Σκέψου τα σαν "μαγικά βέλη" - τα λέμε διανύσματα.  Όταν τα κατανοήσεις, θα ανοίξεις την πόρτα για τον κόσμο των ευθειών και των αποστάσεων. Τώρα είναι η ώρα για την τελική πρόκληση. Μπες στο ρόλερ κόστερ, με κάθε κύκλο, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή να μοιάζουν με απότομες στροφές και ριψοκίνδυνα άλματα 🏹

Μαθηματικά Β' Λυκείου

# Μεταφορά Αξόνων

Η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο \(K(x_0, y_0)\) και ακτίνα \(ρ\) είναι \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = ρ^2\). Αν το κέντρο είναι η αρχή \(O(0,0)\), η εξίσωση γίνεται \(x^2 + y^2 = ρ^2\).

Αυτό δείχνει ότι η μορφή της εξίσωσης μιας καμπύλης εξαρτάται από τη σχετική θέση της καμπύλης και των αξόνων. 🤔

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αναλύσουμε την εξίσωση μιας καμπύλης \(C\) ως προς ένα "νέο" σύστημα συντεταγμένων \(X'O'Y'\), του οποίου η αρχή είναι το σημείο \(O'(x_0, y_0)\) (ως προς το αρχικό σύστημα \(XOY\)) και οι άξονες \(X'O'X'\) και \(Y'O'Y'\) είναι παράλληλοι και ομόρροποι προς τους άξονες \(x'Ox\) και \(y'Oy\) του "παλιού" συστήματος.

Αυτή η αλλαγή συστήματος ονομάζεται **παράλληλη μεταφορά αξόνων**. ➡️

# Μεταφορά Αξόνων: Τύποι Μετασχηματισμού

Έστω \( (x, y) \) οι συντεταγμένες ενός σημείου \( M \) ως προς το παλιό σύστημα \( XOY \), και \( (X, Y) \) οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου ως προς το νέο σύστημα \( X'O'Y' \) με αρχή \( O'(x_0, y_0) \) (στο παλιό σύστημα).

Οι σχέσεις που συνδέουν τις συντεταγμένες είναι:
\( x = x_0 + X \)
\( y = y_0 + Y \)

Ή, ισοδύναμα, οι συντεταγμένες στο νέο σύστημα εκφράζονται ως προς τις παλιές:
\( X = x - x_0 \)
\( Y = y - y_0 \)

Αυτοί οι τύποι ονομάζονται **τύποι μετασχηματισμού συντεταγμένων** για την παράλληλη μεταφορά αξόνων. 🔄

# Παραδείγματα Μεταφοράς Αξόνων 💡

**Παράδειγμα 1: Μετασχηματισμός Συντεταγμένων Σημείου**

Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου \( M \) ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα είναι \( (4, -3) \) και η αρχή \( O(0, 0) \) μετακινηθεί με τη μεταφορά των αξόνων στο σημείο \( O'(-1, 2) \), τότε οι νέες συντεταγμένες \( (X, Y) \) του \( M \) ως προς το νέο σύστημα \( X'O'Y' \) είναι:

\( X = x - x_0 = 4 - (-1) = 5 \)
\( Y = y - y_0 = -3 - 2 = -5 \)

Άρα, οι νέες συντεταγμένες είναι \( (5, -5) \). ✨

**Παράδειγμα 2: Απλοποίηση Εξίσωσης Κύκλου**

Έστω η εξίσωση \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \), που παριστάνει κύκλο με κέντρο \( K(2, -1) \) και ακτίνα \( ρ = 3 \).

Αν μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο κέντρο του κύκλου, δηλαδή στο \( O'(2, -1) \), τότε οι τύποι μετασχηματισμού είναι:
\( X = x - 2 \)
\( Y = y - (-1) = y + 1 \)

Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε:
\( X^2 + Y^2 = 9 \)

Αυτή είναι η εξίσωση του κύκλου ως προς το νέο σύστημα αξόνων, με κέντρο την αρχή \( O' \) του νέου συστήματος. 🎯

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αναγνώριση Καμπύλης (i) 🧐

Να εξεταστεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση:
\( y^2 - 4y - 8x - 4 = 0 \)

