, οπότε \(a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2\). (Η φορά της ανίσωσης διατηρείται)
*   Αν \(0 < a < 1\), η \(a^x\) είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε \(a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2\). (Η φορά της ανίσωσης αλλάζει)

i) Έχουμε:

\(3^{x^2-3x} > \frac{1}{9}\)

\( \Leftrightarrow 3^{x^2-3x} > 3^{-2}\)

Επειδή η βάση \(a=3 > 1\), η συνάρτηση \(y=3^x\) είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, η φορά της ανίσωσης διατηρείται:

\( \Leftrightarrow x^2 - 3x > -2\)

\( \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 > 0\)

Το τριώνυμο \(x^2 - 3x + 2\) έχει ρίζες \(x_1 = 1\) και \(x_2 = 2\). Επειδή ο συντελεστής του \(x^2\) είναι θετικός (1 > 0), το τριώνυμο είναι θετικό εκτός των ριζών.

\( \Leftrightarrow x < 1 \text{ ή } x > 2\)

ii) Έχουμε:

\((\frac{1}{2})^{x^2+x} < \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow (\frac{1}{2})^{x^2+x} < (\frac{1}{2})^2\)

Επειδή η βάση \(a=\frac{1}{2}\) είναι μεταξύ 0 και 1 (\(0 < \frac{1}{2} < 1\)), η συνάρτηση \(y=(\frac{1}{2})^x\) είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα, η φορά της ανίσωσης αλλάζει:

\( \Leftrightarrow x^2 + x > 2\)

\( \Leftrightarrow x^2 + x - 2 > 0\)

Το τριώνυμο \(x^2 + x - 2\) έχει ρίζες \(x_1 = -2\) και \(x_2 = 1\). Επειδή ο συντελεστής του \(x^2\) είναι θετικός (1 > 0), το τριώνυμο είναι θετικό εκτός των ριζών.

\( \Leftrightarrow x < -2 \text{ ή } x > 1\)

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4: Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων 📊

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
i) \(f(x) = 2^x + 3\)
ii) \(g(x) = 2^{x-3}\)
iii) \(h(x) = 2^{x-3} + 2\)

## **ΛΥΣΗ**

Θεωρούμε ως βάση τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(\phi(x) = 2^x\).

i) **Γραφική παράσταση της \(f(x) = 2^x + 3\)**

Παρατηρούμε ότι \(f(x) = \phi(x) + 3\).

Η γραφική παράσταση της \(f\) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της \(\phi\) με μια **κατακόρυφη μετατόπιση** κατά 3 μονάδες **προς τα πάνω**. ⬆️

ii) **Γραφική παράσταση της \(g(x) = 2^{x-3}\)**

Παρατηρούμε ότι \(g(x) = \phi(x-3)\).

Η γραφική παράσταση της \(g\) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της \(\phi\) με μια **οριζόντια μετατόπιση** κατά 3 μονάδες **προς τα δεξιά**. ➡️

iii) **Γραφική παράσταση της \(h(x) = 2^{x-3} + 2\)**

Παρατηρούμε ότι \(h(x) = \phi(x-3) + 2\).

Η γραφική παράσταση της \(h\) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της \(\phi\) με **δύο μετατοπίσεις**:

1.  Μια **οριζόντια μετατόπιση** κατά 3 μονάδες **προς τα δεξιά**. ➡️

2.  Μια **κατακόρυφη μετατόπιση** κατά 2 μονάδες **προς τα πάνω**. ⬆️

# Ο αριθμός e 🏦

Μια Τράπεζα προσφέρει ετήσιο επιτόκιο \(\epsilon\)% (π.χ., 5%), το οποίο καταβάλλεται στο τέλος του χρόνου. Αν κάποιος καταθέσει 1 ευρώ, στο τέλος του χρόνου θα έχει \(1 + \tau\) ευρώ, όπου \(\tau = \frac{\epsilon}{100}\).

Αν ο τόκος <tooltip content="Ο τόκος προστίθεται στο κεφάλαιο και αρχίζει και αυτός να παράγει τόκο.">ανατοκίζεται</tooltip> \(ν\) φορές τον χρόνο, το ποσό \(A_\nu\) στο τέλος του χρόνου δίνεται από τον τύπο \(A_\nu = (1 + \frac{\tau}{\nu})^\nu\).

