Σκέψου τα σαν "μαγικά βέλη" - τα λέμε διανύσματα.  Όταν τα κατανοήσεις, θα ανοίξεις την πόρτα για τον κόσμο των ευθειών και των αποστάσεων. Τώρα είναι η ώρα για την τελική πρόκληση. Μπες στο ρόλερ κόστερ, με κάθε κύκλο, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή να μοιάζουν με απότομες στροφές και ριψοκίνδυνα άλματα 🏹

Μαθηματικά Β' Λυκείου

# Ορισμός Έλλειψης 📝

Έστω \( E' \) και \( E \) δύο σημεία ενός επιπέδου.

Έλλειψη με **εστίες** τα σημεία \( E' \) και \( E \) ονομάζεται ο :tooltip[γεωμετρικός τόπος]{content="Το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν μια δεδομένη ιδιότητα."} \( C \) των σημείων του επιπέδου \( M \) των οποίων το **άθροισμα των αποστάσεων** από τα \( E' \) και \( E \) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του \( E'E \).

Συμβολίζουμε το σταθερό άθροισμα με \( 2a \) και την απόσταση των εστιών \( E'E \) με \( 2γ \).

Δηλαδή, ένα σημείο \( M \) ανήκει στην έλλειψη αν και μόνο αν:

\( (ME') + (ME) = 2a \)

όπου \( 2a > 2γ \) ή \( a > γ \).

Η απόσταση \( (E'E) = 2γ \) ονομάζεται **εστιακή απόσταση**.

Αν \( γ = 0 \), οι εστίες συμπίπτουν (\( E' \equiv E \)) και η έλλειψη γίνεται **κύκλος** με κέντρο \( E \) και ακτίνα \( a \). 🌀

# Κατασκευή Σημείων Έλλειψης ✍️

Για να βρούμε σημεία μιας έλλειψης \( C \) με εστίες \( E', E \) και σταθερό άθροισμα \( 2a \):

1.  **Μέθοδος Κύκλων:** ⭕️
    *   Παίρνουμε ένα τμήμα \( ΚΛ \) μήκους \( 2a \).
    *   Επιλέγουμε ένα σημείο \( Σ \) στο \( ΚΛ \).
    *   Θέτουμε \( \rho' = (ΚΣ) \) και \( \rho = (ΛΣ) \). Προφανώς, \( \rho' + \rho = 2a \).
    *   Γράφουμε δύο κύκλους:
        *   Κέντρο \( E' \) και ακτίνα \( \rho' \).
        *   Κέντρο \( E \) και ακτίνα \( \rho \).
    *   Τα σημεία τομής \( M \) και \( M' \) αυτών των κύκλων είναι σημεία της έλλειψης, διότι \( (ME') = \rho' \) και \( (ME) = \rho \), άρα \( (ME') + (ME) = \rho' + \rho = 2a \).

2.  **Πρακτική Μέθοδος (Μέθοδος Κηπουρού):** 🧵
    *   Παίρνουμε ένα σχοινί μήκους \( 2a \).
    *   Στερεώνουμε τα άκρα του στις εστίες \( E' \) και \( E \).
    *   Με ένα μολύβι διατηρούμε το σχοινί τεντωμένο.
    *   Καθώς κινείται το μολύβι, διαγράφει την έλλειψη.

# Εξίσωση Έλλειψης (Εστίες στον άξονα x'x) 📐

Έστω μια έλλειψη \( C \) με εστίες \( E' \) και \( E \).

Για να βρούμε την εξίσωσή της, επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων \( Oxy \) με:
*   **Άξονα x'x:** Η ευθεία \( E'E \).
*   **Άξονα y'y:** Η μεσοκάθετος του \( E'E \).
*   **Αρχή Ο(0,0):** Το μέσο του \( E'E \).

Αν \( M(x, y) \) είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε ισχύει:

\( (ME') + (ME) = 2a \) (1)

Επειδή \( (E'E) = 2γ \), οι εστίες \( E' \) και \( E \) έχουν συντεταγμένες \( (-\gamma, 0) \) και \( (\gamma, 0) \) αντίστοιχα.

