Η Έλλειψη 📐

Ορισμός Έλλειψης

Έστω $E'$ και $E$ δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία $E'$ και $E$ ο γεωμετρικός τόπος $C$ των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα $E'$ και $E$ είναι σταθερό και μεγαλύτερο του $E'E$. 🗺️

Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως, με $2α$ και την απόσταση των εστιών $E'$ και $E$ με $2γ$. Η απόσταση $E'E$ ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης.

Σύμφωνα με τον ορισμό:

α) Ένα σημείο $M$ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν

$(ME') + (ME) = 2α$ ✨

β) Ισχύει $(E'E) < (ME') + (ME)$, δηλαδή $2γ < 2α$, οπότε $γ < α$. Αν $γ = 0$, τότε τα σημεία $E', E$ συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με κέντρο το $E$ και ακτίνα $α$. ⚪

Κατασκευή Σημείων Έλλειψης 🛠️

1. Με κύκλους: Παίρνουμε ένα τμήμα $ΚΛ$ μήκους $2α$ και ένα οποιοδήποτε σημείο του $Σ$. Με κέντρα τα $E'$ και $E$ και ακτίνες $ρ' = (ΚΣ)$ και $ρ = (ΛΣ)$, αντιστοίχως, γράφουμε δύο κύκλους, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία $M$ και $M'$. Τα σημεία $M$ και $M'$ είναι σημεία της έλλειψης, γιατί ισχύει $(ME') + (ME) = ρ' + ρ = 2α$ και $(M'E') + (M'E) = ρ' + ρ = 2α$.
2. Με νήμα: Παίρνουμε ένα σχοινί μήκους $2α$ και στερεώνουμε τα άκρα του στις εστίες $E'$ και $E$. Αν τώρα με ένα μολύβι διατηρούμε το σχοινί τεντωμένο, τότε αυτό, κατά την κίνησή του, θα διαγράψει την έλλειψη. ✏️

Εξίσωση Έλλειψης 📝

Έστω μια έλλειψη $C$ με εστίες $E'$ και $E$. Θα βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημα συντεταγμένων $Oxy$ με άξονα των $x$ την ευθεία $E'E$ και άξονα των $y$ τη μεσοκάθετο του $E'E$.

Οι εστίες $E'$ και $E$ θα έχουν συντεταγμένες $(-γ, 0)$ και $(γ, 0)$ αντιστοίχως. Αν $M(x, y)$ είναι ένα σημείο της έλλειψης $C$, τότε θα ισχύει:

$(ME') + (ME) = 2α$ (1)

Επειδή $(ME') = \sqrt{(x+γ)^2 + y^2}$ και $(ME) = \sqrt{(x-γ)^2 + y^2}$, η σχέση (1) γράφεται:

$\sqrt{(x+γ)^2 + y^2} + \sqrt{(x-γ)^2 + y^2} = 2α$

Μετά από πράξεις (ύψωση στο τετράγωνο δύο φορές και απλοποιήσεις):

$\sqrt{(x+γ)^2 + y^2} = 2α - \sqrt{(x-γ)^2 + y^2}$

$(x+γ)^2 + y^2 = 4α^2 + (x-γ)^2 + y^2 - 4α\sqrt{(x-γ)^2 + y^2}$

$x^2 + 2γx + γ^2 + y^2 = 4α^2 + x^2 - 2γx + γ^2 + y^2 - 4α\sqrt{(x-γ)^2 + y^2}$

$4γx - 4α^2 = -4α\sqrt{(x-γ)^2 + y^2}$

$α\sqrt{(x-γ)^2 + y^2} = α^2 - γx$ (2)

$α^2((x-γ)^2 + y^2) = (α^2 - γx)^2$

$α^2(x^2 - 2γx + γ^2 + y^2) = α^4 - 2α^2γx + γ^2x^2$

$α^2x^2 - 2α^2γx + α^2γ^2 + α^2y^2 = α^4 - 2α^2γx + γ^2x^2$

$(α^2 - γ^2)x^2 + α^2y^2 = α^2(α^2 - γ^2)$

Επειδή $α > γ$, είναι $α^2 - γ^2 > 0$, οπότε αν θέσουμε $β = \sqrt{α^2 - γ^2}$, δηλαδή $β^2 = α^2 - γ^2$, η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

$β^2x^2 + α^2y^2 = α^2β^2$

$\frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1$ (4)

Αποδεικνύεται και το αντίστροφο, δηλαδή ότι κάθε σημείο $M(x, y)$, του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση (4), είναι σημείο της έλλειψης $C$.

Εξίσωση Έλλειψης: $\frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1$, όπου $β = \sqrt{α^2 - γ^2}$ ✅

Παράδειγμα 1: Έλλειψη με εστίες τα σημεία $E'(-4, 0), E(4, 0)$ και σταθερό άθροισμα $2α = 10$.

Έχουμε $γ = 4$ και $α = 5$.

$β = \sqrt{α^2 - γ^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$.

Άρα, η εξίσωση είναι: $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$, δηλαδή $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$.

Εστίες στον άξονα y'y: Αν πάρουμε σύστημα συντεταγμένων $Oxy$ με άξονα των $x$ τη μεσοκάθετο του $E'E$ και άξονα των $y$ την ευθεία $E'E$, τότε οι εστίες είναι $E'(0, -γ)$ και $E(0, γ)$. Η εξίσωση της έλλειψης $C$ είναι:

$\frac{x^2}{β^2} + \frac{y^2}{α^2} = 1$

Παράδειγμα 2: Έλλειψη με εστίες $E'(0, -4), E(0, 4)$ και σταθερό άθροισμα $2α = 10$.

