Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 📐

Ας εξερευνήσουμε τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις! Θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε τις λύσεις για εξισώσεις που περιλαμβάνουν ημίτονο (ημ), συνημίτονο (συν) και εφαπτομένη (εφ).

Η εξίσωση $\eta \mu x = \alpha$ 🧐

Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση $\eta \mu x = \frac{1}{2}$.

Ψάχνουμε τις τετμημένες των σημείων τομής της καμπύλης $y = \eta \mu x$ και της ευθείας $y = \frac{1}{2}$.

Η συνάρτηση $f(x) = \eta \mu x$ είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$. Αυτό σημαίνει ότι αν βρούμε τις λύσεις σε ένα διάστημα πλάτους $2\pi$, π.χ. στο $[0, 2\pi]$, μπορούμε να βρούμε όλες τις λύσεις προσθέτοντας $\kappa \cdot 2\pi$, όπου $\kappa$ είναι ακέραιος.

Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου, βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης $\eta \mu x = \frac{1}{2}$ στο διάστημα $[0, 2\pi]$ είναι οι $\frac{\pi}{6}$ και $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, γιατί $\eta \mu \frac{\pi}{6} = \eta \mu \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Επομένως, το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης $\eta \mu x = \frac{1}{2}$ δίνεται από τους τύπους:

Γενικότερα, αν $\theta$ είναι μία λύση της εξίσωσης $\eta \mu x = \alpha$, δηλαδή ισχύει $\eta \mu \theta = \alpha$, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

Παραδείγματα 💡

1. Να λυθεί η εξίσωση $\eta \mu x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Επειδή $\eta \mu \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ισχύει $\eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Επομένως η εξίσωση γράφεται $\eta \mu x = \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right)$, οπότε οι λύσεις της δίνονται από τους τύπους:

2. Να λυθεί η εξίσωση $\eta \mu \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$

Επειδή $\eta \mu \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, έχουμε $\eta \mu \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \eta \mu \frac{\pi}{6}$, οπότε:

Λύνοντας ως προς $x$:

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

Η εξίσωση $\sigma \upsilon \nu x = \alpha$ 🤔

Με ανάλογες σκέψεις, λύνουμε την εξίσωση $\sigma \upsilon \nu x = \alpha$. Ας δούμε την $\sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2}$.

Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου, βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης $\sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2}$ στο διάστημα $[-\pi, \pi]$ είναι οι $\frac{\pi}{3}$ και $-\frac{\pi}{3}$, γιατί $\sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{3} = \sigma \upsilon \nu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Επομένως, το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης $\sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2}$ δίνεται από τους τύπους:

Γενικότερα, αν $\theta$ είναι μία λύση της εξίσωσης $\sigma \upsilon \nu x = \alpha$, δηλαδή ισχύει $\sigma \upsilon \nu \theta = \alpha$, τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

Παραδείγματα 💡

1. Να λυθεί η εξίσωση $\sigma \upsilon \nu x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Επειδή $\sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, έχουμε $\sigma \upsilon \nu x = \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{4}$, οπότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους:

2. Να λυθεί η εξίσωση $\sigma \upsilon \nu 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Επειδή $\sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ισχύει $\sigma \upsilon \nu \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, δηλαδή $\sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Έχουμε επομένως $\sigma \upsilon \nu 2x = \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6}$, οπότε:

ή ισοδύναμα

Η εξίσωση $\varepsilon \phi x = \alpha$ 🤓

Έστω η εξίσωση $\varepsilon \phi x = \sqrt{3}$.

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση $\varepsilon \phi x$ είναι περιοδική με περίοδο $\pi$. Επομένως, αρκεί να βρούμε τις λύσεις σε ένα διάστημα πλάτους $\pi$, π.χ. το $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, και να προσθέσουμε σε αυτές το $\kappa\pi$, $\kappa \in \mathbb{Z}$.

Μία λύση της εξίσωσης $\varepsilon \phi x = \sqrt{3}$ είναι η $x = \frac{\pi}{3}$, γιατί $\varepsilon \phi \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Η λύση αυτή είναι μοναδική στο διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης $\varepsilon \phi x = \sqrt{3}$ είναι: $x = \kappa\pi + \frac{\pi}{3}$, $\kappa \in \mathbb{Z}$.

Γενικότερα, αν $\theta$ είναι μία λύση της εξίσωσης $\varepsilon \phi x = \alpha$, αν δηλαδή ισχύει $\varepsilon \phi \theta = \alpha$, τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι:

Ο ίδιος τύπος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση $\sigma \phi x = \alpha$.

Παραδείγματα 💡

1. Να λυθεί η εξίσωση $\varepsilon \phi x = -1$

Επειδή $\varepsilon \phi \frac{\pi}{4} = 1$, ισχύει $\varepsilon \phi \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$. Έχουμε επομένως $\varepsilon \phi x = \varepsilon \phi \left(-\frac{\pi}{4}\right)$, οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι:

2. Να λυθεί η εξίσωση $\varepsilon \phi \frac{x}{6} = \sqrt{3}$

Επειδή $\varepsilon \phi \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, έχουμε $\varepsilon \phi \frac{x}{6} = \varepsilon \phi \frac{\pi}{3}$, οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι: