Σκέψου τα σαν "μαγικά βέλη" - τα λέμε διανύσματα.  Όταν τα κατανοήσεις, θα ανοίξεις την πόρτα για τον κόσμο των ευθειών και των αποστάσεων. Τώρα είναι η ώρα για την τελική πρόκληση. Μπες στο ρόλερ κόστερ, με κάθε κύκλο, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή να μοιάζουν με απότομες στροφές και ριψοκίνδυνα άλματα 🏹

Μαθηματικά Β' Λυκείου

# Ορισμός Παραβολής 📏

Έστω μια ευθεία \(δ\) και ένα σημείο \(E\) εκτός της \(δ\).

Ονομάζεται **παραβολή** με :tooltip[εστία]{content="Το σταθερό σημείο \(E\) που χρησιμοποιείται στον ορισμό της παραβολής."} το σημείο \(E\) και :tooltip[διευθετούσα]{content="Η σταθερή ευθεία \(δ\) που χρησιμοποιείται στον ορισμό της παραβολής."} την ευθεία \(δ\) ο :tooltip[γεωμετρικός τόπος]{content="Το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν μια δεδομένη ιδιότητα."}, \(C\), των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την \(E\) και τη \(δ\).

Δηλαδή, ένα σημείο \(M\) ανήκει στην παραβολή αν και μόνο αν:

\(d(M, E) = d(M, δ)\)

Αν \(A\) είναι η προβολή της εστίας \(E\) στη διευθετούσα \(δ\), τότε το μέσο \(K\) του \(EA\) είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται **κορυφή** της. Η ευθεία \(EA\) λέγεται **άξονας** της παραβολής.

# Εξίσωση Παραβολής (Μέρος 1) 📝

Έστω \(C\) μια παραβολή με εστία \(E\) και διευθετούσα \(δ\). Για να βρούμε την εξίσωση της παραβολής \(C\), επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων \(Oxy\) με αρχή \(O\) την κορυφή της παραβολής (το μέσο του \(EA\), όπου \(A\) η προβολή του \(E\) στη \(δ\)) και άξονα \(x'x\) την ευθεία \(EA\) που είναι κάθετη στη \(δ\).

Αν \(p\) είναι η απόσταση της εστίας \(E\) από τη διευθετούσα \(δ\), δηλαδή \(p = d(E, δ)\), τότε στο σύστημα αυτό:
*   Η εστία είναι \(E(\frac{p}{2}, 0)\)
*   Η διευθετούσα έχει εξίσωση \(δ: x = -\frac{p}{2}\)

# Εξίσωση Παραβολής (Μέρος 2) 📝

Σύμφωνα με τον ορισμό της παραβολής, ένα σημείο \(M(x, y)\) ανήκει στη \(C\), αν και μόνο αν ισχύει:

\(d(M, E) = d(M, δ)\)  (1)

Όπου:
*   \(d(M, E) = \sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2}\)
*   \(d(M, δ) = \frac{|x - (-\frac{p}{2})|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |x + \frac{p}{2}|\)

Έτσι, η σχέση (1) γράφεται διαδοχικά:

\(\sqrt{(x - \frac{p}{2})^2 + y^2} = |x + \frac{p}{2}|\)

Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο:

\((x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = (x + \frac{p}{2})^2\)

\(x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4}\)

\(y^2 = 2px\)  (2)

Επομένως, η εξίσωση της παραβολής \(C\) με εστία \(E(\frac{p}{2}, 0)\) και διευθετούσα \(δ: x = -\frac{p}{2}\) είναι:

**\(y^2 = 2px\)** 🎉

Ο αριθμός \(p\) λέγεται **παράμετρος** της παραβολής και η \(|p|\) παριστάνει την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα.

# Εξίσωση Παραβολής (Παραδείγματα & Άλλες Μορφές) ⚙️

## **Παράδειγμα 1:**

Η παραβολή με εστία \(E(1, 0)\) και διευθετούσα την ευθεία \(x = -1\).

Εδώ, \(\frac{p}{2} = 1\), άρα \(p = 2\).

Η εξίσωση είναι \(y^2 = 2px \Rightarrow y^2 = 2(2)x \Rightarrow y^2 = 4x\).