Επομένως:

\( (ME') = \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} \)

\( (ME) = \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

Η σχέση (1) γράφεται:

\( \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} + \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} = 2a \)

# Εξίσωση Έλλειψης (Συνέχεια) ⚙️

Από την εξίσωση \( \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} + \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} = 2a \), με διαδοχικές πράξεις (απομόνωση ριζικού, ύψωση στο τετράγωνο, απλοποίηση) καταλήγουμε:

\( \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

\( (x+\gamma)^2 + y^2 = 4a^2 + (x-\gamma)^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

\( x^2 + 2\gamma x + \gamma^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 - 2\gamma x + \gamma^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

\( 4\gamma x - 4a^2 = -4a\sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

\( a^2 - \gamma x = a\sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \) (2)

Υψώνοντας ξανά στο τετράγωνο:
\( (a^2 - \gamma x)^2 = a^2((x-\gamma)^2 + y^2) \)

\( a^4 - 2a^2 \gamma x + \gamma^2 x^2 = a^2(x^2 - 2\gamma x + \gamma^2 + y^2) \)

\( a^4 - 2a^2 \gamma x + \gamma^2 x^2 = a^2 x^2 - 2a^2 \gamma x + a^2 \gamma^2 + a^2 y^2 \)

\( a^2 x^2 - \gamma^2 x^2 + a^2 y^2 = a^4 - a^2 \gamma^2 \)

\( (a^2 - \gamma^2) x^2 + a^2 y^2 = a^2 (a^2 - \gamma^2) \)

Διαιρώντας με \( a^2(a^2 - \gamma^2) \):
\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - \gamma^2} = 1 \) (3)

Επειδή \( a > \gamma \), είναι \( a^2 - \gamma^2 > 0 \). Θέτουμε \( \beta = \sqrt{a^2 - \gamma^2} \), οπότε \( \beta^2 = a^2 - \gamma^2 \).

Η εξίσωση (3) παίρνει τη μορφή:
\( \boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1} \) (4)

Αποδεικνύεται και το αντίστροφο: κάθε σημείο \( M(x, y) \) που οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση (4), είναι σημείο της έλλειψης \( C \) με εστίες \( E'(-\gamma, 0), E(\gamma, 0) \) και σταθερό άθροισμα \( 2a \).

# Παράδειγμα Εξίσωσης Έλλειψης (Εστίες στον x'x) 💡

Έστω η έλλειψη με εστίες τα σημεία \( E'(-4, 0) \) και \( E(4, 0) \) και σταθερό άθροισμα \( 2a = 10 \).

*   Έχουμε \( \gamma = 4 \) και \( a = 5 \).
*   Υπολογίζουμε το \( \beta \):

    \( \beta = \sqrt{a^2 - \gamma^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \)
*   Η εξίσωση της έλλειψης είναι:

    \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \)

    \( \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \)

    \( \boxed{\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1} \)

# Εξίσωση Έλλειψης (Εστίες στον άξονα y'y) 📐

Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων \( Oxy \) με:
*   **Άξονα y'y:** Η ευθεία \( E'E \).
*   **Άξονα x'x:** Η μεσοκάθετος του \( E'E \).
*   **Αρχή Ο(0,0):** Το μέσο του \( E'E \).

Τότε οι εστίες θα είναι \( E'(0, -\gamma) \) και \( E(0, \gamma) \).

Εργαζόμενοι όπως πριν, βρίσκουμε ότι η εξίσωση της έλλειψης \( C \) είναι:

\( \boxed{\frac{x^2}{\beta^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1} \)

όπου \( \beta = \sqrt{a^2 - \gamma^2} \).

**Σημαντικό:** Σε αυτή την περίπτωση, ο παρονομαστής του \( y^2 \) είναι μεγαλύτερος (\( a^2 > \beta^2 \)).

## **Παράδειγμα:**

Η έλλειψη με εστίες \( E'(0, -4) \), \( E(0, 4) \) και σταθερό άθροισμα \( 2a = 10 \) έχει:
*   \( \gamma = 4 \), \( a = 5 \)
*   \( \beta = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \)
*   Εξίσωση: \( \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1} \)

# Ιδιότητες Έλλειψης 🔍

Έστω μια έλλειψη \( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \), όπου \( \beta = \sqrt{a^2 - \gamma^2} \).

