Σκέψου τα σαν "μαγικά βέλη" - τα λέμε διανύσματα.  Όταν τα κατανοήσεις, θα ανοίξεις την πόρτα για τον κόσμο των ευθειών και των αποστάσεων. Τώρα είναι η ώρα για την τελική πρόκληση. Μπες στο ρόλερ κόστερ, με κάθε κύκλο, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή να μοιάζουν με απότομες στροφές και ριψοκίνδυνα άλματα 🏹

Μαθηματικά Β' Λυκείου

# Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 📐

Ονομάζουμε **εσωτερικό γινόμενο** δύο μη μηδενικών διανυσμάτων \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\) τον πραγματικό αριθμό που συμβολίζουμε με \(\vec{a} \cdot \vec{β}\) και ισούται με:

\(\vec{a} \cdot \vec{β} = |\vec{a}| \cdot |\vec{β}| \cdot \text{συν}\phi\)

όπου \(\phi\) η γωνία των διανυσμάτων \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\).

Αν \(\vec{a} = \vec{0}\) ή \(\vec{β} = \vec{0}\), τότε ορίζουμε \(\vec{a} \cdot \vec{β} = 0\).

### **Παράδειγμα:** ✨

Για \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\) με \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{β}|=8\) και \(\phi = \frac{\pi}{3}\), το εσωτερικό γινόμενο είναι:

\(\vec{a} \cdot \vec{β} = 3 \cdot 8 \cdot \text{συν}\frac{\pi}{3} = 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12\).

# Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου 💡

Άμεσες συνέπειες του ορισμού του εσωτερικού γινομένου είναι οι εξής:

*   \(\vec{a} \cdot \vec{β} = \vec{β} \cdot \vec{a}\) (Αντιμεταθετική ιδιότητα)
*   Αν \(\vec{a} \perp \vec{β}\), τότε \(\vec{a} \cdot \vec{β} = 0\) και αντιστρόφως.
*   Αν \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{β}\), τότε \(\vec{a} \cdot \vec{β} = |\vec{a}| \cdot |\vec{β}|\) και αντιστρόφως.
*   Αν \(\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{β}\), τότε \(\vec{a} \cdot \vec{β} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{β}|\) και αντιστρόφως.

**Τετράγωνο Διανύσματος:** 🔢

Το εσωτερικό γινόμενο \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) συμβολίζεται με \(\vec{a}^2\) και λέγεται **τετράγωνο του \(\vec{a}\)**.

Έχουμε: \(\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \text{συν}0 = |\vec{a}|^2\).

Επομένως, \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2\).

## Εσωτερικό Γινόμενο Μοναδιαίων Διανυσμάτων 🎯

Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα \(\vec{i}\) και \(\vec{j}\) του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν:

*   \(\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{i} = 0\) (αφού είναι κάθετα)
*   \(\vec{i}^2 = |\vec{i}|^2 = 1\)
*   \(\vec{j}^2 = |\vec{j}|^2 = 1\)

# Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου 📝

Θα εκφράσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων \(\vec{a}=(x_1, y_1)\) και \(\vec{β}=(x_2, y_2)\) συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Με αρχή το \(O\), παίρνουμε τα διανύσματα \(\vec{OA} = \vec{a}\) και \(\vec{OΒ} = \vec{β}\). Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο \(OAΒ\) έχουμε την ισότητα:

\((AΒ)^2 = (OA)^2 + (Oβ)^2 - 2(OA)(OΒ)\text{συν}\widehat{AOΒ}\)

Η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία \(O, A, Β\) είναι συνευθειακά.

Όμως είναι:

\((AΒ)^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\)

\((OA)^2 = x_1^2 + y_1^2\)

\((OΒ)^2 = x_2^2 + y_2^2\)

Επομένως, έχουμε διαδοχικά:

\((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2(OA)(ΟΒ)\text{συν}\widehat{AOΒ}\)

\(x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2 + y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2(OA)(OΒ)\text{συν}\widehat{AOβ}\)

Και επειδή \((OA)(OΒ)\text{συν}\widehat{AOβ} = \vec{a} \cdot \vec{β}\), έχουμε τελικά:

\(\vec{a} \cdot \vec{β} = x_1 x_2 + y_1 y_2\)

Δηλαδή:

"Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους".

**Παράδειγμα:** 🧮

Για \(\vec{a}=(-3, 4)\) και \(\vec{β}=(2, -1)\) είναι:

\(\vec{a} \cdot \vec{β} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = -6 - 4 = -10\).

# Ιδιότητες & Συνημίτονο Γωνίας ➕➖✖️➗

Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου, αποδεικνύονται οι ιδιότητες:

*   \((\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b}) = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
*   \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{\gamma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{\gamma}\) (Επιμεριστική ιδιότητα)
*   Αν \(\vec{a} \perp \vec{b}\), τότε \(\lambda_1 \lambda_2 = -1\), όπου \(\lambda_1 = \frac{y_1}{x_1}\) και \(\lambda_2 = \frac{y_2}{x_2}\) (εφόσον \(\vec{a}, \vec{b} \not\parallel y'y\)).
    Πράγματι, αν \(\vec{a}=(x_1, y_1)\), \(\vec{b}=(x_2, y_2)\) και \(\vec{\gamma}=(x_3, y_3)\), τότε:
    *   \((\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = (\lambda x_1, \lambda y_1) \cdot (x_2, y_2) = (\lambda x_1)x_2 + (\lambda y_1)y_2 = \lambda(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
    *   \(\vec{a} \cdot (\lambda \vec{b}) = (x_1, y_1) \cdot (\lambda x_2, \lambda y_2) = x_1(\lambda x_2) + y_1(\lambda y_2) = \lambda(x_1x_2 + y_1y_2) = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
    Άρα, \((\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b}) = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
    *   \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{\gamma}) = (x_1, y_1) \cdot (x_2+x_3, y_2+y_3) = x_1(x_2+x_3) + y_1(y_2+y_3)\)
        \(= x_1x_2 + x_1x_3 + y_1y_2 + y_1y_3 = (x_1x_2 + y_1y_2) + (x_1x_3 + y_1y_3)\)
        \(= \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{\gamma}\)
*   \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0 \Leftrightarrow y_1y_2 = -x_1x_2 \Leftrightarrow \frac{y_1}{x_1} \frac{y_2}{x_2} = -1 \Leftrightarrow \lambda_1 \lambda_2 = -1\)

**Συνημίτονο Γωνίας Δύο Διανυσμάτων:** 📐

Αν \(\vec{a}=(x_1, y_1)\) και \(\vec{b}=(x_2, y_2)\) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία \(\theta\), τότε από τον ορισμό \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\text{συν}\theta\) έχουμε:

\(\text{συν}\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)

Είναι όμως \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\), \(|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\) και \(|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}\).

Επομένως:
\(\text{συν}\theta = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)

**Παράδειγμα:** 🤓

Αν \(\theta\) είναι η γωνία των διανυσμάτων \(\vec{a}=(1, 2)\) και \(\vec{b}=(3, 1)\), τότε:

\(\text{συν}\theta = \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2} \sqrt{3^2+1^2}} = \frac{3+2}{\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Οπότε \(\theta = \frac{\pi}{4}\).

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 (i): Ανισότητα Εσωτερικού Γινομένου 🤔

**Ερώτηση:** Αν \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\) είναι δύο διανύσματα του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι:
(i) \(|\vec{a} \cdot \vec{β}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{β}|\)
Πότε ισχύει η ισότητα;

**Απόδειξη (i):**

Αν \(\theta\) είναι η γωνία των διανυσμάτων \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\), τότε έχουμε:

\(\vec{a} \cdot \vec{β} = |\vec{a}| \cdot |\vec{β}| \cdot \text{συν}\theta\)

Παίρνοντας τις απόλυτες τιμές και των δύο μελών, έχουμε:

\(|\vec{a} \cdot \vec{β}| = ||\vec{a}| \cdot |\vec{β}| \cdot \text{συν}\theta|\)

\(|\vec{a} \cdot \vec{β}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{β}| \cdot |\text{συν}\theta|\) (αφού \(|\vec{a}| \ge 0\) και \(|\vec{β}| \ge 0\))

Επειδή \(|\text{συν}\theta| \le 1\), έχουμε:

\(|\vec{a}| \cdot |\vec{β}| \cdot |\text{συν}\theta| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{β}| \cdot 1\)

Άρα, \(|\vec{a} \cdot \vec{β}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{β}|\). ✅

Η ισότητα ισχύει όταν \(|\text{συν}\theta| = 1\), δηλαδή, όταν \(\text{συν}\theta = 1\) ή \(\text{συν}\theta = -1\). Αυτό συμβαίνει όταν τα διανύσματα \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\) είναι **συγγραμμικά** (\(\vec{a} // \vec{β}\)), δηλαδή ίδιας ή αντίθετης κατεύθυνσης. ↕️

