Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Η εξίσωση ημx = α 🤔

Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \).

Αυτό σημαίνει ότι ψάχνουμε τις <tooltip content="Η τιμή x σε ένα σύστημα συντεταγμένων.">τετμημένες</tooltip> των σημείων τομής της καμπύλης \( y = \eta \mu x \) και της ευθείας \( y = \frac{1}{2} \).

Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα \( x \in \mathbb{R} \), για τα οποία η συνάρτηση \( f(x) = \eta \mu x \) παίρνει την τιμή \( \frac{1}{2} \).

Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο \( 2\pi \), για να βρούμε τα ζητούμενα \( x \), που είναι άπειρα σε πλήθος, αρκεί να βρούμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους \( 2\pi \) και σε καθένα να προσθέσουμε το \( \kappa \cdot 2\pi \), όπου \( \kappa \) είναι ακέραιος.

# Η εξίσωση ημx = α (Συνέχεια) 🤓

Με τη βοήθεια του <tooltip content="Ένας κύκλος με ακτίνα 1, κεντραρισμένος στην αρχή των αξόνων, που χρησιμοποιείται για την οπτικοποίηση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.">τριγωνομετρικού κύκλου</tooltip> βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \) στο διάστημα \( [0, 2\pi] \), είναι οι \( \frac{\pi}{6} \) και \( \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \), γιατί \( \eta \mu \frac{\pi}{6} = \eta \mu \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \) δίνεται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6}
\end{cases}
\)

# Γενικές Λύσεις για ημx = α 🎯

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μία λύση της εξίσωσης \( \eta \mu x = \alpha \), δηλαδή ισχύει \( \eta \mu \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \theta \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi + (\pi - \theta)
\end{cases}
\)

Όπου \( \kappa \) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός.

# Παράδειγμα 1: Επίλυση ημx = -√3/2 📝

**Να λυθεί η εξίσωση \( \eta \mu x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)**

##**Λύση:**

Επειδή \( \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), ισχύει \( \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Επομένως η εξίσωση γράφεται \( \eta \mu x = \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) \).

Οι λύσεις της δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{3} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi + \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) \implies x = 2\kappa\pi + \pi + \frac{\pi}{3}
\end{cases}
\)

# Παράδειγμα 2: Επίλυση ημ(2x + π/4) = 1/2 ✏️

**Να λυθεί η εξίσωση \( \eta \mu \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \)**

## **Λύση:**

Επειδή \( \eta \mu \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), έχουμε \( \eta \mu \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \eta \mu \frac{\pi}{6} \).

Οπότε οι λύσεις δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \pi - \frac{\pi}{6}
\end{cases}
\)

Ισχύει όμως:

\( 2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \iff 2x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \iff x = \kappa\pi - \frac{\pi}{24} \)

και

\( 2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) \iff 2x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \iff x = \kappa\pi + \frac{7\pi}{24} \)

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
x = \kappa\pi - \frac{\pi}{24} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = \kappa\pi + \frac{7\pi}{24}
\end{cases}
\)

# Η εξίσωση συνx = α 🤔

Με ανάλογες σκέψεις, όπως προηγουμένως, εργαζόμαστε για να λύσουμε π.χ. την εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \).

Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \) στο διάστημα \( [-\pi, \pi] \) είναι οι \( \frac{\pi}{3} \) και \( -\frac{\pi}{3} \), γιατί \( \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{3} = \sigma \upsilon \nu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).

Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \) δίνεται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{3} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{3}
\end{cases}
\)

# Γενικές Λύσεις για συνx = α 🎯

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μία λύση της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \alpha \), αν δηλαδή ισχύει \( \sigma \upsilon \nu \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \theta \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi - \theta
\end{cases}
\)

Όπου \( \kappa \) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός.

# Παράδειγμα 1: Επίλυση συνx = √2/2 📝

**Να λυθεί η εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)**

**Λύση:**

Επειδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), έχουμε \( \sigma \upsilon \nu x = \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{4} \).

Οπότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{4} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{4}
\end{cases}
\)

# Παράδειγμα 2: Επίλυση συν2x = -√3/2 ✏️

**Να λυθεί η εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)**

**Λύση:**

Επειδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), ισχύει \( \sigma \upsilon \nu \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), δηλαδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Έχουμε επομένως \( \sigma \upsilon \nu 2x = \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} \), οπότε:

\(
\begin{cases}
2x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
2x = 2\kappa\pi - \frac{5\pi}{6}
\end{cases}
\)

ή ισοδύναμα

\(
\begin{cases}
x = \kappa\pi + \frac{5\pi}{12} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = \kappa\pi - \frac{5\pi}{12}
\end{cases}
\)

# Η εξίσωση εφx = α 🤔

Έστω η εξίσωση \( \varepsilon \varphi x = \sqrt{3} \).

Όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση \( \varepsilon \varphi x \) είναι περιοδική με περίοδο \( \pi \). Επομένως, για να λύσουμε την εξίσωση, αρκεί να βρούμε τις λύσεις της σε ένα διάστημα πλάτους \( \pi \), π.χ. το \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), και να προσθέσουμε σε αυτές το \( \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z} \).