**Παραβολή με άξονα συμμετρίας τον \(y'y\):**
Αν πάρουμε σύστημα συντεταγμένων \(Oxy\) με αρχή \(O\) την κορυφή της παραβολής και άξονα \(y'y\) την ευθεία \(EA\) (κάθετη στη διευθετούσα \(δ\)), τότε:
*   Η εστία είναι \(E(0, \frac{p}{2})\)
*   Η διευθετούσα έχει εξίσωση \(δ: y = -\frac{p}{2}\)
*   Η εξίσωση της παραβολής είναι: **\(x^2 = 2py\)**

Αυτή η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα \(y = \frac{1}{2p}x^2\), που είναι η μορφή \(y = αx^2\) (γνωστή από το Γυμνάσιο/Α' Λυκείου), όπου \(α = \frac{1}{2p}\).

## **Παράδειγμα 2:**

Η εξίσωση \(y = \frac{1}{4}x^2\) παριστάνει παραβολή.

Εδώ \(α = \frac{1}{4}\), άρα \(\frac{1}{2p} = \frac{1}{4} \Rightarrow 2p = 4 \Rightarrow p = 2\).

Η εστία είναι \(E(0, \frac{p}{2}) = E(0, 1)\).

Η διευθετούσα είναι η ευθεία \(y = -\frac{p}{2} = -1\).

# Ιδιότητες Παραβολής ✨

Έστω μια παραβολή με εξίσωση \(y^2 = 2px\) (1).

*   Από την εξίσωση (1) προκύπτει ότι \(p\) και \(x\) (με \(x \neq 0\)) είναι ομόσημα. Άρα, κάθε φορά η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας \(y'y\) και η εστία \(E\). Επομένως, η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα \(δ\) και η εστία \(E\).

*   Αν το σημείο \(M_1(x_1, y_1)\) είναι σημείο της παραβολής, δηλαδή, αν \(y_1^2 = 2px_1\), τότε και το σημείο \(M_2(x_1, -y_1)\) θα είναι σημείο της ίδιας παραβολής, αφού \((-y_1)^2 = y_1^2 = 2px_1\).

    Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας \(x'x\) είναι **άξονας συμμετρίας** της παραβολής.

    Επομένως, η κάθετη από την εστία στη διευθετούσα είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής και λέγεται **άξονας της παραβολής**.

# Εφαρμογή: Ιδιότητα Χορδής Παραβολής 📌

## **Πρόβλημα:**

Έστω η παραβολή \(y^2 = 2px\) και μια ευθεία που διέρχεται από την εστία της \(E\) και τέμνει την παραβολή στα σημεία \(M_1\) και \(M_2\). Να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των αποστάσεων των \(M_1\) και \(M_2\) από τον άξονα \(x'x\) είναι σταθερό.

## **Απόδειξη:**

Έστω \(M_1(x_1, y_1)\) και \(M_2(x_2, y_2)\) οι συντεταγμένες των σημείων τομής. Οι αποστάσεις των \(M_1\) και \(M_2\) από τον άξονα \(x'x\) είναι \(|y_1|\) και \(|y_2|\) αντίστοιχα. Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι το γινόμενο \(|y_1| \cdot |y_2|\) είναι σταθερό.

Επειδή τα σημεία \(M_1(x_1, y_1)\) και \(M_2(x_2, y_2)\) ανήκουν στην παραβολή \(y^2 = 2px\), θα ισχύει:

\(y_1^2 = 2px_1\)  και  \(y_2^2 = 2px_2\)

Η εστία της παραβολής είναι \(E(\frac{p}{2}, 0)\). Επειδή τα σημεία \(M_1(x_1, y_1)\), \(E(\frac{p}{2}, 0)\) και \(M_2(x_2, y_2)\) είναι συνευθειακά (ανήκουν στην ίδια ευθεία που διέρχεται από την εστία), αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση:

\(y_1 y_2 = -p^2\)

Τότε, το γινόμενο των αποστάσεων είναι:

\(|y_1| \cdot |y_2| = |y_1 y_2| = |-p^2| = p^2\)

Αφού το \(p\) είναι σταθερό για μια δεδομένη παραβολή, το γινόμενο \(p^2\) είναι σταθερό. ✅

# Εφαπτομένη Παραβολής 📉

Η εφαπτομένη της παραβολής \(y^2 = 2px\) στο σημείο της \(M_1(x_1, y_1)\) έχει εξίσωση:

**\(yy_1 = p(x + x_1)\)**

## **Παράδειγμα:**
Η εφαπτομένη της παραβολής \(y^2 = 4x\) (όπου \(2p = 4 \Rightarrow p = 2\)) στο σημείο της \(M_1(2, 1)\) έχει εξίσωση:

\(y \cdot 1 = 2(x + 2)\)

\(y = 2x + 4\)

(Σημείωση: Υπάρχει λάθος στο βιβλίο, το σημείο \(M_1(2, 1)\) δεν ανήκει στην παραβολή \(y^2=4x\) αφού \(1^2 \neq 4 \cdot 2\). Αν το σημείο ήταν \(M_1(1, 2)\), τότε \(2^2 = 4 \cdot 1\), και η εφαπτομένη θα ήταν \(y \cdot 2 = 2(x + 1) \Rightarrow 2y = 2x + 2 \Rightarrow y = x + 1\).)

Αν μια παραβολή έχει εξίσωση **\(x^2 = 2py\) **, τότε η εφαπτομένη της στο σημείο \(M_1(x_1, y_1)\) έχει εξίσωση:

**\(xx_1 = p(y + y_1)\)**

# Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής 💡

Μια σπουδαία ιδιότητα της παραβολής, γνωστή ως **ανακλαστική ιδιότητα**, είναι η εξής:

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής \(M_1\) διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία \(M_1E\) (όπου \(E\) η εστία) και η ημιευθεία \(M_1t\) που είναι παράλληλη προς τον άξονα της παραβολής και έχει φορά προς το εσωτερικό της παραβολής.


# Εφαρμογές Ανακλαστικής Ιδιότητας 📡🔦

Η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής έχει σημαντικές εφαρμογές:

1.  **Παραβολικά Κάτοπτρα (Τηλεσκόπια, Ραντάρ):** Όλες οι ακτίνες φωτός (ή ηλεκτρομαγνητικά κύματα) που προσπίπτουν στο παραβολικό κάτοπτρο παράλληλα προς τον άξονά του, ανακλώνται και συγκεντρώνονται στην εστία. Αυτό χρησιμοποιείται στην κατασκευή τηλεσκοπίων και κεραιών ραντάρ. 🔭

2.  **Προβολείς (Αυτοκινήτων, Οδοντιάτρων):** Στα φανάρια των αυτοκινήτων ή στους προβολείς των οδοντιάτρων, μια φωτεινή πηγή (λαμπτήρας) τοποθετείται στην εστία ενός παραβολικού κατόπτρου. Οι φωτεινές ακτίνες που εκπέμπονται από την εστία, ανακλώνται στο κάτοπτρο και εξέρχονται παράλληλα προς τον άξονά του, δημιουργώντας μια ισχυρή, κατευθυνόμενη δέσμη φωτός. 🚗🦷

# Εφαρμογή: Εφαπτομένες Παραβολής 📐

### **Πρόβλημα:**

Έστω η παραβολή \(C: y^2 = 2px\) και \(\epsilon_1, \epsilon_2\) οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία της \(M_1(x_1, y_1)\) και \(M_2(x_2, y_2)\) με \(y_1 \neq y_2\). Αν \(M_0(x_0, y_0)\) είναι το σημείο τομής των \(\epsilon_1, \epsilon_2\), να αποδειχτεί ότι:

(i) Η ευθεία \(M_1M_2\) έχει εξίσωση \(yy_0 = p(x + x_0)\).

### **Απόδειξη (i):**

Οι εξισώσεις των εφαπτομένων \(\epsilon_1\) και \(\epsilon_2\) είναι:

\(\epsilon_1: yy_1 = p(x + x_1)\)

\(\epsilon_2: yy_2 = p(x + x_2)\)

Επειδή το σημείο \(M_0(x_0, y_0)\) ανήκει και στις δύο εφαπτόμενες, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τις εξισώσεις τους:

\(y_0y_1 = p(x_0 + x_1)\)  (1)

\(y_0y_2 = p(x_0 + x_2)\)  (2)

Οι σχέσεις (1) και (2) δείχνουν ότι οι συντεταγμένες των σημείων \(M_1(x_1, y_1)\) και \(M_2(x_2, y_2)\) επαληθεύουν την εξίσωση:

\(yy_0 = p(x + x_0)\)  (3)

Επειδή τα σημεία \(M_1\) και \(M_2\) είναι διαφορετικά (\(y_1 \neq y_2\)), η εξίσωση (3) παριστάνει την ευθεία που διέρχεται από τα \(M_1\) και \(M_2\), δηλαδή την ευθεία \(M_1M_2\). ✅

01. Βασική Θεωρία

Πώς ορίζεται η παραβολή μέσω εστίας και διευθετούσας, και ποιο σημείο της ονομάζεται κορυφή.

Ορισμός της Παραβολής

Πώς προκύπτει η εξίσωση y² = 2px επιλέγοντας κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων, και η μορφή της όταν η εστία είναι στον άξονα y'y.

Εξίσωση της Παραβολής

Ποιο πρόσημο συνδέει την παράμετρο p με τις συντεταγμένες x, και γιατί ο άξονας x'x είναι άξονας συμμετρίας.