*   **Συμμετρίες:** 🔄

  Αν \( M_1(x_1, y_1) \) είναι ένα σημείο της έλλειψης \( C \), τότε και τα σημεία \( M_2(x_1, -y_1) \), \( M_3(-x_1, y_1) \) και \( M_4(-x_1, -y_1) \) ανήκουν στην \( C \), αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της.

    Αυτό σημαίνει ότι η έλλειψη έχει:
    *   **Άξονα συμμετρίας** τον άξονα \( x'x \).
    *   **Άξονα συμμετρίας** τον άξονα \( y'y \).
    *   **Κέντρο συμμετρίας** την αρχή των αξόνων \( O(0,0) \).

    Το σημείο \( O \) λέγεται **κέντρο** της έλλειψης.

*   **Άξονες:**
    Η ευθεία που ενώνει τις εστίες \( E', E \) (άξονας \( x'x \) στην περίπτωσή μας) και η μεσοκάθετός της (άξονας \( y'y \)) είναι **άξονες συμμετρίας** της έλλειψης.

# Ιδιότητες Έλλειψης (Συνέχεια) ↔️

*   **Κορυφές:**
    Από την εξίσωση \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \):
    *   Για \( y = 0 \), βρίσκουμε \( x = \pm a \). Η έλλειψη τέμνει τον άξονα \( x'x \) στα σημεία \( A'(-a, 0) \) και \( A(a, 0) \).
    *   Για \( x = 0 \), βρίσκουμε \( y = \pm \beta \). Η έλλειψη τέμνει τον άξονα \( y'y \) στα σημεία \( B'(0, -\beta) \) και \( B(0, \beta) \).

    Τα σημεία \( A', A, B', B \) λέγονται **κορυφές** της έλλειψης.

*   **Μεγάλος και Μικρός Άξονας:**
    *   Το ευθύγραμμο τμήμα \( A'A \) έχει μήκος \( (A'A) = 2a \) και λέγεται **μεγάλος άξονας**.
    *   Το ευθύγραμμο τμήμα \( B'B \) έχει μήκος \( (B'B) = 2\beta \) και λέγεται **μικρός άξονας**.
    *   Ισχύει \( a > \beta \), άρα \( 2a > 2\beta \).

*   **Διάμετρος:**

    Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο συμμετρικά ως προς \( O \) σημεία \( M_1, M'_1 \) της έλλειψης λέγεται **διάμετρος** της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι:

    \( 2\beta \le (M_1M'_1) \le 2a \)

    Δηλαδή, κάθε διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση από το μικρό άξονα και μικρότερη ή ίση από το μεγάλο άξονα.

*   **Περιορισμός:**

    Από την εξίσωση \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \), έχουμε \( \frac{x^2}{a^2} \le 1 \) και \( \frac{y^2}{\beta^2} \le 1 \).

    Άρα:

    \( x^2 \le a^2 \Rightarrow -a \le x \le a \)

    \( y^2 \le \beta^2 \Rightarrow -\beta \le y \le \beta \)

    Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες \( x = -a, x = a, y = -\beta, y = \beta \). ⏹️

# Εκκεντρότητα Έλλειψης 🧐

Μια παράμετρος που καθορίζει τη μορφή της έλλειψης είναι η **εκκεντρότητα**.

Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \) και τη συμβολίζουμε με \( \varepsilon \), το λόγο \( \varepsilon = \frac{\gamma}{a} \).

Επειδή \( \gamma = \sqrt{a^2 - \beta^2} \), είναι \( \varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 - \beta^2}}{a} \).

Ισχύει \( 0 \le \gamma < a \), άρα \( 0 \le \frac{\gamma}{a} < 1 \). Επομένως, για κάθε έλλειψη ισχύει:

\( \boxed{0 \le \varepsilon < 1} \)

Από τον ορισμό \( \varepsilon = \frac{\gamma}{a} \) και τη σχέση \( \beta^2 = a^2 - \gamma^2 \), έχουμε:

\( \varepsilon^2 = \frac{\gamma^2}{a^2} = \frac{a^2 - \beta^2}{a^2} = 1 - \left(\frac{\beta}{a}\right)^2 \)

Άρα, \( \left(\frac{\beta}{a}\right)^2 = 1 - \varepsilon^2 \), οπότε \( \boxed{\frac{\beta}{a} = \sqrt{1 - \varepsilon^2}} \) (1)

