Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 📐

Η εξίσωση $Ax + By + \Gamma = 0$, όπου τουλάχιστον ένας από τους $A$ ή $B$ είναι διαφορετικός από το μηδέν ($A \neq 0$ ή $B \neq 0$), ονομάζεται γενική εξίσωση μιας ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο. 🗺️

Ας δούμε πώς συνδέεται με τη μορφή που ήδη ξέρουμε:

• Αν η ευθεία $ε$ τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $\Sigma(0, \beta)$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$, τότε η εξίσωσή της είναι $y = \lambda x + \beta$, η οποία γράφεται ισοδύναμα $\lambda x + (-1)y + \beta = 0$. Αυτή είναι της μορφής $Ax + By + \Gamma = 0$. 👍
• Αν η ευθεία $ε$ είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο $P(x_0, y_0)$, τότε θα έχει εξίσωση $x = x_0$, η οποία γράφεται ισοδύναμα $x + 0 \cdot y + (-x_0) = 0$. Και αυτή είναι της μορφής $Ax + By + \Gamma = 0$. ✅

Αντίστροφα, ας δούμε τι παριστάνει η εξίσωση $Ax + By + \Gamma = 0$ με $A \neq 0$ ή $B \neq 0$:

• Αν $B \neq 0$, τότε η εξίσωση γράφεται:

  $By = -Ax - \Gamma \Leftrightarrow y = -\frac{A}{B}x - \frac{\Gamma}{B}$

  Αυτή είναι εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda = -\frac{A}{B}$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, -\frac{\Gamma}{B})$. 📉

• Αν $B = 0$, τότε, επειδή $A \neq 0$ ή $B \neq 0$, θα είναι $A \neq 0$. Η εξίσωση γράφεται:

  $Ax = -\Gamma \Leftrightarrow x = -\frac{\Gamma}{A}$

  Αυτή είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα $x'x$ στο σημείο $P(-\frac{\Gamma}{A}, 0)$. 🚦

Σε όλες τις περιπτώσεις, η εξίσωση $Ax + By + \Gamma = 0$ παριστάνει ευθεία.

ΘΕΩΡΗΜΑ 📜

Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής $Ax + By + \Gamma = 0$, με $A \neq 0$ ή $B \neq 0$ (1)
και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

Παράδειγμα:

Η εξίσωση $2x + y - 6 = 0$ παριστάνει ευθεία. Γράφεται στη μορφή $y = -2x + 6$, οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda = -2$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, 6)$. ✨

Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία 🧭

Έστω $Oxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και $ε$ μια ευθεία με εξίσωση $Ax + By + \Gamma = 0$.

• Αν $B \neq 0$, η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda = -\frac{A}{B}$. Επομένως, είναι παράλληλη προς το διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A)$ (αφού η κλίση του διανύσματος είναι $\frac{-A}{B} = \lambda$).
• Αν $B = 0$, τότε $A \neq 0$ και η ευθεία έχει εξίσωση $x = -\frac{\Gamma}{A}$. Είναι δηλαδή κατακόρυφη, παράλληλη στον άξονα $y'y$. Το διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A) = (0, -A)$ είναι επίσης παράλληλο στον άξονα $y'y$.

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν:

Η ευθεία με εξίσωση $Ax + By + \Gamma = 0$ είναι παράλληλη στο διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A)$. ↔️

Όμως, το διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A)$ είναι κάθετο στο διάνυσμα $\vec{n} = (A, B)$, αφού:

$\vec{\delta} \cdot \vec{n} = (B, -A) \cdot (A, B) = B \cdot A + (-A) \cdot B = AB - AB = 0$

Επομένως:
Η ευθεία με εξίσωση $Ax + By + \Gamma = 0$ είναι κάθετη στο διάνυσμα $\vec{n} = (A, B)$. ⬆️⬇️