Ιδιότητες της Παραβολής

Απόδειξη ότι το γινόμενο των αποστάσεων δύο σημείων μιας χορδής από την εστία από τον άξονα x'x παραμένει σταθερό.

Εφαρμογή: Γινόμενο Αποστάσεων από τον Άξονα

Ο τύπος της εφαπτομένης σε σημείο της παραβολής, τόσο για την εξίσωση y² = 2px όσο και για την x² = 2py.

Εφαπτομένη της Παραβολής

Πώς η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής εξηγεί τη λειτουργία τηλεσκοπίων, ραντάρ και προβολέων αυτοκινήτων.

Ανακλαστική Ιδιότητα και Εφαρμογές

Απόδειξη ιδιοτήτων της χορδής επαφής δύο εφαπτομένων που φέρονται από ένα σημείο εκτός της παραβολής.

Εφαπτόμενες από Εξωτερικό Σημείο

# Η Παραβολή σε Λίγες Γραμμές 🎯

Η **παραβολή** είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \(M\) του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο, την :tooltip[εστία]{content="Ένα σταθερό σημείο που χρησιμοποιείται για τον ορισμό της παραβολής."} \(E\), και από μια σταθερή ευθεία, τη :tooltip[διευθετούσα]{content="Μια σταθερή ευθεία που χρησιμοποιείται για τον ορισμό της παραβολής."} \(δ\) που δεν περνά από το \(E\): \(d(M, E) = d(M, δ)\). Το μέσο \(K\) του τμήματος που ενώνει την εστία με την προβολή της στη διευθετούσα λέγεται **κορυφή** της παραβολής. Επιλέγοντας σύστημα συντεταγμένων με αρχή την κορυφή και άξονα \(x'x\) την κάθετη από την εστία στη διευθετούσα, και θέτοντας \(p = d(E, δ)\) (την **παράμετρο** της παραβολής), η εστία είναι το \(E(\frac{p}{2}, 0)\), η διευθετούσα είναι η \(δ: x = -\frac{p}{2}\) και η εξίσωση της παραβολής παίρνει τη γνωστή μορφή \(y^2 = 2px\). Αν αντίθετα η εστία βρίσκεται πάνω στον άξονα \(y'y\), στο σημείο \(E(0, \frac{p}{2})\), με διευθετούσα \(δ: y = -\frac{p}{2}\), η εξίσωση γίνεται \(x^2 = 2py\), που δεν είναι άλλη από τη γνωστή \(y = αx^2\) με \(α = \frac{1}{2p}\).

:::alert{title="Πρόσεξε το πρόσημο του p"}
Από τη σχέση \(y^2 = 2px\) προκύπτει \(px \ge 0\), δηλαδή τα \(p\) και \(x\) έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο (για \(x \neq 0\)). Αυτό καθορίζει σε ποιο ημιεπίπεδο "ανοίγει" η παραβολή: αν \(p > 0\) απλώνεται προς τα θετικά \(x\), αν \(p < 0\) προς τα αρνητικά.
:::

Ο άξονας \(x'x\) (γενικά, η κάθετη από την εστία στη διευθετούσα) είναι **άξονας συμμετρίας** της παραβολής, αφού για κάθε σημείο \(M_1(x_1, y_1)\) της καμπύλης, και το \(M_2(x_1, -y_1)\) ανήκει σε αυτήν. Στο σημείο \(M_1(x_1, y_1)\) της παραβολής \(y^2 = 2px\), η **εφαπτομένη** έχει εξίσωση \(yy_1 = p(x + x_1)\) (αντίστοιχα, για \(x^2 = 2py\), η εφαπτομένη στο \(M_1(x_1, y_1)\) είναι \(xx_1 = p(y + y_1)\)).

:::fact{title="Γιατί τα τηλεσκόπια είναι παραβολικά"}
Η παραβολή έχει την περίφημη **ανακλαστική ιδιότητα**: η κάθετη στην εφαπτομένη σε ένα σημείο της διχοτομεί τη γωνία ανάμεσα στην ημιευθεία προς την εστία και την ημιευθεία που είναι παράλληλη προς τον άξονα. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι ακτίνες παράλληλες στον άξονα, μετά την ανάκλαση σε παραβολικό κάτοπτρο, συγκεντρώνονται όλες στην εστία — γι' αυτό τη βρίσκουμε σε τηλεσκόπια, κεραίες ραντάρ και προβολείς αυτοκινήτων (όπου, αντίστροφα, μια πηγή φωτός στην εστία παράγει παράλληλη δέσμη).
:::


Μαθηματικά Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία