Η Εξίσωση $Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E = 0$ 📐

Μεταφορά Αξόνων 🧭

Η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων $O(0,0)$ και ακτίνα $\rho$ είναι $x^2 + y^2 = \rho^2$. Αν το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο $O'(x_0, y_0)$, τότε η εξίσωση γίνεται $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \rho^2$. Αυτό δείχνει ότι η μορφή της εξίσωσης μιας καμπύλης εξαρτάται από τη σχετική θέση της καμπύλης και των αξόνων. 🤔

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αναλύσουμε την εξίσωση μιας καμπύλης $C$ ως προς ένα "νέο" σύστημα συντεταγμένων $O'XY$, του οποίου η αρχή είναι το σημείο $O'(x_0, y_0)$ (ως προς το παλιό σύστημα $Oxy$) και οι άξονες $O'X$ και $O'Y$ είναι παράλληλοι και ομόρροποι προς τους άξονες $Ox$ και $Oy$ του "παλιού" συστήματος. Αυτή η αλλαγή συστήματος λέγεται παράλληλη μεταφορά αξόνων. ✨

Έστω $M$ ένα σημείο του επιπέδου. Αν $(x, y)$ είναι οι συντεταγμένες του $M$ ως προς το σύστημα $Oxy$ και $(X, Y)$ οι συντεταγμένες του $M$ ως προς το σύστημα $O'XY$, τότε ισχύουν οι σχέσεις:

$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'M}$

$(x, y) = (x_0, y_0) + (X, Y)$

$(x, y) = (x_0 + X, y_0 + Y)$

Επομένως, οι τύποι της μεταφοράς αξόνων είναι:

$x = x_0 + X$ και $y = y_0 + Y$ ✅

ή, ισοδύναμα:

$X = x - x_0$, $Y = y - y_0$ ✅

Παράδειγμα 1: Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου $M$ ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα είναι $(4, -3)$ και η αρχή $O(0, 0)$ μετακινηθεί με τη μεταφορά των αξόνων στο σημείο $O'(-1, 2)$, τότε οι νέες συντεταγμένες του $M$ είναι:

$X = 4 - (-1) = 5$ και $Y = -3 - 2 = -5$. 😮

Παράδειγμα 2: Έστω η εξίσωση $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$, που παριστάνει κύκλο με κέντρο $K(2, -1)$ και ακτίνα $\rho = 3$. Αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων με νέα αρχή το σημείο $O'(2, -1)$, τότε οι τύποι της μεταφοράς είναι $x = X + 2$ και $y = Y - 1$. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύκλου:

$(X + 2 - 2)^2 + (Y - 1 + 1)^2 = 9$

$X^2 + Y^2 = 9$

Αυτή είναι η εξίσωση του κύκλου ως προς το νέο σύστημα $O'XY$. 🎉

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 💡

Να εξεταστεί τι παριστάνει στο επίπεδο καθεμιά από τις εξισώσεις:

(i) $y^2 - 4y - 8x - 4 = 0$

(ii) $9x^2 + 4y^2 - 72x - 24y + 144 = 0$

(iii) $9x^2 - 16y^2 - 36x - 96y - 252 = 0$

ΛΥΣΗ

(i) Έχουμε διαδοχικά:

$y^2 - 4y - 8x - 4 = 0$

$y^2 - 4y = 8x + 4$

$y^2 - 2 \cdot 2y + 2^2 = 8x + 4 + 2^2$ (Συμπλήρωση τετραγώνου για το $y$)

$(y - 2)^2 = 8x + 8$

$(y - 2)^2 = 8(x + 1)$ (1)

Αν θέσουμε $X = x + 1$ και $Y = y - 2$, δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο $O'(-1, 2)$, τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή:

$Y^2 = 8X$

$Y^2 = 2 \cdot 4 \cdot X$

Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει παραβολή με κορυφή το σημείο $O'(-1, 2)$ και άξονα συμμετρίας την ευθεία $Y = 0$, δηλαδή την ευθεία $y = 2$. 📉

(ii) Έχουμε διαδοχικά:

$9x^2 + 4y^2 - 72x - 24y + 144 = 0$

$9(x^2 - 8x) + 4(y^2 - 6y) = -144$

$9(x^2 - 2 \cdot 4x + 4^2) + 4(y^2 - 2 \cdot 3y + 3^2) = -144 + 9 \cdot 4^2 + 4 \cdot 3^2$ (Συμπλήρωση τετραγώνων)