*   Όσο **μεγαλώνει** η εκκεντρότητα \( \varepsilon \), τόσο **μικραίνει** ο λόγος \( \frac{\beta}{a} \) και κατά συνέπεια τόσο πιο **επιμήκης** γίνεται η έλλειψη.
*   Όταν \( \varepsilon \to 0 \), τότε \( \frac{\beta}{a} \to 1 \) (δηλ. \( \beta \to a \)) και η έλλειψη τείνει να γίνει **κύκλος** ⚪️. Για \( \varepsilon = 0 \), έχουμε κύκλο.
*   Όταν \( \varepsilon \to 1 \), τότε \( \frac{\beta}{a} \to 0 \) (δηλ. \( \beta \to 0 \)) και η έλλειψη τείνει να **εκφυλιστεί** σε ευθύγραμμο τμήμα μήκους \( 2a \) ➖.

Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο \( \frac{\beta}{a} \), λέγονται **όμοιες**.

**Αστρονομία:** 🪐 Οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ελλείψεις, των οποίων τη μία εστία κατέχει ο Ήλιος.

| Πλανήτης  | Εκκεντρότητα | Πλανήτης   | Εκκεντρότητα |
| :-------- | :----------- | :--------- | :----------- |
| Ερμής     | 0,206        | Κρόνος     | 0,051        |
| Αφροδίτη  | 0,007        | Ουρανός    | 0,046        |
| Γη        | 0,017        | Ποσειδώνας | 0,005        |
| Άρης      | 0,093        | Πλούτωνας  | 0,250        |
| Δίας      | 0,049        |            |              |

# Εφαπτομένη Έλλειψης 📉

Έστω μια έλλειψη \( C \) με εξίσωση \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \) και ένα σημείο της \( M_1(x_1, y_1) \).

Η **εφαπτομένη** της έλλειψης \( C \) στο σημείο \( M_1(x_1, y_1) \) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της παραβολής.

Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομένη της έλλειψης \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \) στο σημείο της \( M_1(x_1, y_1) \) έχει εξίσωση:

\( \boxed{\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{\beta^2} = 1} \)

**Παράδειγμα:**

Η εφαπτομένη της έλλειψης \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \) στο σημείο της \( M_1(2, \sqrt{3}) \) έχει εξίσωση:

\( \frac{x \cdot 2}{16} + \frac{y \cdot \sqrt{3}}{4} = 1 \)

\( \frac{x}{8} + \frac{y\sqrt{3}}{4} = 1 \)

Πολλαπλασιάζοντας με 8:

\( x + 2y\sqrt{3} = 8 \)

Λύνοντας ως προς y (αν \( \sqrt{3} \neq 0 \)):

\( 2y\sqrt{3} = 8 - x \)

\( y = \frac{8 - x}{2\sqrt{3}} = \frac{(8-x)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3} - x\sqrt{3}}{6} \)

\( y = -\frac{\sqrt{3}}{6}x + \frac{4\sqrt{3}}{3} \)

**Ανακλαστική Ιδιότητα:** ✨

Όπως η παραβολή, έτσι και η έλλειψη έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα:
Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής \( M \) διχοτομεί τη γωνία \( E'\hat{M}E \), όπου \( E', E \) οι εστίες της έλλειψης.

01. Βασική Θεωρία

Τι είναι η έλλειψη ως γεωμετρικός τόπος σημείων, ο ρόλος των εστιών και η βασική σχέση που ορίζει κάθε σημείο της.

Ορισμός της Έλλειψης

Δύο πρακτικοί τρόποι να σχεδιάσεις σημεία μιας έλλειψης, με κύκλους γύρω από τις εστίες ή με τεντωμένο νήμα.

Κατασκευή Σημείων της Έλλειψης

Πώς προκύπτει η εξίσωση x²/α² + y²/β² = 1 μέσα από το σύστημα συντεταγμένων, και πώς αλλάζει όταν οι εστίες είναι στον άξονα y.

Εξίσωση της Έλλειψης

Συμμετρίες, κορυφές, μεγάλος και μικρός άξονας, διάμετρος και τα όρια μέσα στα οποία περιορίζεται η καμπύλη.

