Ορισμός Παραβολής 📜

Έστω μια ευθεία $δ$ και ένα σημείο $E$ εκτός της $δ$. Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο $E$ και διευθετούσα την ευθεία $δ$ ο γεωμετρικός τόπος $C$ των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την εστία $E$ και τη διευθετούσα $δ$. Δηλαδή, για κάθε σημείο $M$ της παραβολής ισχύει:

$d(M, E) = d(M, δ)$

όπου $d(M, δ)$ είναι η απόσταση του σημείου $M$ από την ευθεία $δ$.

Αν $A$ είναι η προβολή της εστίας $E$ στη διευθετούσα $δ$, τότε το μέσο $K$ του $EA$ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της παραβολής. ✨

Εξίσωση Παραβολής 📐

Για να βρούμε την εξίσωση της παραβολής $C$, επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων $Oxy$ με αρχή $O$ την κορυφή $K$ της παραβολής και άξονα $x'x$ την ευθεία που είναι κάθετη στη διευθετούσα $δ$ στο σημείο $A$ και περνά από την εστία $E$.

Έστω $p$ η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα, δηλαδή $d(E, δ) = p$. Τότε, η εστία $E$ έχει συντεταγμένες $(\frac{p}{2}, 0)$ και η διευθετούσα $δ$ έχει εξίσωση $x = -\frac{p}{2}$.

Ένα σημείο $M(x, y)$ ανήκει στην παραβολή $C$, αν και μόνο αν ισχύει $d(M, E) = d(M, δ)$.

Έχουμε:

$d(M, E) = \sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2}$

$d(M, δ) = |x + \frac{p}{2}|$

Επομένως, η εξίσωση γίνεται:

$\sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2} = |x + \frac{p}{2}|$

Υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο:

$(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = (x + \frac{p}{2})^2$

$x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4}$

$y^2 = 2px$

Αυτή είναι η εξίσωση της παραβολής με εστία $E(\frac{p}{2}, 0)$ και διευθετούσα $δ: x = -\frac{p}{2}$. ✅

• Παράδειγμα: Η παραβολή με εστία $E(1, 0)$ και διευθετούσα την ευθεία $x = -1$ έχει $p = 2$ και επομένως έχει εξίσωση $y^2 = 4x$.

Αν η εστία βρίσκεται στον άξονα $y'y$, στο σημείο $E(0, \frac{p}{2})$, και η διευθετούσα είναι η ευθεία $δ: y = -\frac{p}{2}$, τότε η εξίσωση της παραβολής είναι:

$x^2 = 2py$

Αυτή η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $y = \frac{1}{2p}x^2$, που παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = αx^2$ με $α = \frac{1}{2p}$, γνωστή από το Λύκειο. 📈

• Παράδειγμα: Η εξίσωση $y = \frac{1}{4}x^2$ παριστάνει την παραβολή που έχει $p = 2$, άρα έχει εστία το σημείο $E(0, 1)$ και διευθετούσα την ευθεία $y = -1$.

Ιδιότητες Παραβολής 🧐

Έστω η παραβολή $y^2 = 2px$.

• Από την εξίσωση $y^2 = 2px$ προκύπτει ότι $px \ge 0$. Άρα, τα $p$ και $x$ (με $x \neq 0$) είναι ομόσημα. Κάθε φορά η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας $y'y$ και η εστία $E$.
• Αν το σημείο $M_1(x_1, y_1)$ είναι σημείο της παραβολής, δηλαδή $y_1^2 = 2px_1$, τότε και το σημείο $M_2(x_1, -y_1)$ θα είναι σημείο της ίδιας παραβολής, αφού $(-y_1)^2 = y_1^2 = 2px_1$. Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας $x'x$ είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής.
• Η κάθετη από την εστία στη διευθετούσα είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής και λέγεται άξονας της παραβολής.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 💡

Πρόβλημα: Έστω η παραβολή $y^2 = 2px$ και μια ευθεία που διέρχεται από την εστία της και τέμνει την παραβολή στα σημεία $M_1$ και $M_2$. Να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των αποστάσεων των $M_1$ και $M_2$ από τον άξονα $x'x$ είναι σταθερό.

Απόδειξη:

Αν $M_1(x_1, y_1)$ και $M_2(x_2, y_2)$ είναι οι συντεταγμένες των $M_1$ και $M_2$, τότε οι αποστάσεις των $M_1$ και $M_2$ από τον άξονα $x'x$ θα είναι ίσες με $|y_1|$ και $|y_2|$ αντιστοίχως. Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι το $|y_1| |y_2|$ είναι σταθερό.

Επειδή τα σημεία $M_1(x_1, y_1)$, $M_2(x_2, y_2)$ ανήκουν στην παραβολή $y^2 = 2px$, θα ισχύει:

$y_1^2 = 2px_1$ και $y_2^2 = 2px_2$.

(Η απόδειξη συνεχίζεται στο βιβλίο, αλλά η βασική ιδέα είναι να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από την εστία και τα σημεία $M_1, M_2$ για να δειχθεί η σταθερότητα του γινομένου $|y_1| |y_2|$).

Εφαπτομένη Παραβολής 📏

• Η εφαπτομένη της παραβολής $y^2 = 2px$ στο σημείο της $M_1(x_1, y_1)$ έχει εξίσωση:
  $yy_1 = p(x + x_1)$

  • Παράδειγμα: Η εφαπτομένη της παραβολής $y^2 = 4x$ (όπου $p=2$) στο σημείο της $M_1(1, 2)$ έχει εξίσωση $y \cdot 2 = 2(x + 1)$, η οποία γράφεται $2y = 2x + 2$ ή $y = x + 1$.

• Αν μια παραβολή έχει εξίσωση $x^2 = 2py$, τότε η εφαπτομένη της στο σημείο $M_1(x_1, y_1)$ έχει εξίσωση:
  $xx_1 = p(y + y_1)$

Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής 🔦

Μια σπουδαία ιδιότητα της παραβολής, γνωστή ως ανακλαστική ιδιότητα, είναι η εξής:

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής $M_1$ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία $M_1E$ (προς την εστία) και η ημιευθεία $M_1I$ που είναι ομόρροπη της $OE$, όπου $E$ είναι η εστία της παραβολής.

Εφαρμογές:
Η ανακλαστική ιδιότητα χρησιμοποιείται στην κατασκευή:

• Παραβολικών κατόπτρων τηλεσκοπίων 🔭: Παράλληλες ακτίνες φωτός προς τον άξονα της παραβολής, μετά την ανάκλαση, συγκεντρώνονται στην εστία.
• Ραντάρ 📡 και κεραιών.
• Προβολέων αυτοκινήτων 🚗: Μια φωτεινή πηγή στην εστία παράγει παράλληλες ακτίνες μετά την ανάκλαση στο παραβολικό κάτοπτρο.
• Οδοντιατρικών κατόπτρων 🦷.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 🚀

1. Έστω η παραβολή $C: y^2 = 2px$ και $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ οι εφαπτόμενες της παραβολής από ένα σημείο $M_0(x_0, y_0)$ με $x_0 \neq 0$. Αν $M_1, M_2$ είναι τα σημεία επαφής των $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ με την παραβολή $C$, να αποδειχτεί ότι:

(i) Η ευθεία $M_1M_2$ έχει εξίσωση $yy_0 = p(x + x_0)$.

(ii) Η ευθεία $M_1M_2$ διέρχεται από την εστία, αν και μόνο αν το $M_0$ ανήκει στη διευθετούσα της παραβολής.

Απόδειξη:

(i) Έστω $M_1(x_1, y_1)$ και $M_2(x_2, y_2)$ τα σημεία επαφής. Οι εφαπτόμενες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ στα σημεία αυτά έχουν εξισώσεις:

$\varepsilon_1: yy_1 = p(x + x_1)$

$\varepsilon_2: yy_2 = p(x + x_2)$

Επειδή το σημείο $M_0(x_0, y_0)$ ανήκει και στις δύο εφαπτόμενες, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν τις εξισώσεις τους:

$y_0y_1 = p(x_0 + x_1)$ (1)

$y_0y_2 = p(x_0 + x_2)$ (2)

Οι σχέσεις (1) και (2) δηλώνουν ότι τα σημεία $M_1(x_1, y_1)$ και $M_2(x_2, y_2)$ ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση:

$yy_0 = p(x + x_0)$ (3)

Επειδή τα $M_1, M_2$ είναι δύο διαφορετικά σημεία (αφού $x_0 \neq 0$), η εξίσωση (3) παριστάνει την ευθεία που διέρχεται από τα $M_1$ και $M_2$. Άρα, η ευθεία $M_1M_2$ έχει εξίσωση $yy_0 = p(x + x_0)$. ✔️

(ii) Η ευθεία $M_1M_2$ διέρχεται από την εστία $E(\frac{p}{2}, 0)$ αν και μόνο αν οι συντεταγμένες της εστίας επαληθεύουν την εξίσωση (3):
$0 \cdot y_0 = p(\frac{p}{2} + x_0)$
$0 = p(\frac{p}{2} + x_0)$

Επειδή $p \neq 0$, η παραπάνω σχέση ισχύει αν και μόνο αν:

$\frac{p}{2} + x_0 = 0$

$x_0 = -\frac{p}{2}$

Αυτό σημαίνει ότι το σημείο $M_0(x_0, y_0)$ ανήκει στην ευθεία $x = -\frac{p}{2}$, η οποία είναι η διευθετούσα της παραβολής. ✔️