Σκέψου τα σαν "μαγικά βέλη" - τα λέμε διανύσματα.  Όταν τα κατανοήσεις, θα ανοίξεις την πόρτα για τον κόσμο των ευθειών και των αποστάσεων. Τώρα είναι η ώρα για την τελική πρόκληση. Μπες στο ρόλερ κόστερ, με κάθε κύκλο, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή να μοιάζουν με απότομες στροφές και ριψοκίνδυνα άλματα 🏹

Μαθηματικά Β' Λυκείου

# Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 📐

Η εξίσωση \(Ax + By + \Gamma = 0\), όπου \(A, B, \Gamma \in \mathbb{R}\) και ισχύει \(A \neq 0\) ή \(B \neq 0\), ονομάζεται **γενική εξίσωση** της ευθείας.

Ας δούμε τι παριστάνει αυτή η εξίσωση σε ένα :tooltip[καρτεσιανό επίπεδο]{content="Ένα σύστημα συντεταγμένων που ορίζεται από δύο κάθετους άξονες (x και y) και χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό σημείων στο επίπεδο."}.

# Γενική Μορφή: Ανάλυση Περιπτώσεων (1/2) 🤔

Έστω η εξίσωση \(Ax + By + \Gamma = 0\) με \(A \neq 0\) ή \(B \neq 0\).

*   **Αν \(B \neq 0\):**
    Η εξίσωση γράφεται:
    \(y = -\frac{A}{B}x - \frac{\Gamma}{B}\)

    Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας με:
    *   Συντελεστή διεύθυνσης: \(\lambda = -\frac{A}{B}\)
    *   Τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \((0, -\frac{\Gamma}{B})\)

# Γενική Μορφή: Ανάλυση Περιπτώσεων (2/2) 🤔

*   **Αν \(B = 0\):**

    Τότε, επειδή \(A \neq 0\) ή \(B \neq 0\), πρέπει \(A \neq 0\).

    Η εξίσωση γράφεται:

    \(x = -\frac{\Gamma}{A}\)

    Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας κάθετης στον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(P(-\frac{\Gamma}{A}, 0)\).

*   **Ειδική Περίπτωση Κατακόρυφης Ευθείας:**

    Αν μια ευθεία είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο \(P(x_0, y_0)\), τότε η εξίσωσή της είναι \(x = x_0\). Αυτή γράφεται ισοδύναμα \(x + 0 \cdot y + (-x_0) = 0\), που είναι της μορφής \(Ax + By + \Gamma = 0\).

Συμπερασματικά, η εξίσωση \(Ax + By + \Gamma = 0\) με \(A \neq 0\) ή \(B \neq 0\) παριστάνει πάντα ευθεία γραμμή. ✅

# Θεώρημα: Γενική Εξίσωση και Ευθεία Γραμμή 📜

**Θεώρημα:**

Κάθε εξίσωση του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής

\(Ax + By + \Gamma = 0\) με \(A \neq 0\) ή \(B \neq 0\)  (1)

και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

**Παράδειγμα:**

Η εξίσωση \(2x + y - 6 = 0\) παριστάνει ευθεία.

Γράφεται στη μορφή \(y = -2x + 6\).

Έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda = -2\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \((0, 6)\). ✨

# Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία ↔️↕️

Έστω η ευθεία \(\varepsilon\) με εξίσωση \(Ax + By + \Gamma = 0\), με \(A \neq 0\) ή \(B \neq 0\).

*   **Παράλληλο Διάνυσμα:**
    *   Αν \(B \neq 0\), η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda = -\frac{A}{B}\). Ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία είναι το \((1, \lambda) = (1, -\frac{A}{B})\). Ένα άλλο παράλληλο διάνυσμα είναι το \(\vec{\delta} = (B, -A)\).
    *   Αν \(B = 0\), η ευθεία είναι κατακόρυφη (\(x = -\frac{\Gamma}{A}\)). Είναι παράλληλη στον άξονα \(y'y\). Το διάνυσμα \(\vec{\delta} = (B, -A) = (0, -A)\) είναι παράλληλο στον \(y'y\) και άρα παράλληλο στην ευθεία.

    Συνεπώς, **το διάνυσμα \(\vec{\delta} = (B, -A)\) είναι πάντα παράλληλο** στην ευθεία \(Ax + By + \Gamma = 0\).

*   **Κάθετο Διάνυσμα:**

    Το διάνυσμα \(\vec{n} = (A, B)\) είναι κάθετο στο διάνυσμα \(\vec{\delta} = (B, -A)\), διότι:

    \(\vec{\delta} \cdot \vec{n} = (B, -A) \cdot (A, B) = BA + (-A)B = AB - AB = 0\)

    Συνεπώς, **το διάνυσμα \(\vec{n} = (A, B)\) είναι πάντα κάθετο** στην ευθεία \(Ax + By + \Gamma = 0\).