Ας υποθέσουμε ότι το επιτόκιο είναι 100% (\(\epsilon = 100\), άρα \(\tau = 1\)) και το κεφάλαιο είναι 1 ευρώ. Ο τύπος γίνεται:

\(A_\nu = (1 + \frac{1}{\nu})^\nu\)

Ας δούμε τι συμβαίνει καθώς αυξάνουμε τη συχνότητα ανατοκισμού \(ν\):

| ν (συχνότητα ανατοκισμού) | \( (1 + \frac{1}{\nu})^\nu \) (Τελικό ποσό) |
| :------------------------ | :--------------------------------------- |
| 1 (ανά έτος)             | \( (1 + \frac{1}{1})^1 = 2 \)            |
| 2 (ανά εξάμηνο)          | \( (1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25 \)         |
| 4 (ανά τρίμηνο)          | \( (1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2.441406 \) |
| 12 (ανά μήνα)            | \( (1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2.613035 \) |
| 52 (ανά εβδομάδα)        | \( (1 + \frac{1}{52})^{52} \approx 2.692597 \) |
| 365 (ανά ημέρα)         | \( (1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2.714567 \) |
| ...                       | ...                                      |
| 1000                      | \(\approx 2.716923\)                     |
| 10000                     | \(\approx 2.718145\)                     |
| 100000                    | \(\approx 2.718268\)                     |
| 1000000                   | \(\approx 2.718280\)                     |

Παρατηρούμε ότι καθώς το \(ν\) αυξάνει, η τιμή της παράστασης \( (1 + \frac{1}{\nu})^\nu \) προσεγγίζει έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό.

Αυτός ο αριθμός είναι **άρρητος** και συμβολίζεται με **e** (από τον μαθηματικό Leonard Euler).

**Προσέγγιση:**
\(e \approx 2.71828\)

Η συνάρτηση \(f(x) = e^x\) είναι η εκθετική συνάρτηση με βάση το e.

# Ο Νόμος της Εκθετικής Μεταβολής 📈📉

Πολλά φυσικά μεγέθη μεταβάλλονται με ρυθμό ανάλογο του μεγέθους τους. Αυτό περιγράφεται από τον **νόμο της εκθετικής μεταβολής**.

Η συνάρτηση που περιγράφει αυτή τη μεταβολή έχει τη μορφή:
\(Q(t) = Q_0 \cdot e^{ct}\)   (1)

Όπου:
*   \(t\): ο χρόνος ⏳
*   \(Q(t)\): η τιμή του μεγέθους τη χρονική στιγμή \(t\)
*   \(Q_0\): η **αρχική τιμή** του μεγέθους (τη χρονική στιγμή \(t=0\)). Είναι πάντα \(Q_0 > 0\).
*   \(c\): μια σταθερά που εξαρτάται από τη συγκεκριμένη εφαρμογή.
*   \(e\): η βάση των φυσικών λογαρίθμων (\(e \approx 2.71828\))

**Δύο περιπτώσεις:**

1.  **Εκθετική Αύξηση (c > 0):** Αν \(c > 0\), η συνάρτηση \(Q(t)\) είναι γνησίως αύξουσα. Το μέγεθος αυξάνεται εκθετικά με τον χρόνο. Παράδειγμα: πληθυσμός βακτηρίων υπό ιδανικές συνθήκες. 🦠
2.  **Εκθετική Απόσβεση (c < 0):** Αν \(c < 0\), η συνάρτηση \(Q(t)\) είναι γνησίως φθίνουσα. Το μέγεθος μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Παράδειγμα: ραδιενεργός διάσπαση. ⚛️

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής αποτελεί ένα ικανοποιητικό μοντέλο για πολλές εφαρμογές στη Φυσική, Βιολογία, Στατιστική κ.ά.

# Εκθετική Απόσβεση & Χρόνος Ημιζωής ⏳⚛️

Ένα σημαντικό παράδειγμα **εκθετικής απόσβεσης** (\(c < 0\) στον τύπο \(Q(t) = Q_0 e^{ct}\)) είναι η **ραδιενεργός διάσπαση**.

Η ποσότητα ενός ραδιενεργού υλικού μειώνεται με τον χρόνο σύμφωνα με τον νόμο:
\(Q(t) = Q_0 e^{ct}\), όπου \(c < 0\).

**Παράδειγμα:**
Αν η ποσότητα ενός ραδιενεργού υλικού σε γραμμάρια δίνεται από τον τύπο \(Q(t) = 200 \cdot e^{-0.3t}\) (όπου \(t\) σε δευτερόλεπτα), αυτό σημαίνει ότι η αρχική ποσότητα (\(t=0\)) είναι \(Q_0 = 200\) γραμμάρια. Η σταθερά \(c = -0.3\) είναι αρνητική, υποδεικνύοντας απόσβεση.

Η ποσότητα που παραμένει αδιάσπαστη μετά από 7 δευτερόλεπτα είναι:
\(Q(7) = 200 e^{-0.3 \cdot 7} = 200 e^{-2.1} \approx 200 \cdot (0.1224) \approx 24.5\) γραμμάρια.

**Χρόνος Υποδιπλασιασμού (Ημιζωή):**
Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται **χρόνος υποδιπλασιασμού** ή **χρόνος ημιζωής** της ουσίας.