Ιδιότητες της Έλλειψης

Ο αριθμός που δείχνει πόσο επιμήκης ή στρογγυλή είναι μια έλλειψη, τα όριά του και τι σημαίνει όταν δύο ελλείψεις είναι όμοιες.

Εκκεντρότητα της Έλλειψης

Η εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο της έλλειψης και η ιδιότητα που εξηγεί πώς ανακλώνται οι ακτίνες μέσα σε ελλειπτικό σχήμα.

Εφαπτομένη και Ανακλαστική Ιδιότητα

# Η Έλλειψη σε Μια Ματιά 📐

Η **έλλειψη** είναι ο :tooltip[γεωμετρικός τόπος]{content="Το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη ιδιότητα."} των σημείων \(M\) ενός επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία — τις :tooltip[εστίες]{content="Τα δύο σταθερά σημεία Ε' και Ε που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό της έλλειψης."} \(E'\) και \(E\) — είναι σταθερό: \((ME') + (ME) = 2α\), με \(2α > (E'E) = 2γ\), άρα \(α > γ\). Όταν \(γ = 0\) οι εστίες συμπίπτουν και η έλλειψη εκφυλίζεται σε κύκλο. Τοποθετώντας τις εστίες στον άξονα \(x'x\) ως \(E'(-γ,0)\) και \(E(γ,0)\), και θέτοντας \(β = \sqrt{α^2 - γ^2}\), προκύπτει η **εξίσωση της έλλειψης**:

\[
\frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1
\]

Αν αντίθετα οι εστίες βρίσκονται στον άξονα \(y'y\), δηλαδή \(E'(0,-γ)\) και \(E(0,γ)\), η εξίσωση γίνεται \(\frac{x^2}{β^2} + \frac{y^2}{α^2} = 1\) — δηλαδή ο μεγαλύτερος παρονομαστής «ακολουθεί» πάντα τον άξονα πάνω στον οποίο βρίσκονται οι εστίες.

Η έλλειψη έχει άξονες συμμετρίας τους \(x'x\) και \(y'y\) και κέντρο συμμετρίας το \(O\). Τέμνει τους άξονες στις **κορυφές** \(A'(-α,0)\), \(A(α,0)\), \(B'(0,-β)\), \(B(0,β)\)· το τμήμα \(A'A\) (μήκους \(2α\)) είναι ο **μεγάλος άξονας** και το \(B'B\) (μήκους \(2β\)) ο **μικρός άξονας**. Όλα τα σημεία της έλλειψης περιέχονται στο ορθογώνιο \(-α \le x \le α\), \(-β \le y \le β\).

:::alert{title="Ποιος παρονομαστής είναι ο α² ;"}
Το \(α^2\) είναι πάντα ο **μεγαλύτερος** από τους δύο παρονομαστές, ανεξάρτητα από το αν βρίσκεται κάτω από το \(x^2\) ή το \(y^2\). Αυτός ο παρονομαστής δείχνει πού βρίσκονται οι εστίες: αν είναι κάτω από το \(x^2\), οι εστίες είναι στον \(x'x\)· αν είναι κάτω από το \(y^2\), οι εστίες είναι στον \(y'y\).
:::

Η **εκκεντρότητα** \(ε = \dfrac{γ}{α}\) (με \(0 \le ε < 1\)) περιγράφει το σχήμα της έλλειψης: όσο πλησιάζει το 0, η έλλειψη τείνει σε κύκλο· όσο πλησιάζει το 1, «πλαταίνει» προς ένα ευθύγραμμο τμήμα. Δύο ελλείψεις με ίδια εκκεντρότητα λέγονται **όμοιες**.

:::fact{title="Οι πλανήτες κινούνται σε ελλείψεις"}
Οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ελλείψεις με τον Ήλιο σε μία από τις δύο εστίες. Η Γη έχει εκκεντρότητα μόλις 0,017 (σχεδόν κύκλος), ενώ ο Ερμής 0,206.
:::

Τέλος, η **εφαπτομένη** της έλλειψης \(\frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1\) σε σημείο της \(M_1(x_1, y_1)\) έχει εξίσωση \(\frac{xx_1}{α^2} + \frac{yy_1}{β^2} = 1\), και ισχύει η **ανακλαστική ιδιότητα**: η κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής \(M\) διχοτομεί τη γωνία \(E'ME\).