**Λύση:**

(i) Έχουμε διαδοχικά:
\( y^2 - 4y = 8x + 4 \)  
Προσθέτουμε \( 2^2 = 4 \) και στα δύο μέλη για να συμπληρώσουμε το τετράγωνο για το \( y \):
\( y^2 - 2 \cdot 2y + 2^2 = 8x + 4 + 2^2 \)
\( (y - 2)^2 = 8x + 8 \)
\( (y - 2)^2 = 8(x + 1) \)  (1)

Αν θέσουμε \( X = x + 1 \) και \( Y = y - 2 \), δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο \( O'(-1, 2) \), τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:
\( Y^2 = 8X \)  (ή \( Y^2 = 2 \cdot 4 \cdot X \))

Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει **παραβολή**  parabola με:
*   Κορυφή το σημείο \( O'(-1, 2) \) (στο αρχικό σύστημα).
*   Άξονα συμμετρίας την ευθεία \( Y = 0 \), δηλαδή την ευθεία \( y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \).
*   Παράμετρο \( p = 4 \).

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αναγνώριση Καμπύλης (ii) 🧐

Να εξεταστεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση:

\( 9x^2 + 4y^2 - 72x - 24y + 144 = 0 \)

**Λύση:**

(ii) Έχουμε διαδοχικά:

\( (9x^2 - 72x) + (4y^2 - 24y) + 144 = 0 \)

\( 9(x^2 - 8x) + 4(y^2 - 6y) = -144 \)

Συμπληρώνουμε τα τετράγωνα για το \( x \) και το \( y \):

\( 9(x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2 - 4^2) + 4(y^2 - 2 \cdot 3 \cdot y + 3^2 - 3^2) = -144 \)

\( 9[(x - 4)^2 - 16] + 4[(y - 3)^2 - 9] = -144 \)

\( 9(x - 4)^2 - 9 \cdot 16 + 4(y - 3)^2 - 4 \cdot 9 = -144 \)

\( 9(x - 4)^2 - 144 + 4(y - 3)^2 - 36 = -144 \)

\( 9(x - 4)^2 + 4(y - 3)^2 = 36 \)

Διαιρούμε με το 36:

\( \frac{9(x - 4)^2}{36} + \frac{4(y - 3)^2}{36} = \frac{36}{36} \)

\( \frac{(x - 4)^2}{4} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1 \)

\( \frac{(x - 4)^2}{2^2} + \frac{(y - 3)^2}{3^2} = 1 \)  (1)

Αν θέσουμε \( X = x - 4 \) και \( Y = y - 3 \), δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο \( O'(4, 3) \), τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

\( \frac{X^2}{2^2} + \frac{Y^2}{3^2} = 1 \)

Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει **έλλειψη** ellipse με:
*   Κέντρο το σημείο \( O'(4, 3) \).
*   \( α = 3 \) και \( β = 2 \). Επειδή \( α > β \), ο μεγάλος άξονας είναι παράλληλος στον άξονα \( y'y \).
*   Μεγάλος άξονας: Η ευθεία \( X = 0 \), δηλαδή \( x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
*   Κορυφές μεγάλου άξονα (στο νέο σύστημα \( (0, \pm α) = (0, \pm 3) \)):
    *   Για \( (X, Y) = (0, 3) \): \( x = X + 4 = 0 + 4 = 4 \), \( y = Y + 3 = 3 + 3 = 6 \). Άρα \( A(4, 6) \).
    *   Για \( (X, Y) = (0, -3) \): \( x = X + 4 = 0 + 4 = 4 \), \( y = Y + 3 = -3 + 3 = 0 \). Άρα \( A'(4, 0) \).
*   Μικρός άξονας: Η ευθεία \( Y = 0 \), δηλαδή \( y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3 \).
*   Κορυφές μικρού άξονα (στο νέο σύστημα \( (\pm β, 0) = (\pm 2, 0) \)):
    *   Για \( (X, Y) = (2, 0) \): \( x = X + 4 = 2 + 4 = 6 \), \( y = Y + 3 = 0 + 3 = 3 \). Άρα \( B(6, 3) \).
    *   Για \( (X, Y) = (-2, 0) \): \( x = X + 4 = -2 + 4 = 2 \), \( y = Y + 3 = 0 + 3 = 3 \). Άρα \( B'(2, 3) \).
*   Εστίες: \( γ^2 = α^2 - β^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 \Rightarrow γ = \sqrt{5} \). Οι εστίες στο νέο σύστημα είναι \( (0, \pm γ) = (0, \pm \sqrt{5}) \).
    *   Για \( (X, Y) = (0, \sqrt{5}) \): \( x = 4 \), \( y = 3 + \sqrt{5} \). Άρα \( E(4, 3 + \sqrt{5}) \).
    *   Για \( (X, Y) = (0, -\sqrt{5}) \): \( x = 4 \), \( y = 3 - \sqrt{5} \). Άρα \( E'(4, 3 - \sqrt{5}) \). ✨