**Παραδείγματα Χρόνων Ημιζωής:**

| ΙΣΟΤΟΠΟ             | ΗΜΙΖΩΗ        |
| :------------------ | :------------ |
| Άνθρακας (\(^{14}C\)) | 5730 έτη      |
| Ράδιο (\(^{226}Ra\))   | 1600 έτη      |
| Πολώνιο (\(^{210}Po\)) | 138 ημέρες   |
| Φώσφορος (\(^{32}P\))  | 14 ημέρες    |

01. Βασική Θεωρία

Πώς επεκτείνεται η γνωστή δύναμη σε ρητό εκθέτη μέσω ριζικών, με τους κανόνες υπολογισμού και ενδεικτικά παραδείγματα.

Δυνάμεις με ρητό εκθέτη

Πώς ορίζεται μια δύναμη όταν ο εκθέτης είναι άρρητος αριθμός, μέσω διαδοχικών δεκαδικών προσεγγίσεων και ορίου.

Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη

Ορισμός της εκθετικής συνάρτησης και μελέτη πεδίου ορισμού, συνόλου τιμών, μονοτονίας και γραφικής παράστασης ανά περίπτωση βάσης.

Εκθετική συνάρτηση

Λυμένα παραδείγματα επίλυσης εκθετικών εξισώσεων, συστημάτων και ανισώσεων, καθώς και μετατοπίσεων γραφικών παραστάσεων.

Εφαρμογές σε εξισώσεις, συστήματα, ανισώσεις και γραφικές παραστάσεις

Πώς προκύπτει ο αριθμός του Euler από το πρόβλημα του συνεχούς ανατοκισμού και γιατί θεωρείται θεμελιώδης σταθερά.

Ο αριθμός e

Ο τύπος που περιγράφει φυσικά μεγέθη που μεταβάλλονται εκθετικά με τον χρόνο, με εφαρμογή στη ραδιενεργό διάσπαση.

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

# Εκθετική Συνάρτηση σε Συντομία 📈

Ξεκινάμε από τις γνωστές δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη και τις επεκτείνουμε: για \(α>0\), \(μ\) ακέραιο και \(ν\) θετικό ακέραιο ορίζουμε τη δύναμη με **ρητό εκθέτη** \(α^{\frac{μ}{ν}} = \sqrt[ν]{α^μ}\), ενώ για **άρρητο** εκθέτη \(x\) χρησιμοποιούμε τα όρια των δυνάμεων με τις διαδοχικές δεκαδικές προσεγγίσεις του \(x\) (π.χ. \(3^{\sqrt{2}} \approx 4.7288\)). Έτσι, για κάθε \(α>0\) η δύναμη \(α^x\) ορίζεται για **κάθε** πραγματικό \(x\), και όλες οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων εξακολουθούν να ισχύουν.

<alert title="Μην ξεχνάς">

Ο συμβολισμός \(0^0\) δεν ορίζεται, ενώ \(0^x = 0\) μόνο όταν \(x>0\).

</alert>

Η συνάρτηση \(f(x) = α^x\) (με \(α>0\), \(α \neq 1\)) λέγεται **εκθετική συνάρτηση**. Έχει πεδίο ορισμού το \(\mathbb{R}\) και σύνολο τιμών το \((0,+\infty)\), και η γραφική της παράσταση περνάει πάντα από το σημείο \(Α(0,1)\). Όταν \(α>1\) είναι γνησίως αύξουσα με ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα \(x\), ενώ όταν \(0<α<1\) είναι γνησίως φθίνουσα με ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα \(x\)· οι δύο γραφικές παραστάσεις (π.χ. των \(2^x\) και \((\frac{1}{2})^x\)) είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα \(y'y\). Επειδή η \(f\) είναι «1-1», ισχύει η θεμελιώδης ισοδυναμία \(α^{x_1} = α^{x_2} \Leftrightarrow x_1 = x_2\), που λύνει εκθετικές εξισώσεις, ενώ η μονοτονία λύνει εκθετικές ανισώσεις μετατρέποντας τη σύγκριση εκθετών σε σύγκριση εκθετών ίδιας βάσης.

<fact title="Ο αριθμός e">

Ο αριθμός του Euler \(e \approx 2.71828\) προκύπτει ως το όριο \(e = \lim_{ν \to \infty}(1+\frac{1}{ν})^ν\) — τι θα είχαμε μετά από 1 χρόνο με ανατοκισμό 100% που γίνεται άπειρες φορές τον χρόνο. Η συνάρτηση \(f(x)=e^x\) λέγεται απλώς «η εκθετική συνάρτηση» και εμφανίζεται στον **νόμο της εκθετικής μεταβολής** \(Q(t) = Q_0 \cdot e^{ct}\), που περιγράφει φαινόμενα όπως η ραδιενεργός διάσπαση (\(c<0\), εκθετική απόσβεση) ή πληθυσμιακή αύξηση (\(c>0\), εκθετική αύξηση).

</fact>
