Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Άρτια συνάρτηση 📈

Μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται **άρτια**, όταν για κάθε \(x \in A\) ισχύει:

\(-x \in A\) και \(f(-x) = f(x)\)

**Χαρακτηριστικό:** Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει **άξονα συμμετρίας** τον άξονα \(y'y\).

Αυτό συμβαίνει γιατί αν ένα σημείο \(M(x, y)\) ανήκει στη γραφική παράσταση \(C_f\), τότε και το συμμετρικό του ως προς τον άξονα \(y'y\), το σημείο \(M'(-x, y)\), ανήκει επίσης στη \(C_f\), αφού \(f(-x) = f(x) = y\).

**Παράδειγμα:**
Η συνάρτηση \(f(x) = 2x^4 - x^2 + 1\) είναι άρτια, αφού έχει πεδίο ορισμού όλο το \(\mathbb{R}\) και για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει:

\(f(-x) = 2(-x)^4 - (-x)^2 + 1 = 2x^4 - x^2 + 1 = f(x)\)

Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα \(y'y\).

# Περιττή συνάρτηση 📉

Μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται **περιττή**, όταν για κάθε \(x \in A\) ισχύει:

\(-x \in A\) και \(f(-x) = -f(x)\)

**Χαρακτηριστικό:** Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει **κέντρο συμμετρίας** την αρχή των αξόνων \(Ο(0, 0)\).

Αυτό συμβαίνει γιατί αν ένα σημείο \(M(x, y)\) ανήκει στη γραφική παράσταση \(C_f\), τότε και το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων, το σημείο \(M'(-x, -y)\), ανήκει επίσης στη \(C_f\), αφού \(f(-x) = -f(x) = -y\).

**Παράδειγμα:**
Η συνάρτηση \(f(x) = 2x^3 - x\) είναι περιττή συνάρτηση, διότι έχει πεδίο ορισμού όλο το \(\mathbb{R}\) και για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) ισχύει:

\(f(-x) = 2(-x)^3 - (-x) = -2x^3 + x = -(2x^3 - x) = -f(x)\)

Συνεπώς, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.


01. Βασική Θεωρία

Ο ορισμός της άρτιας συνάρτησης, η ιδιότητα συμμετρίας ως προς τον άξονα y'y και ένα πλήρως λυμένο παράδειγμα.

Άρτια Συνάρτηση

Ο ορισμός της περιττής συνάρτησης, η ιδιότητα κεντρικής συμμετρίας ως προς την αρχή των αξόνων και ένα λυμένο παράδειγμα.

Περιττή Συνάρτηση

Πώς προέκυψαν ιστορικά οι ονομασίες από τον άρτιο ή περιττό εκθέτη βασικών συναρτήσεων ισχύος.

Προέλευση των Όρων Άρτια και Περιττή

# Συμμετρίες Συναρτήσεων σε Λίγες Γραμμές 🔎

Μια συνάρτηση \(f\) με πεδίο ορισμού Α λέγεται **άρτια** όταν για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(-x \in A\) και \(f(-x) = f(x)\) — δηλαδή αντίθετες τιμές του \(x\) δίνουν την ίδια τιμή της συνάρτησης. Η γραφική της παράσταση έχει **άξονα συμμετρίας** τον \(y'y\): αν το σημείο \(M(x, y)\) ανήκει στη γραφική παράσταση, τότε και το \(M'(-x, y)\) ανήκει σε αυτήν. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η \(f(x) = 2x^4 - x^2 + 1\), αφού \(f(-x) = f(x)\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).

Αντίθετα, μια συνάρτηση λέγεται **περιττή** όταν για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(-x \in A\) και \(f(-x) = -f(x)\) — αντίθετες τιμές του \(x\) δίνουν αντίθετες τιμές της συνάρτησης. Η γραφική της παράσταση έχει **κέντρο συμμετρίας** την αρχή των αξόνων \(O(0, 0)\): το συμμετρικό ενός σημείου \(M(x, y)\) της γραφικής παράστασης ως προς το \(O\) είναι το \(M'(-x, -y)\), το οποίο επίσης ανήκει σε αυτήν. Η \(f(x) = 2x^3 - x\) είναι τυπικό παράδειγμα περιττής συνάρτησης.

<alert title="Οι ονομασίες δεν καλύπτουν τα πάντα">

Οι όροι "άρτια" και "περιττή" προήλθαν από τον εκθέτη στις συναρτήσεις \(y = x^ν\) (άρτιο ή περιττό \(ν\)), αλλά δεν σημαίνει ότι κάθε συνάρτηση είναι υποχρεωτικά η μία ή η άλλη — υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές.

</alert>