Όπως φαίνεται και στο σχήμα, μια μόνο λύση της εξίσωσης \( \varepsilon \varphi x = \sqrt{3} \) υπάρχει στο διάστημα \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \). Αυτή είναι η \( \frac{\pi}{3} \), γιατί \( \varepsilon \varphi \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης \( \varepsilon \varphi x = \sqrt{3} \) είναι: \( x = \kappa\pi + \frac{\pi}{3}, \kappa \in \mathbb{Z} \).

# Γενικές Λύσεις για εφx = α 🎯

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μια λύση της εξίσωσης \( \varepsilon \varphi x = \alpha \), αν δηλαδή ισχύει \( \varepsilon \varphi \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι:

\( x = \kappa\pi + \theta, \quad \kappa \in \mathbb{Z} \)

Ο ίδιος τύπος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση \( \sigma \varphi x = \alpha \).

---

**Παράδειγμα 1: Επίλυση εφx = -1** 📝

**Να λυθεί η εξίσωση \( \varepsilon \varphi x = -1 \)**

**Λύση:**

Επειδή \( \varepsilon \varphi \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \), ισχύει \( \varepsilon \varphi \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \). Έχουμε επομένως \( \varepsilon \varphi x = \varepsilon \varphi \left(-\frac{\pi}{4}\right) \).

Οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
\( x = \kappa\pi - \frac{\pi}{4}, \quad \kappa \in \mathbb{Z} \)

# Παράδειγμα 2: Επίλυση εφx = √3 ✏️

**Να λυθεί η εξίσωση \( \varepsilon \varphi x = \sqrt{3} \)**

**Λύση:**

Επειδή \( \varepsilon \varphi \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), έχουμε \( \varepsilon \varphi x = \sigma \varphi \frac{\pi}{6} \), οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι

\( x = \kappa\pi + \frac{\pi}{6}, \quad \kappa \in \mathbb{Z} \)

01. Βασική Θεωρία

Πώς βρίσκουμε όλες τις άπειρες λύσεις μιας εξίσωσης με ημίτονο χρησιμοποιώντας την περιοδικότητα και τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Η εξίσωση ημx = α

Ο αντίστοιχος τρόπος επίλυσης για εξισώσεις με συνημίτονο, με τους δύο τύπους λύσεων και λυμένα παραδείγματα.

Η εξίσωση συνx = α

Γιατί η εφαπτομένη χρειάζεται μόνο έναν τύπο λύσης λόγω μικρότερης περιόδου, με εφαρμογή και σε πιο σύνθετα ορίσματα.

Η εξίσωση εφx = α

# Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 🔑

Μια τριγωνομετρική εξίσωση της μορφής \( \eta \mu x = \alpha \), \( \sigma \upsilon \nu x = \alpha \) ή \( \varepsilon \phi x = \alpha \) έχει άπειρες λύσεις, γιατί οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές. Η στρατηγική είναι πάντα η ίδια: βρίσκουμε μία λύση \( \theta \) με τη βοήθεια γνωστών τιμών ή του <tooltip content="Κύκλος ακτίνας 1 με κέντρο την αρχή των αξόνων, που χρησιμοποιείται για τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.">τριγωνομετρικού κύκλου</tooltip>, και μετά γράφουμε όλες τις υπόλοιπες λύσεις προσθέτοντας πολλαπλάσια της περιόδου. Για το ημίτονο (περίοδος \( 2\pi \)), αν \( \eta \mu \theta = \alpha \), οι λύσεις είναι \( x = 2\kappa\pi + \theta \) ή \( x = 2\kappa\pi + (\pi - \theta) \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \). Για το συνημίτονο (περίοδος \( 2\pi \)), αν \( \sigma \upsilon \nu \theta = \alpha \), οι λύσεις είναι \( x = 2\kappa\pi + \theta \) ή \( x = 2\kappa\pi - \theta \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \).

<alert title="Η εφαπτομένη ξεχωρίζει">

Επειδή η εφαπτομένη έχει περίοδο \( \pi \) (όχι \( 2\pi \)), η εξίσωση \( \varepsilon \phi x = \alpha \) χρειάζεται **έναν μόνο** τύπο λύσης, όχι δύο: αν \( \varepsilon \phi \theta = \alpha \), τότε \( x = \kappa\pi + \theta \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \). Ο ίδιος τύπος ισχύει και για \( \sigma \phi x = \alpha \). Μην προσθέσεις δεύτερη περίπτωση όπως κάνεις στο ημίτονο και το συνημίτονο.

</alert>

Όταν το όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης δεν είναι απλό \( x \) αλλά μια παράσταση όπως \( 2x + \frac{\pi}{4} \) ή \( \frac{x}{6} \), δουλεύουμε με την ίδια λογική: εξισώνουμε ολόκληρη την παράσταση με \( \theta \) (ή \( \pi - \theta \), \( -\theta \)) σε καθέναν από τους τύπους, και μετά λύνουμε ως προς \( x \) — αυτό το τελευταίο βήμα είναι απαραίτητο και δεν πρέπει να παραλείπεται.