**Παράδειγμα:**

Η ευθεία \(2x - y + 4 = 0\) είναι:
*   Παράλληλη στο διάνυσμα \(\vec{\delta} = (-1, -2)\)
*   Κάθετη στο διάνυσμα \(\vec{n} = (2, -1)\)

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 (i): Οικογένεια Ευθειών 👨‍👩‍👧‍👦

Δίνεται η εξίσωση:
\((x - 2y + 5) + \lambda(3x + 2y + 7) = 0\) (1), όπου \(\lambda \in \mathbb{R}\).

**(i) Να αποδειχτεί ότι:**
*   Για κάθε τιμή της παραμέτρου \(\lambda\) η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.
*   Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) (Οικογένεια ευθειών) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

**ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i):**
Η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα:
\((1 + 3\lambda)x + (-2 + 2\lambda)y + (5 + 7\lambda) = 0\) (2)

Αυτή είναι της μορφής \(Ax + By + \Gamma = 0\) με:
*   \(A = 1 + 3\lambda\)
*   \(B = -2 + 2\lambda\)
*   \(\Gamma = 5 + 7\lambda\)

Για την εξίσωση \((1 + 3\lambda)x + (-2 + 2\lambda)y + (5 + 7\lambda) = 0\) (2):

*   Οι συντελεστές \(A = 1 + 3\lambda\) και \(B = -2 + 2\lambda\) δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα για καμία τιμή του \(\lambda\). Άρα, η (2) παριστάνει ευθεία γραμμή για κάθε \(\lambda \in \mathbb{R}\).

*   Για να δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε ένα σημείο \(K(x_0, y_0)\) του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την (1) για όλες τις τιμές του \(\lambda\).
    Αυτό συμβαίνει όταν οι συντεταγμένες του σημείου μηδενίζουν ταυτόχρονα τις παραστάσεις:
    \(x - 2y + 5 = 0\)
    \(3x + 2y + 7 = 0\)

*   Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων, βρίσκουμε:
    \(x_0 = -3\) και \(y_0 = 1\).

Επομένως, όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το σημείο \(K(-3, 1)\). ✨

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 (ii): Κάθετη Ευθεία στην Οικογένεια 🚦

**(ii) Ποια από τις ευθείες της οικογένειας (1) είναι κάθετη στην ευθεία \(\zeta: y = 2x\);**

**ΑΠΟΔΕΙΞΗ (ii):**

Έστω \(\varepsilon\) η ευθεία της οικογένειας (1) που είναι κάθετη στην ευθεία \(\zeta\).

Η ευθεία \(\zeta\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda_\zeta = 2\).

Για να είναι η \(\varepsilon\) κάθετη στην \(\zeta\), πρέπει το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους να είναι \(-1\):

\(\lambda_\varepsilon \cdot \lambda_\zeta = -1 \implies \lambda_\varepsilon \cdot 2 = -1 \implies \lambda_\varepsilon = -\frac{1}{2}\) (3)

Από την ισοδύναμη μορφή (2) της εξίσωσης της οικογένειας:

\((1 + 3\lambda)x + (-2 + 2\lambda)y + (5 + 7\lambda) = 0\)

Ο συντελεστής διεύθυνσης \(\lambda_\varepsilon\) της ευθείας \(\varepsilon\) (για \(-2 + 2\lambda \neq 0\)) είναι:

\(\lambda_\varepsilon = -\frac{A}{B} = -\frac{1 + 3\lambda}{-2 + 2\lambda} = \frac{1 + 3\lambda}{2 - 2\lambda}\)

Από την (3) έχουμε:

\(\frac{1 + 3\lambda}{2 - 2\lambda} = -\frac{1}{2}\)

\(2(1 + 3\lambda) = -(2 - 2\lambda)\)

\(2 + 6\lambda = -2 + 2\lambda\)

\(4\lambda = -4\)

\(\lambda = -1\)

Για \(\lambda = -1\), η εξίσωση (2) γίνεται:

\((1 + 3(-1))x + (-2 + 2(-1))y + (5 + 7(-1)) = 0\)

\(-2x - 4y - 2 = 0\)

Διαιρώντας με \(-2\), παίρνουμε την εξίσωση της κάθετης ευθείας:

\(x + 2y + 1 = 0\)

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Κίνηση Κέντρου Βάρους Τριγώνου 🚶‍♂️

Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με κορυφές \(Α(2, 3)\), \(Β(4, 1)\) και \(Γ(5\lambda - 1, \lambda)\), όπου \(\lambda \in \mathbb{R}\) με \(\lambda \neq 1\).

**Να αποδείξετε ότι:**
Το κέντρο βάρους του τριγώνου κινείται σε μια ευθεία γραμμή, καθώς το \(\lambda\) μεταβάλλεται στο \(\mathbb{R}\).

**ΛΥΣΗ:**

Αν \(G(x, y)\) είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου, τότε οι συντεταγμένες του δίνονται από τους τύπους:

\(x = \frac{x_A + x_B + x_\Gamma}{3}\) και \(y = \frac{y_A + y_B + y_\Gamma}{3}\)

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των κορυφών:

\(x = \frac{2 + 4 + 5\lambda - 1}{3} = \frac{5\lambda + 5}{3}\)

\(y = \frac{3 + 1 + \lambda}{3} = \frac{\lambda + 4}{3}\)

Έχουμε λοιπόν το σύστημα:

\(\begin{cases} x = \frac{5\lambda + 5}{3} \\ y = \frac{\lambda + 4}{3} \end{cases} \implies \begin{cases} 3x = 5\lambda + 5 \\ 3y = \lambda + 4 \end{cases}\)

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Η Ευθεία Κίνησης του Κέντρου Βάρους 📏

Από το σύστημα:

\(\begin{cases} 3x = 5\lambda + 5 \\ 3y = \lambda + 4 \end{cases}\)

Λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς \(\lambda\):

\(\lambda = 3y - 4\)

Αντικαθιστούμε αυτή την τιμή του \(\lambda\) στην πρώτη εξίσωση:

\(3x = 5(3y - 4) + 5\)

\(3x = 15y - 20 + 5\)

\(3x = 15y - 15\)

Απαλείφοντας το \(\lambda\), βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ \(x\) και \(y\):

\(3x - 15y + 15 = 0\)

Διαιρώντας με το 3, παίρνουμε την εξίσωση της ευθείας:

\(x - 5y + 5 = 0\)

Άρα, το κέντρο βάρους του τριγώνου \(ΑΒΓ\) κινείται στην ευθεία \(x - 5y + 5 = 0\) καθώς το \(\lambda\) μεταβάλλεται. 🎯

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3: Οξεία Γωνία Μεταξύ Ευθειών 📐

**Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών:**

\(\varepsilon_1: y = x + 1\)

\(\varepsilon_2: y = -2x + 3\)

**ΛΥΣΗ:**

Οι ευθείες \(\varepsilon_1\) και \(\varepsilon_2\) έχουν συντελεστές διεύθυνσης \(\lambda_1 = 1\) και \(\lambda_2 = -2\), αντίστοιχα.

Άρα, είναι παράλληλες προς τα διανύσματα:

\(\vec{\delta}_1 = (1, \lambda_1) = (1, 1)\)

\(\vec{\delta}_2 = (1, \lambda_2) = (1, -2)\)

Η γωνία \(\theta\) των ευθειών \(\varepsilon_1\) και \(\varepsilon_2\) είναι ίση με τη γωνία \(\phi\) (ή την παραπληρωματική της) των διανυσμάτων \(\vec{\delta}_1\) και \(\vec{\delta}_2\).

Υπολογίζουμε το συνημίτονο της γωνίας \(\phi\):

\(\text{συν}\phi = \frac{\vec{\delta}_1 \cdot \vec{\delta}_2}{|\vec{\delta}_1| \cdot |\vec{\delta}_2|}\)

\(\vec{\delta}_1 \cdot \vec{\delta}_2 = (1)(1) + (1)(-2) = 1 - 2 = -1\)

\(|\vec{\delta}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

\(|\vec{\delta}_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)

\(\text{συν}\phi = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}\)

Επειδή \(\text{συν}\phi < 0\), η γωνία \(\phi\) είναι αμβλεία. Η οξεία γωνία \(\theta\) των ευθειών είναι η παραπληρωματική της \(\phi\).

\(\text{συν}\theta = \text{συν}(180^\circ - \phi) = -\text{συν}\phi = \frac{\sqrt{10}}{10}\)

Επομένως, \(\text{συν}\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}\).

(Χρησιμοποιώντας υπολογιστή τσέπης, βρίσκουμε \(\theta \approx 71.57^\circ\), που συχνά στρογγυλοποιείται σε \(\theta \approx 72^\circ\)).

01. Βασική Θεωρία

Πώς κάθε ευθεία του επιπέδου περιγράφεται από μια εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0 και πώς αυτή συνδέεται με τη γνωστή μορφή y = λx + β.

Η Γενική Εξίσωση της Ευθείας

Το βασικό θεώρημα που εξασφαλίζει ότι κάθε ευθεία αντιστοιχεί σε μια τέτοια εξίσωση και αντιστρόφως, με εφαρμογή σε συγκεκριμένο αριθμητικό παράδειγμα.

Το Θεώρημα Ισοδυναμίας Ευθείας-Εξίσωσης

Πώς από τους συντελεστές A και B της γενικής εξίσωσης προκύπτουν άμεσα ένα διάνυσμα παράλληλο και ένα κάθετο στην ευθεία, χρήσιμα εργαλεία για ασκήσεις.

Παράλληλο και Κάθετο Διάνυσμα σε Ευθεία

Πώς μια εξίσωση με παράμετρο περιγράφει άπειρες ευθείες που συχνά διέρχονται από κοινό σταθερό σημείο, και πώς αποδεικνύεται ότι πάντα παριστάνει ευθεία.

Οικογένειες Ευθειών με Παράμετρο

Πώς αποδεικνύεται ότι ένα σημείο που εξαρτάται από παράμετρο, όπως το κέντρο βάρους τριγώνου με μεταβλητή κορυφή, κινείται πάνω σε συγκεκριμένη ευθεία.

Γεωμετρικός Τόπος Κινούμενου Σημείου

Πώς υπολογίζεται η οξεία γωνία μεταξύ δύο ευθειών μέσω παράλληλων διανυσμάτων τους και του τύπου του συνημιτόνου εσωτερικού γινομένου.

Γωνία Δύο Ευθειών

# Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας — Σύνοψη 📐

Κάθε ευθεία του επιπέδου γράφεται με μία εξίσωση της μορφής \(Ax + By + \Gamma = 0\), όπου \(A \neq 0\) ή \(B \neq 0\) — αυτή είναι η **γενική εξίσωση** της ευθείας. Ισχύει και το αντίστροφο: κάθε τέτοια εξίσωση παριστάνει πάντα ευθεία γραμμή. Αν \(B \neq 0\), λύνοντας ως προς \(y\) παίρνουμε \(y = -\frac{A}{B}x - \frac{\Gamma}{B}\), δηλαδή μια «συνηθισμένη» ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda = -\frac{A}{B}\) που τέμνει τον \(y'y\) στο \((0, -\frac{\Gamma}{B})\). Αν \(B = 0\) (οπότε αναγκαστικά \(A \neq 0\)), η εξίσωση γίνεται \(x = -\frac{\Gamma}{A}\), δηλαδή κατακόρυφη ευθεία, κάθετη στον \(x'x\).

Από τη γενική εξίσωση προκύπτουν άμεσα δύο πολύ χρήσιμα διανύσματα: η ευθεία \(Ax + By + \Gamma = 0\) είναι **παράλληλη** στο διάνυσμα \(\vec{\delta} = (B, -A)\) και **κάθετη** στο διάνυσμα \(\vec{n} = (A, B)\) — τα δύο αυτά διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, αφού \(\vec{\delta} \cdot \vec{n} = 0\). Αυτή η ιδιότητα είναι το κλειδί για πολλές ασκήσεις: αρκεί να «διαβάσεις» τους συντελεστές \(A\) και \(B\) για να βρεις κατευθείαν ένα παράλληλο ή ένα κάθετο διάνυσμα στην ευθεία, χωρίς υπολογισμό συντελεστή διεύθυνσης.

:::fact{title="Οικογένειες ευθειών"}
Μια εξίσωση με παράμετρο, όπως \((x - 2y + 5) + \lambda(3x + 2y + 7) = 0\), παριστάνει άπειρες ευθείες — μία για κάθε τιμή του \(\lambda\) — που συνήθως διέρχονται όλες από ένα κοινό σταθερό σημείο. Το σημείο αυτό βρίσκεται λύνοντας το σύστημα που προκύπτει μηδενίζοντας ταυτόχρονα τις δύο παραστάσεις που πολλαπλασιάζονται με την παράμετρο.
:::

Η γωνία δύο ευθειών υπολογίζεται μέσω παράλληλων διανυσμάτων τους \(\vec{\delta}_1, \vec{\delta}_2\), χρησιμοποιώντας τον τύπο του συνημιτόνου \(\text{συν}\varphi = \frac{\vec{\delta}_1 \cdot \vec{\delta}_2}{|\vec{\delta}_1||\vec{\delta}_2|}\): αν το αποτέλεσμα βγει αρνητικό, η γωνία των διανυσμάτων είναι αμβλεία και η ζητούμενη οξεία γωνία των ευθειών προκύπτει παίρνοντας την απόλυτη τιμή.

:::alert{title="Μην ξεχνάς τον έλεγχο ύπαρξης ευθείας"}
Σε εξισώσεις με παράμετρο, πριν μιλήσεις για «την ευθεία», πρέπει πρώτα να αποδείξεις ότι οι συντελεστές του \(x\) και του \(y\) δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα για καμία τιμή της παραμέτρου — διαφορετικά η εξίσωση για εκείνη την τιμή μπορεί να μην παριστάνει καθόλου ευθεία.
:::
