Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις 📈📉

Άρτια Συνάρτηση ✨

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε $x \in A$ ισχύει:

-x \in A \text{ και } f(-x) = f(x)

Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή $x$ και την αντίθετή της $-x$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού, η συνάρτηση παίρνει την ίδια τιμή! 😊

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $y'y$ . Αυτό σημαίνει ότι αν "διπλώσουμε" το γράφημα κατά μήκος του άξονα $y'y$ , τα δύο τμήματα θα ταυτιστούν.

Παράδειγμα:

Έστω η συνάρτηση $f(x) = 2x^4 - x^2 + 1$ .

Έχει πεδίο ορισμού όλο το $\mathbb{R}$ . Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , ισχύει:

f(-x) = 2(-x)^4 - (-x)^2 + 1 = 2x^4 - x^2 + 1 = f(x)

Άρα, η $f$ είναι άρτια συνάρτηση. ✅

Γεωμετρική Ερμηνεία

Αν ένα σημείο $M(x, y)$ ανήκει στη γραφική παράσταση $C_f$ μιας άρτιας συνάρτησης, τότε και το συμμετρικό του ως προς τον άξονα $y'y$ , το σημείο $M'(-x, y)$ , ανήκει επίσης στη $C_f$ .

Περιττή Συνάρτηση 🔄

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε $x \in A$ ισχύει:

-x \in A \text{ και } f(-x) = -f(x)

Σε αυτή την περίπτωση, για αντίθετες τιμές $x$ και $-x$ του πεδίου ορισμού, η συνάρτηση παίρνει αντίθετες τιμές! 😮

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων $O(0, 0)$ . Αυτό σημαίνει ότι για κάθε σημείο της γραφικής παράστασης, το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων ανήκει επίσης στη γραφική παράσταση.

Παράδειγμα:

Έστω η συνάρτηση $f(x) = 2x^3 - x$ .

Έχει πεδίο ορισμού όλο το $\mathbb{R}$ . Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , ισχύει:

f(-x) = 2(-x)^3 - (-x) = -2x^3 + x = -(2x^3 - x) = -f(x)

Άρα, η $f$ είναι περιττή συνάρτηση. 👍

Γεωμετρική Ερμηνεία

Αν ένα σημείο $M(x, y)$ ανήκει στη γραφική παράσταση $C_f$ μιας περιττής συνάρτησης, τότε και το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων, το σημείο $M'(-x, -y)$ , ανήκει επίσης στη $C_f$ .

Από πού Προήλθαν οι Όροι 📝

Μην τα μπερδεύεις!

Οι λέξεις "άρτια" και "περιττή" δεν περιγράφουν τη συνάρτηση με βάση κάποια δική της ιδιότητα ονόματος — προέρχονται από τον εκθέτη στα βασικά παραδείγματα που τις γέννησαν. Μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή, οπότε η ονομασία δεν καλύπτει όλες τις περιπτώσεις.

Ο όρος "άρτια" προέκυψε αρχικά από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις $y = x^2$ , $y = x^4$ , $y = x^6$ κτλ., που έχουν άρτιο εκθέτη, έχουν άξονα συμμετρίας τον άξονα $y'y$ (είναι άρτιες συναρτήσεις).

Αντίστοιχα, ο όρος "περιττή" προέρχεται από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις $y = x$ , $y = x^3$ , $y = x^5$ κτλ., που έχουν περιττό εκθέτη, έχουν κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων (είναι περιττές συναρτήσεις).