Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 📐

Γνωρίζουμε ότι το έργο που παράγεται από μια δύναμη $\vec{F}$ όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της από το O στο A είναι ίσο με το γινόμενο $|\vec{F}| \cdot (OA) \cdot \text{συνφ}$. Αυτό μας οδηγεί στον ορισμό του εσωτερικού γινομένου.

Ορισμός 🤓

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων $\vec{α}$ και $\vec{β}$ τον πραγματικό αριθμό που συμβολίζουμε με $\vec{α} \cdot \vec{β}$ και ισούται με:

$\vec{α} \cdot \vec{β} = |\vec{α}| \cdot |\vec{β}| \cdot \text{συνφ}$

όπου $φ$ η γωνία των διανυσμάτων $\vec{α}$ και $\vec{β}$.

• Αν $\vec{α} = \vec{0}$ ή $\vec{β} = \vec{0}$, τότε ορίζουμε $\vec{α} \cdot \vec{β} = 0$.

Παράδειγμα: Αν $|\vec{α}|=3$, $|\vec{β}|=8$ και $φ = \frac{π}{3}$, τότε:

$\vec{α} \cdot \vec{β} = 3 \cdot 8 \cdot \text{συν}\frac{π}{3} = 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12$ ✨

Άμεσες Συνέπειες του Ορισμού 💡

• $\vec{α} \cdot \vec{β} = \vec{β} \cdot \vec{α}$ (Αντιμεταθετική ιδιότητα)
• Αν $\vec{α} \perp \vec{β}$, τότε $\vec{α} \cdot \vec{β} = 0$ (και αντίστροφα). Κάθετα διανύσματα έχουν μηδενικό εσωτερικό γινόμενο.
• Αν $\vec{α} \uparrow\uparrow \vec{β}$ (ομόρροπα), τότε $\vec{α} \cdot \vec{β} = |\vec{α}| \cdot |\vec{β}|$ (και αντίστροφα).
• Αν $\vec{α} \uparrow\downarrow \vec{β}$ (αντίρροπα), τότε $\vec{α} \cdot \vec{β} = -|\vec{α}| \cdot |\vec{β}|$ (και αντίστροφα).

Το εσωτερικό γινόμενο $\vec{α} \cdot \vec{α}$ συμβολίζεται με $\vec{α}^2$ και λέγεται τετράγωνο του $\vec{α}$.
Έχουμε: $\vec{α}^2 = |\vec{α}| \cdot |\vec{α}| \cdot \text{συν}0 = |\vec{α}|^2$. Επομένως:
$\vec{α}^2 = |\vec{α}|^2$

Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα $\vec{i}$ και $\vec{j}$ του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν:
$\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{i} = 0$ και $\vec{i}^2 = \vec{j}^2 = 1$

Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου 📊

Αν έχουμε τα διανύσματα με συντεταγμένες $\vec{α} = (x_1, y_1)$ και $\vec{β} = (x_2, y_2)$, μπορούμε να εκφράσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας αυτές.

Με βάση τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο OAB (όπου $\vec{OA} = \vec{α}$ και $\vec{OB} = \vec{β}$), αποδεικνύεται ότι:

$\vec{α} \cdot \vec{β} = x_1x_2 + y_1y_2$

Δηλαδή: "Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους".

Παράδειγμα: Για $\vec{α} = (-3, 4)$ και $\vec{β} = (2, -1)$, το εσωτερικό γινόμενο είναι:

$\vec{α} \cdot \vec{β} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = -6 - 4 = -10$ 👇

Ιδιότητες (με χρήση συντεταγμένων) ➕➖✖️

Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης, αποδεικνύονται εύκολα οι παρακάτω ιδιότητες:

• $(\lambda \vec{α}) \cdot \vec{β} = \lambda (\vec{α} \cdot \vec{β}) = \vec{α} \cdot (\lambda \vec{β})$ (Πολλαπλασιασμός με αριθμό)
• $\vec{α} \cdot (\vec{β} + \vec{γ}) = \vec{α} \cdot \vec{β} + \vec{α} \cdot \vec{γ}$ (Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση)
• $\vec{α} \perp \vec{β} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{β} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$.
  • Αν $x_1x_2 \neq 0$, αυτό είναι ισοδύναμο με $\frac{y_1}{x_1} \frac{y_2}{x_2} = -1$, δηλαδή $\lambda_1 \lambda_2 = -1$, όπου $\lambda_1, \lambda_2$ οι συντελεστές διεύθυνσης των $\vec{α}$ και $\vec{β}$.

Συνημίτονο Γωνίας Δύο Διανυσμάτων 🧐

Αν $\vec{α}=(x_1, y_1)$ και $\vec{β}=(x_2, y_2)$ είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα που σχηματίζουν γωνία $θ$, τότε από τον ορισμό $\vec{α} \cdot \vec{β} = |\vec{α}| |\vec{β}| \text{συν}θ$ έχουμε:

$\text{συν}θ = \frac{\vec{α} \cdot \vec{β}}{|\vec{α}| |\vec{β}|}$

Επειδή $\vec{α} \cdot \vec{β} = x_1x_2 + y_1y_2$, $|\vec{α}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ και $|\vec{β}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}$, ο τύπος γίνεται:

$\text{συν}θ = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Παράδειγμα: Να βρεθεί η γωνία $θ$ των διανυσμάτων $\vec{α} = (1, 2)$ και $\vec{β} = (3, 1)$.

$\text{συν}θ = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 1}{\sqrt{1^2 + 2^2} \sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{3+2}{\sqrt{1+4} \sqrt{9+1}} = \frac{5}{\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Άρα, $θ = \frac{π}{4}$ (ή 45 μοίρες). 🎉

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 🚀

1. Ανισότητες Εσωτερικού Γινομένου

Αν $\vec{α}$ και $\vec{β}$ είναι δύο διανύσματα του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι:

(i) $|\vec{α} \cdot \vec{β}| \le |\vec{α}| |\vec{β}|$

(ii) $(\vec{α} \cdot \vec{β})^2 \le \vec{α}^2 \vec{β}^2$

Πότε ισχύουν οι ισότητες;

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

(i) Έχουμε $\vec{α} \cdot \vec{β} = |\vec{α}| |\vec{β}| \text{συν}θ$. Παίρνοντας την απόλυτη τιμή:

$|\vec{α} \cdot \vec{β}| = ||\vec{α}| |\vec{β}| \text{συν}θ| = |\vec{α}| |\vec{β}| |\text{συν}θ|$.

Επειδή $|\text{συν}θ| \le 1$, συμπεραίνουμε ότι $|\vec{α}| |\vec{β}| |\text{συν}θ| \le |\vec{α}| |\vec{β}|$.

Άρα, $|\vec{α} \cdot \vec{β}| \le |\vec{α}| |\vec{β}|$.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $|\text{συν}θ| = 1$, δηλαδή $\text{συν}θ = \pm 1$, που σημαίνει ότι τα διανύσματα $\vec{α}$ και $\vec{β}$ είναι παράλληλα ($\vec{α} // \vec{β}$).

(ii) Υψώνοντας την $\vec{α} \cdot \vec{β} = |\vec{α}| |\vec{β}| \text{συν}θ$ στο τετράγωνο:

$(\vec{α} \cdot \vec{β})^2 = (|\vec{α}| |\vec{β}| \text{συν}θ)^2 = |\vec{α}|^2 |\vec{β}|^2 \text{συν}^2θ$.

Επειδή $\text{συν}^2θ \le 1$, έχουμε $|\vec{α}|^2 |\vec{β}|^2 \text{συν}^2θ \le |\vec{α}|^2 |\vec{β}|^2$.

Γνωρίζοντας ότι $\vec{α}^2 = |\vec{α}|^2$ και $\vec{β}^2 = |\vec{β}|^2$, η ανισότητα γράφεται:

$(\vec{α} \cdot \vec{β})^2 \le \vec{α}^2 \vec{β}^2$.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\text{συν}^2θ = 1$, δηλαδή $\text{συν}θ = \pm 1$, που σημαίνει ότι $\vec{α} // \vec{β}$.

2. Εύρεση Γωνίας μεταξύ Συνδυασμών Διανυσμάτων

Έστω δύο διανύσματα $\vec{α}$ και $\vec{β}$ που έχουν μέτρα $|\vec{α}| = \sqrt{3}$, $|\vec{β}| = 1$ και σχηματίζουν γωνία $φ = \frac{π}{6}$. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων $\vec{x} = \vec{α} + \vec{β}$ και $\vec{y} = \vec{α} - \vec{β}$.

ΛΥΣΗ:

Αν $θ$ είναι η γωνία των $\vec{x}$ και $\vec{y}$, τότε $\text{συν}θ = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| |\vec{y}|}$. Αρκεί να υπολογίσουμε το $\vec{x} \cdot \vec{y}$ και τα μέτρα $|\vec{x}|, |\vec{y}|$.

• Υπολογισμός $\vec{x} \cdot \vec{y}$:
  $\vec{x} \cdot \vec{y} = (\vec{α} + \vec{β}) \cdot (\vec{α} - \vec{β})$
  $= \vec{α} \cdot \vec{α} - \vec{α} \cdot \vec{β} + \vec{β} \cdot \vec{α} - \vec{β} \cdot \vec{β}$
  $= \vec{α}^2 - \vec{β}^2$ (αφού $\vec{α} \cdot \vec{β} = \vec{β} \cdot \vec{α}$)
  $= |\vec{α}|^2 - |\vec{β}|^2 = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

• Υπολογισμός $|\vec{x}|^2$:
  $|\vec{x}|^2 = \vec{x}^2 = (\vec{α} + \vec{β})^2 = (\vec{α} + \vec{β}) \cdot (\vec{α} + \vec{β})$
  $= \vec{α}^2 + 2(\vec{α} \cdot \vec{β}) + \vec{β}^2$
  $= |\vec{α}|^2 + 2|\vec{α}||\vec{β}|\text{συν}φ + |\vec{β}|^2$
  $= (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(1)\text{συν}\frac{π}{6} + 1^2$
  $= 3 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 3 + 3 + 1 = 7$
  Άρα, $|\vec{x}| = \sqrt{7}$.

• Υπολογισμός $|\vec{y}|^2$:
  $|\vec{y}|^2 = \vec{y}^2 = (\vec{α} - \vec{β})^2 = (\vec{α} - \vec{β}) \cdot (\vec{α} - \vec{β})$
  $= \vec{α}^2 - 2(\vec{α} \cdot \vec{β}) + \vec{β}^2$
  $= |\vec{α}|^2 - 2|\vec{α}||\vec{β}|\text{συν}φ + |\vec{β}|^2$
  $= (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(1)\text{συν}\frac{π}{6} + 1^2$
  $= 3 - 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$
  Άρα, $|\vec{y}| = \sqrt{1} = 1$.

• Υπολογισμός $\text{συν}θ$:
  $\text{συν}θ = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| |\vec{y}|} = \frac{2}{\sqrt{7} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$

Επομένως, η γωνία $θ$ είναι τέτοια ώστε $\text{συν}θ = \frac{2\sqrt{7}}{7}$. (Αυτό αντιστοιχεί σε γωνία περίπου $41^\circ$). ✅