$9(x - 4)^2 + 4(y - 3)^2 = -144 + 9 \cdot 16 + 4 \cdot 9$

$9(x - 4)^2 + 4(y - 3)^2 = -144 + 144 + 36$

$9(x - 4)^2 + 4(y - 3)^2 = 36$

$\frac{9(x - 4)^2}{36} + \frac{4(y - 3)^2}{36} = \frac{36}{36}$

$\frac{(x - 4)^2}{4} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$

$\frac{(x - 4)^2}{2^2} + \frac{(y - 3)^2}{3^2} = 1$ (1)

Αν θέσουμε $X = x - 4$ και $Y = y - 3$, δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο $O'(4, 3)$, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

$\frac{X^2}{2^2} + \frac{Y^2}{3^2} = 1$

Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη με κέντρο το σημείο $O'(4, 3)$. Επειδή $a = 3$ και $b = 2$, ο μεγάλος άξονας είναι παράλληλος στον άξονα $y'y$.

• Κορυφές μεγάλου άξονα (ως προς $Oxy$): $A(4, 3+3) = A(4, 6)$ και $A'(4, 3-3) = A'(4, 0)$.
• Κορυφές μικρού άξονα (ως προς $Oxy$): $B(4-2, 3) = B(2, 3)$ και $B'(4+2, 3) = B'(6, 3)$.
• Υπολογίζουμε $γ = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$.
• Εστίες (ως προς $Oxy$): $E(4, 3 + \sqrt{5})$ και $E'(4, 3 - \sqrt{5})$. 🧐

(iii) Έχουμε διαδοχικά:

$9x^2 - 16y^2 - 36x - 96y - 252 = 0$

$9(x^2 - 4x) - 16(y^2 + 6y) = 252$

$9(x^2 - 2 \cdot 2x + 2^2) - 16(y^2 + 2 \cdot 3y + 3^2) = 252 + 9 \cdot 2^2 - 16 \cdot 3^2$ (Συμπλήρωση τετραγώνων)

$9(x - 2)^2 - 16(y + 3)^2 = 252 + 9 \cdot 4 - 16 \cdot 9$

$9(x - 2)^2 - 16(y + 3)^2 = 252 + 36 - 144$

$9(x - 2)^2 - 16(y + 3)^2 = 144$

$\frac{9(x - 2)^2}{144} - \frac{16(y + 3)^2}{144} = \frac{144}{144}$

$\frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 3)^2}{9} = 1$

$\frac{(x - 2)^2}{4^2} - \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1$ (1)

Αν θέσουμε $X = x - 2$ και $Y = y + 3$, δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο $O'(2, -3)$, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

$\frac{X^2}{4^2} - \frac{Y^2}{3^2} = 1$

Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει υπερβολή με κέντρο το σημείο $O'(2, -3)$. Έχουμε $a = 4$ και $b = 3$.

• Υπολογίζουμε $γ = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
• Κορυφές (ως προς $Oxy$): $A(2+4, -3) = A(6, -3)$ και $A'(2-4, -3) = A'(-2, -3)$.
• Εστίες (ως προς $Oxy$): $E(2+5, -3) = E(7, -3)$ και $E'(2-5, -3) = E'(-3, -3)$. 🤩

Σχετική Θέση Ευθείας και Κωνικής 📈📉

Ας θεωρήσουμε μια ευθεία $\varepsilon$ με εξίσωση $y = λx + β$ (1) και μια κωνική τομή $C$ με εξίσωση $Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E = 0$ (2).

Η ευθεία $\varepsilon$ και η κωνική $C$ έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία, αφού το σύστημα:

$\begin{cases} y = λx + β \\ Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E = 0 \end{cases}$

έχει το πολύ δύο διακεκριμένες λύσεις.

Για την επίλυση του συστήματος, θέτουμε στην (2), όπου $y = λx + β$, οπότε προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς $x$.

Η σχετική θέση της ευθείας και της κωνικής εξαρτάται από το πλήθος των λύσεων αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, δηλαδή από τη διακρίνουσα $\Delta$:

• Αν $\Delta > 0$, η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. Η ευθεία και η κωνική τέμνονται σε δύο σημεία. ✂️
• Αν $\Delta = 0$, η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. Η ευθεία εφάπτεται της κωνικής. 👌
• Αν $\Delta < 0$, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Η ευθεία και η κωνική δεν έχουν κοινά σημεία. 🤷‍♀️

Παράδειγμα: Έστω η ευθεία $y = 2x$ και η παραβολή $y = x^2 + 1$.

Αν στην εξίσωση της παραβολής θέσουμε όπου $y = 2x$, βρίσκουμε:

$2x = x^2 + 1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

Αυτή η εξίσωση έχει διπλή ρίζα $x = 1$. Για $x = 1$, βρίσκουμε $y = 2(1) = 2$.

Άρα, η ευθεία εφάπτεται της κωνικής στο σημείο επαφής $M(1, 2)$. ✨