Παράδειγμα: Η ευθεία $2x - y + 4 = 0$ είναι παράλληλη στο διάνυσμα $\vec{\delta} = (-1, -2)$ και κάθετη στο διάνυσμα $\vec{n} = (2, -1)$. 🤓

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Δίνεται η εξίσωση:

$(x - 2y + 5) + \lambda(3x + 2y + 7) = 0$ (1), όπου $\lambda \in \mathbb{R}$

(i) Να αποδειχτεί ότι:

Για κάθε τιμή της παραμέτρου $\lambda$ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) (Οικογένεια ευθειών) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

(ii) Ποια από τις παραπάνω ευθείες είναι κάθετη στην ευθεία $\zeta: y = 2x$;

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

(i) Η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα:

$x - 2y + 5 + 3\lambda x + 2\lambda y + 7\lambda = 0$

$(1+3\lambda)x + (-2+2\lambda)y + (5+7\lambda) = 0$ (2)

Αυτή είναι της μορφής $Ax + By + \Gamma = 0$. Για να παριστάνει ευθεία, πρέπει οι συντελεστές των $x$ και $y$ να μην μηδενίζονται ταυτόχρονα.

Αν $1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$

Αν $-2+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$

Δεν υπάρχει τιμή του $\lambda$ για την οποία μηδενίζονται και οι δύο συντελεστές ταυτόχρονα. Άρα, η (2) παριστάνει ευθεία για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$. 🥳

Για να δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε ένα σημείο $K(x_0, y_0)$ του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την (1) για όλες τις τιμές του $\lambda$. Αυτό συμβαίνει αν οι συντεταγμένες του μηδενίζουν τις παραστάσεις $x - 2y + 5$ και $3x + 2y + 7$. Λύνουμε το σύστημα:

$\begin{cases} x - 2y + 5 = 0 \\ 3x + 2y + 7 = 0 \end{cases}$

Προσθέτοντας κατά μέλη: $4x + 12 = 0 \Rightarrow 4x = -12 \Rightarrow x = -3$.

Αντικαθιστώντας στην πρώτη: $-3 - 2y + 5 = 0 \Rightarrow 2 - 2y = 0 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.

Άρα, όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το σημείο $K(-3, 1)$. 📍

(ii) Έστω $\varepsilon$ η ευθεία της οικογένειας (1) που είναι κάθετη στην ευθεία $\zeta$. Η ευθεία $\zeta: y = 2x$ έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_\zeta = 2$.

Η ευθεία $\varepsilon$ (από την εξίσωση (2)) έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_\varepsilon = -\frac{A}{B} = -\frac{1+3\lambda}{-2+2\lambda} = \frac{1+3\lambda}{2-2\lambda}$ (εφόσον $2-2\lambda \neq 0$, δηλαδή $\lambda \neq 1$).

Για να είναι $\varepsilon \perp \zeta$, πρέπει $\lambda_\varepsilon \cdot \lambda_\zeta = -1$.

$\frac{1+3\lambda}{2-2\lambda} \cdot 2 = -1$

$2(1+3\lambda) = -(2-2\lambda)$

$2 + 6\lambda = -2 + 2\lambda$

$6\lambda - 2\lambda = -2 - 2$

$4\lambda = -4$

$\lambda = -1$

Για $\lambda = -1$, η εξίσωση (2) γίνεται:

$(1+3(-1))x + (-2+2(-1))y + (5+7(-1)) = 0$

$(1-3)x + (-2-2)y + (5-7) = 0$

$-2x - 4y - 2 = 0$

Διαιρώντας με $-2$:

$x + 2y + 1 = 0$

Αυτή είναι η ζητούμενη ευθεία. ✔️

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με κορυφές $A(2,3)$, $B(4,1)$ και $\Gamma(5\lambda-1, \lambda)$, όπου $\lambda \in \mathbb{R}$ με $\lambda \neq 1$. Να αποδείξετε ότι το κέντρο βάρους του τριγώνου κινείται σε μια ευθεία, καθώς το $\lambda$ μεταβάλλεται στο $\mathbb{R}$.

ΛΥΣΗ

Αν $G(x, y)$ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου $AB\Gamma$, τότε οι συντεταγμένες του δίνονται από τους τύπους:

$x = \frac{x_A + x_B + x_\Gamma}{3}$ και $y = \frac{y_A + y_B + y_\Gamma}{3}$

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των κορυφών:

$x = \frac{2 + 4 + (5\lambda-1)}{3} = \frac{6 + 5\lambda - 1}{3} = \frac{5\lambda + 5}{3}$

$y = \frac{3 + 1 + \lambda}{3} = \frac{\lambda + 4}{3}$

Έχουμε λοιπόν το σύστημα:

$\begin{cases} x = \frac{5\lambda + 5}{3} \\ y = \frac{\lambda + 4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x = 5\lambda + 5 \\ 3y = \lambda + 4 \end{cases}$

Θέλουμε να απαλείψουμε το $\lambda$ για να βρούμε τη σχέση μεταξύ $x$ και $y$. Από τη δεύτερη εξίσωση έχουμε $\lambda = 3y - 4$.

Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση:

$3x = 5(3y - 4) + 5$

$3x = 15y - 20 + 5$

$3x = 15y - 15$

$3x - 15y + 15 = 0$

Διαιρώντας με 3:

$x - 5y + 5 = 0$

Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας. Άρα, το κέντρο βάρους $G$ του τριγώνου $AB\Gamma$ κινείται στην ευθεία $x - 5y + 5 = 0$ καθώς το $\lambda$ μεταβάλλεται. 🚶‍♂️🚶‍♀️

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3

Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών $\varepsilon_1: y = x + 1$ και $\varepsilon_2: y = -2x + 3$.

ΛΥΣΗ

Οι ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ έχουν συντελεστές διεύθυνσης $\lambda_1 = 1$ και $\lambda_2 = -2$, αντίστοιχα.

Ένα διάνυσμα παράλληλο στην $\varepsilon_1$ είναι το $\vec{\delta}_1 = (1, \lambda_1) = (1, 1)$.

Ένα διάνυσμα παράλληλο στην $\varepsilon_2$ είναι το $\vec{\delta}_2 = (1, \lambda_2) = (1, -2)$.

Η γωνία $\theta$ των ευθειών $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ είναι ίση με την οξεία γωνία των διανυσμάτων $\vec{\delta}_1$ και $\vec{\delta}_2$. Αν $\varphi$ είναι η γωνία των $\vec{\delta}_1$ και $\vec{\delta}_2$, τότε $\theta = \varphi$ αν $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$, και $\theta = 180^\circ - \varphi$ αν $90^\circ < \varphi \le 180^\circ$.

Ο τύπος που δίνει το συνημίτονο της γωνίας $\varphi$ των διανυσμάτων $\vec{\delta}_1$ και $\vec{\delta}_2$ είναι:

$\text{συν}\varphi = \frac{\vec{\delta}_1 \cdot \vec{\delta}_2}{|\vec{\delta}_1| |\vec{\delta}_2|}$

Υπολογίζουμε:

$\vec{\delta}_1 \cdot \vec{\delta}_2 = (1)(1) + (1)(-2) = 1 - 2 = -1$

$|\vec{\delta}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$|\vec{\delta}_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

Άρα:
$\text{συν}\varphi = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

Επειδή $\text{συν}\varphi < 0$, η γωνία $\varphi$ είναι αμβλεία. Η οξεία γωνία $\theta$ των ευθειών θα έχει συνημίτονο:

$\text{συν}\theta = |\text{συν}\varphi| = |-\frac{\sqrt{10}}{10}| = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Χρησιμοποιώντας υπολογιστή τσέπης, βρίσκουμε ότι η γωνία $\theta$ για την οποία $\text{συν}\theta = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.3162$ είναι περίπου $71.56^\circ$, ή όπως αναφέρεται στο κείμενο, $\theta \approx 72^\circ$. 📐⏱️