Έχουμε $γ = 4$ και $α = 5$.

$β = \sqrt{α^2 - γ^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$.

Άρα, η εξίσωση είναι: $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$, δηλαδή $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$.

Ιδιότητες Έλλειψης 🧐

Έστω μια έλλειψη $C: \frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1$, όπου $β = \sqrt{α^2 - γ^2}$.

• Συμμετρίες:

  • Αν $M(x_1, y_1)$ είναι σημείο της $C$, τότε και τα σημεία $M_1(x_1, -y_1)$, $M_2(-x_1, y_1)$ και $M_3(-x_1, -y_1)$ ανήκουν στην $C$.
  • Αυτό σημαίνει ότι η έλλειψη έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες $x'x$ και $y'y$ και κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων $O$. Το $O$ λέγεται κέντρο της έλλειψης.
  • Η ευθεία που ενώνει τις εστίες $E', E$ της έλλειψης και η μεσοκάθετος του $E'E$ είναι άξονες συμμετρίας της έλλειψης.

• Κορυφές και Άξονες:

  • Από την εξίσωση, για $y = 0$ βρίσκουμε $x = \pm α$, ενώ για $x = 0$ βρίσκουμε $y = \pm β$.
  • Η έλλειψη $C$ τέμνει τον άξονα $x'x$ στα σημεία $A'(-α, 0)$ και $A(α, 0)$, ενώ τον άξονα $y'y$ στα σημεία $B'(0, -β)$ και $B(0, β)$.
  • Τα σημεία $A', A, B', B$ λέγονται κορυφές της έλλειψης.
  • Το ευθύγραμμο τμήμα $A'A$ έχει μήκος $(A'A) = 2α$ και λέγεται μεγάλος άξονας της έλλειψης.
  • Το ευθύγραμμο τμήμα $B'B$ έχει μήκος $(B'B) = 2β$ και λέγεται μικρός άξονας της έλλειψης.
  • Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο οποιαδήποτε συμμετρικά ως προς $O$ σημεία $M_1$ και $M_2$ της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι $2β \le (M_1M_2) \le 2α$.

• Όρια:

  • Από την εξίσωση $\frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1$, έχουμε $\frac{x^2}{α^2} \le 1$ και $\frac{y^2}{β^2} \le 1$.
  • Οπότε $x^2 \le α^2$ και $y^2 \le β^2$.
  • Άρα, $-α \le x \le α$ και $-β \le y \le β$.
  • Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες $x = -α, x = α$ και $y = -β, y = β$. ⏹️

Εκκεντρότητα Έλλειψης 📏

Μια παράμετρος που καθορίζει τη μορφή της έλλειψης είναι η εκκεντρότητά της. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης $\frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1$ και τη συμβολίζουμε με $ε$, το λόγο $ε = \frac{γ}{α}$.

Επειδή $γ = \sqrt{α^2 - β^2}$, είναι $ε = \frac{\sqrt{α^2 - β^2}}{α}$, οπότε:
$ε^2 = \frac{α^2 - β^2}{α^2} = 1 - (\frac{β}{α})^2$ και άρα $\frac{β}{α} = \sqrt{1 - ε^2}$.

• Όσο μεγαλώνει η εκκεντρότητα, τόσο μικραίνει ο λόγος $\frac{β}{α}$ και κατά συνέπεια τόσο πιο επιμήκης γίνεται η έλλειψη.
• Όταν το $ε$ τείνει στο μηδέν, τότε ο λόγος $\frac{β}{α}$ τείνει στο 1 και επομένως η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος ( $ε = 0$ για κύκλο). ⭕
• Όταν, όμως, το $ε$ τείνει στη μονάδα, τότε ο λόγος $\frac{β}{α}$ τείνει στο 0 και επομένως η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα. ➖
• Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο $\frac{β}{α}$, λέγονται όμοιες.

Εφαπτομένη Έλλειψης 📉

Έστω μια έλλειψη $C$ με εξίσωση $\frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1$ και ένα σημείο της $M_1(x_1, y_1)$.

Η εφαπτομένη της έλλειψης $C$ στο σημείο $M_1(x_1, y_1)$ ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της παραβολής και αποδεικνύεται ότι έχει εξίσωση:

$\frac{xx_1}{α^2} + \frac{yy_1}{β^2} = 1$

Παράδειγμα: Η εφαπτομένη της έλλειψης $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ στο σημείο της $M_1(2, \sqrt{3})$ έχει εξίσωση:

$\frac{x \cdot 2}{16} + \frac{y \sqrt{3}}{4} = 1$

$\frac{x}{8} + \frac{y \sqrt{3}}{4} = 1$

$x + 2y\sqrt{3} = 8$

$2y\sqrt{3} = -x + 8$

$y = -\frac{1}{2\sqrt{3}}x + \frac{8}{2\sqrt{3}}$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{6}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Ανακλαστική Ιδιότητα

Όπως η παραβολή, έτσι και η έλλειψη έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα:

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής $M$ διχοτομεί τη γωνία $E'ME$, όπου $E', E$ οι εστίες της έλλειψης. 💡