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αναγνώριση Καμπύλης (iii) 🧐

Να εξεταστεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση:

\( 9x^2 - 16y^2 - 36x - 96y - 252 = 0 \)

**Λύση:**

(iii) Έχουμε διαδοχικά:

\( (9x^2 - 36x) - (16y^2 + 96y) - 252 = 0 \)

\( 9(x^2 - 4x) - 16(y^2 + 6y) = 252 \)

Συμπληρώνουμε τα τετράγωνα για το \( x \) και το \( y \):

\( 9(x^2 - 4x + 4) - 16(y^2 + 6y + 9) = 252 + 9 \cdot 4 - 16 \cdot 9 \)

\( 9(x - 2)^2 - 16(y + 3)^2 = 252 + 36 - 144 \)

\( 9(x - 2)^2 - 16(y + 3)^2 = 144 \)

Διαιρούμε με το 144:

\( \frac{9(x - 2)^2}{144} - \frac{16(y + 3)^2}{144} = \frac{144}{144} \)

\( \frac{(x - 2)^2}{16} - \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \)

\( \frac{(x - 2)^2}{4^2} - \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \)  (1)

Αν θέσουμε \( X = x - 2 \) και \( Y = y + 3 \), δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο \( O'(2, -3) \), τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

\( \frac{X^2}{4^2} - \frac{Y^2}{3^2} = 1 \)

Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει **υπερβολή** με:
*   Κέντρο το σημείο \( O'(2, -3) \).
*   \( α = 4 \), \( β = 3 \).
*   \( γ = \sqrt{α^2 + β^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).
*   Κορυφές (στο αρχικό σύστημα):
    *   \( A(α + x_0, y_0) = A(4 + 2, -3) = A(6, -3) \)
    *   \( A'(-α + x_0, y_0) = A'(-4 + 2, -3) = A'(-2, -3) \)
*   Εστίες (στο αρχικό σύστημα):
    *   \( E(γ + x_0, y_0) = E(5 + 2, -3) = E(7, -3) \)
    *   \( E'(-γ + x_0, y_0) = E'(-5 + 2, -3) = E'(-3, -3) \) 💫

# Σχετική Θέση Ευθείας και Κωνικής 📐

Γενικά, με κατάλληλη μεταφορά αξόνων, μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μια εξίσωση της μορφής \( Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E = 0 \) παριστάνει κωνική τομή και να βρούμε το είδος και τα στοιχεία της.

Για να βρούμε τη σχετική θέση μιας ευθείας \( ε: y = λx + β \) (1) και μιας κωνικής \( C: Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E = 0 \) (2), εξετάζουμε το σύστημα των εξισώσεών τους:

\( \begin{cases} y = λx + β \\ Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E = 0 \end{cases} \)

Για την επίλυση του συστήματος, θέτουμε στην (2) όπου \( y = λx + β \), οπότε προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς \( x \).

*   Αν η εξίσωση αυτή έχει **δύο ρίζες άνισες** (ή μία απλή ρίζα αν είναι 1ου βαθμού), τότε η ευθεία και η κωνική **τέμνονται** σε δύο σημεία. ✂️
*   Αν η εξίσωση έχει **μία διπλή ρίζα** (δηλαδή είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα \( Δ = 0 \)), τότε η ευθεία **εφάπτεται** της κωνικής. 👌
*   Αν η εξίσωση **δεν έχει ρίζες**, τότε η ευθεία και η κωνική **δεν έχουν κοινά σημεία**. 🤷‍♀️

**Παράδειγμα:** Έστω η ευθεία \( y = 2x \) και η παραβολή \( y = x^2 + 1 \).

Αντικαθιστώντας \( y = 2x \) στην εξίσωση της παραβολής, παίρνουμε:

\( 2x = x^2 + 1 \)

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

\( (x - 1)^2 = 0 \)

Αυτή η εξίσωση έχει διπλή ρίζα \( x = 1 \). Για \( x = 1 \), βρίσκουμε \( y = 2(1) = 2 \).

Άρα, η ευθεία εφάπτεται της κωνικής στο σημείο επαφής \( M(1, 2) \). ✨

01. Βασική Θεωρία

Πώς ορίζεται ένα νέο σύστημα συντεταγμένων με αρχή διαφορετική από το \(O\), και ποιοι τύποι συνδέουν τις παλιές με τις νέες συντεταγμένες ενός σημείου.

Παράλληλη Μεταφορά Αξόνων

Πώς μετατρέπουμε μια εξίσωση της μορφής Αx²+Βψ²+Γx+Δψ+Ε=0 σε γνωστή μορφή κωνικής, εντοπίζοντας το είδος και τα στοιχεία της.

Αναγνώριση Κωνικής με Συμπλήρωση Τετραγώνου

Πώς η διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που προκύπτει καθορίζει αν μια ευθεία τέμνει, εφάπτεται ή δεν συναντά μια κωνική τομή.

Σχετική Θέση Ευθείας και Κωνικής Τομής

# Η Εξίσωση \(Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E = 0\) 🧭

Κάθε κωνική τομή με άξονες παράλληλους στους \(Ox, Oy\) γράφεται σε αυτή τη γενική μορφή, και η **συμπλήρωση τετραγώνου** είναι το εργαλείο που την ξαναφέρνει σε γνωστή μορφή. Δουλεύουμε ξεχωριστά τους όρους με \(x\) και τους όρους με \(y\), ώστε να προκύψουν δύο τέλεια τετράγωνα \((x - x_0)^2\) και \((y - y_0)^2\). Στη συνέχεια κάνουμε **παράλληλη μεταφορά αξόνων**: μεταθέτουμε την αρχή στο σημείο \(O'(x_0, y_0)\) με τους τύπους \(X = x - x_0\), \(Y = y - y_0\) (ισοδύναμα \(x = x_0 + X\), \(y = y_0 + Y\)), και οι άξονες \(O'X, O'Y\) μένουν παράλληλοι και ομόρροποι στους αρχικούς. Ως προς το νέο σύστημα \(O'XY\) η εξίσωση παίρνει μία από τις τρεις γνωστές μορφές: \(Y^2 = 2pX\) (παραβολή, κορυφή \(O'\)), \(\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1\) (έλλειψη, κέντρο \(O'\)) ή \(\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1\) (υπερβολή, κέντρο \(O'\)). Τα στοιχεία της κωνικής (κορυφές, εστίες) υπολογίζονται πρώτα στο σύστημα \(O'XY\) και μετά μεταφέρονται στο αρχικό \(Oxy\) προσθέτοντας τις συντεταγμένες του \(O'\).

Για να βρούμε τη **σχετική θέση μιας ευθείας** \(y = λx + β\) **και μιας κωνικής** \(Ax^2 + By^2 + Γx + Δy + E = 0\), αντικαθιστούμε το \(y\) της ευθείας στην εξίσωση της κωνικής και καταλήγουμε σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς \(x\). Το πρόσημο της διακρίνουσας \(Δ\) αυτής της εξίσωσης δίνει την απάντηση: \(Δ > 0\) σημαίνει δύο κοινά σημεία (η ευθεία **τέμνει** την κωνική), \(Δ = 0\) σημαίνει ένα κοινό σημείο (η ευθεία **εφάπτεται**), και \(Δ < 0\) σημαίνει κανένα κοινό σημείο.

:::fact{title="Γιατί το πολύ δύο σημεία"}
Μια ευθεία και μια κωνική τομή έχουν πάντα το πολύ δύο κοινά σημεία, επειδή το σύστημά τους καταλήγει σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση — και μια τέτοια εξίσωση έχει το πολύ δύο διαφορετικές ρίζες.
:::

:::alert{title="Μην ξεχνάς την αντικατάσταση στο τέλος"}
Η συμπλήρωση τετραγώνου πρέπει να διορθώνεται και στο δεύτερο μέλος: όταν προσθέτεις έναν όρο μέσα σε μια παρένθεση πολλαπλασιασμένη με συντελεστή, πρέπει να προσθέσεις το ίδιο ποσό (πολλαπλασιασμένο με τον συντελεστή) και στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης, αλλιώς η ισότητα χαλάει.
:::