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 (ii): Ανισότητα Cauchy-Schwarz-βuniakowski 🤔

**Ερώτηση:** Αν \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\) είναι δύο διανύσματα του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι:
(ii) \((\vec{a} \cdot \vec{β})^2 \le \vec{a}^2 \vec{β}^2\)
Πότε ισχύει η ισότητα;

**Απόδειξη (ii):**

Από το (i) έχουμε την ανισότητα:
\(|\vec{a} \cdot \vec{β}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{β}|\)

Υψώνοντας και τα δύο μη αρνητικά μέλη στο τετράγωνο, παίρνουμε:
\(|\vec{a} \cdot \vec{β}|^2 \le (|\vec{a}| \cdot |\vec{β}|)^2\)
\((\vec{a} \cdot \vec{β})^2 \le |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{β}|^2\)

Επειδή \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2\) και \(\vec{β}^2 = |\vec{β}|^2\), η ανισότητα γράφεται:
\((\vec{a} \cdot \vec{β})^2 \le \vec{a}^2 \vec{β}^2\) ✅

Η ισότητα ισχύει, όπως και στην περίπτωση (i), μόνο όταν τα διανύσματα \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\) είναι **συγγραμμικά** (\(\vec{a} // \vec{β}\)). ↕️

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Γωνία Μεταξύ Διανυσμάτων 📐➕➖

**Ερώτηση:** Έστω δύο διανύσματα \(\vec{a}\) και \(\vec{b}\) που έχουν μέτρα \(|\vec{a}| = \sqrt{3}\), \(|\vec{b}| = 1\) και σχηματίζουν γωνία \(\phi = \frac{\pi}{6}\). Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων \(\vec{x} = \vec{a} + \vec{b}\) και \(\vec{y} = \vec{a} - \vec{b}\).

**Λύση:**

Αν \(\theta\) είναι η γωνία των \(\vec{x}\) και \(\vec{y}\), τότε \(\text{συν}\theta = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| |\vec{y}|}\). Αρκεί, επομένως, να υπολογίσουμε το \(\vec{x} \cdot \vec{y}\) και τα μέτρα \(|\vec{x}|\), \(|\vec{y}|\).

*   **Υπολογισμός \(\vec{x} \cdot \vec{y}\):**

    \(\vec{x} \cdot \vec{y} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}^2 - \vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2\).

*   **Υπολογισμός \(|\vec{x}|^2\):**

    \(|\vec{x}|^2 = \vec{x}^2 = (\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + 2\vec{a}\vec{b}\)

    \(= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\text{συν}\phi\)

    \(= (\sqrt{3})^2 + 1^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \text{συν}\frac{\pi}{6}\)

    \(= 3 + 1 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 + 3 = 7\).

    Άρα, \(|\vec{x}| = \sqrt{7}\).

*   **Υπολογισμός \(|\vec{y}|^2\):**

    \(|\vec{y}|^2 = \vec{y}^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a}\vec{b}\)

    \(= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\text{συν}\phi\)

    \(= (\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \text{συν}\frac{\pi}{6}\)

    \(= 3 + 1 - 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 - 3 = 1\).

    Άρα, \(|\vec{y}| = \sqrt{1} = 1\).

*   **Υπολογισμός \(\text{συν}\theta\):**

    \(\text{συν}\theta = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| |\vec{y}|} = \frac{2}{\sqrt{7} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}\).

Οπότε η γωνία \(\theta\) είναι τέτοια ώστε \(\text{συν}\theta = \frac{2\sqrt{7}}{7}\) (περίπου \(41^\circ\)). 🎉

01. Βασική Θεωρία

Πώς ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των μέτρων τους και του συνημιτόνου της γωνίας τους.

Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου

Οι βασικές ιδιότητες που προκύπτουν απευθείας από τον ορισμό, όπως η καθετότητα, η ομόρροπη και η αντίρροπη περίπτωση.

Άμεσες Συνέπειες του Ορισμού

Γιατί το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του ισούται με το τετράγωνο του μέτρου του.

Τετράγωνο Διανύσματος

Πώς υπολογίζεται το εσωτερικό γινόμενο όταν τα διανύσματα δίνονται με τις συντεταγμένες τους.

Αναλυτική Έκφραση με Συντεταγμένες

Οι ιδιότητες που αποδεικνύονται μέσω της αναλυτικής έκφρασης, καθώς και το κριτήριο καθετότητας με συντεταγμένες.

Ιδιότητες με Χρήση Συντεταγμένων

Ο τύπος που δίνει το συνημίτονο της γωνίας δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, με λυμένο παράδειγμα.

Συνημίτονο Γωνίας Δύο Διανυσμάτων

Απόδειξη δύο βασικών ανισοτήτων που συνδέουν το εσωτερικό γινόμενο με τα μέτρα των διανυσμάτων, και πότε ισχύει η ισότητα.

Ανισότητες Εσωτερικού Γινομένου

Εφαρμογή όπου υπολογίζεται η γωνία μεταξύ αθροίσματος και διαφοράς δύο διανυσμάτων με δεδομένα μέτρα και γωνία.

Γωνία Συνδυασμών Διανυσμάτων

# Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 📐

Το **εσωτερικό γινόμενο** δύο μη μηδενικών διανυσμάτων \(\vec{α}\) και \(\vec{β}\) είναι ο πραγματικός αριθμός \(\vec{α} \cdot \vec{β} = |\vec{α}| \cdot |\vec{β}| \cdot \text{συν}φ\), όπου \(φ\) η γωνία τους· αν κάποιο διάνυσμα είναι μηδενικό, το γινόμενο ορίζεται 0. Από τον ορισμό προκύπτουν άμεσα οι βασικές ιδιότητες: είναι αντιμεταθετικό (\(\vec{α} \cdot \vec{β} = \vec{β} \cdot \vec{α}\)), μηδενίζεται ακριβώς όταν τα διανύσματα είναι :tooltip[κάθετα]{content="Δύο διανύσματα είναι κάθετα αν η γωνία μεταξύ τους είναι 90 μοίρες."}, ισούται με \(|\vec{α}| \cdot |\vec{β}|\) όταν είναι ομόρροπα και με \(-|\vec{α}| \cdot |\vec{β}|\) όταν είναι αντίρροπα. Ιδιαίτερη περίπτωση είναι το **τετράγωνο** ενός διανύσματος, \(\vec{α}^2 = |\vec{α}|^2\), που προκύπτει επειδή η γωνία ενός διανύσματος με τον εαυτό του είναι 0.

Όταν τα διανύσματα δίνονται με συντεταγμένες, \(\vec{α} = (x_1, y_1)\) και \(\vec{β} = (x_2, y_2)\), το εσωτερικό γινόμενο υπολογίζεται με την **αναλυτική έκφραση** \(\vec{α} \cdot \vec{β} = x_1x_2 + y_1y_2\) — το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων. Από αυτήν προκύπτουν οι ιδιότητες \((\lambda \vec{α}) \cdot \vec{β} = \lambda(\vec{α} \cdot \vec{β})\) και η επιμεριστική \(\vec{α} \cdot (\vec{β} + \vec{γ}) = \vec{α} \cdot \vec{β} + \vec{α} \cdot \vec{γ}\), καθώς και το κριτήριο καθετότητας \(\vec{α} \perp \vec{β} \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0\), που ισοδυναμεί με \(λ_1 λ_2 = -1\) για τους :tooltip[συντελεστές διεύθυνσης]{content="Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος (x, y) είναι ο λόγος λ = y/x, για x ≠ 0."} των δύο διανυσμάτων (όταν ορίζονται). Συνδυάζοντας τον γεωμετρικό ορισμό με την αναλυτική έκφραση προκύπτει ο τύπος για το **συνημίτονο της γωνίας** δύο διανυσμάτων:

\[
\text{συν}θ = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}
\]

:::fact{title="Γιατί ισχύει ο τύπος με τις συντεταγμένες"}
Η αναλυτική έκφραση \(\vec{α} \cdot \vec{β} = x_1x_2 + y_1y_2\) αποδεικνύεται με τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο που σχηματίζουν τα διανύσματα — έτσι ο γεωμετρικός ορισμός «συναντά» την Άλγεβρα.
:::

:::alert{title="Προσοχή στην ισότητα των ανισοτήτων"}
Ισχύουν οι σημαντικές ανισότητες \(|\vec{α} \cdot \vec{β}| \le |\vec{α}||\vec{β}|\) και \((\vec{α} \cdot \vec{β})^2 \le \vec{α}^2 \vec{β}^2\), αλλά η ισότητα σε αυτές ισχύει **μόνο** όταν τα διανύσματα είναι παράλληλα (\(\vec{α} // \vec{β}\)) — μην το ξεχνάς όταν εξετάζεις πότε «κλείνει» η ανισότητα.
:::


Μαθηματικά Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία