Συντεταγμένες στο Επίπεδο 🗺️

Άξονας 📏

Πάνω σε μια ευθεία $x'x$ διαλέγουμε δύο σημεία Ο (αρχή) και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα $\vec{OI}$ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. Το $\vec{OI}$ το συμβολίζουμε με $\vec{i}$ και λέμε ότι ο $x'x$ είναι ένας άξονας με αρχή το O και μοναδιαίο διάνυσμα το $\vec{i}$.

Η ημιευθεία Ox λέγεται θετικός ημιάξονας (+), ενώ η Ox' λέγεται αρνητικός ημιάξονας (-).

Για κάθε σημείο M πάνω στον άξονα $x'x$, το διάνυσμα $\vec{OM}$ είναι παράλληλο στο $\vec{i}$ ($\vec{OM} // \vec{i}$). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός $x$ τέτοιος ώστε $\vec{OM} = x \cdot \vec{i}$.

Ο αριθμός $x$ ονομάζεται τετμημένη του σημείου M. Κάθε πραγματικός αριθμός $x$ αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό σημείο M του άξονα. Συμβολίζουμε το σημείο με M(x).

Καρτεσιανό Επίπεδο 🗺️

Σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες $x'x$ και $y'y$ με κοινή αρχή O. Παίρνουμε τα μοναδιαία διανύσματα $\vec{i}$ στον $x'x$ και $\vec{j}$ στον $y'y$. Αυτό το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλά σύστημα συντεταγμένων και το συμβολίζουμε Oxy. Είναι ορθογώνιο (οι άξονες είναι κάθετοι) και κανονικό (τα $\vec{i}$ και $\vec{j}$ είναι μοναδιαία, δηλαδή $|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1$).

Για κάθε σημείο M στο επίπεδο Oxy:

1. Φέρνουμε την παράλληλη στον $y'y$ από το M, που τέμνει τον $x'x$ στο $M_1$.
2. Φέρνουμε την παράλληλη στον $x'x$ από το M, που τέμνει τον $y'y$ στο $M_2$.

Αν $x$ είναι η τετμημένη του $M_1$ στον άξονα $x'x$ και $y$ είναι η τετμημένη του $M_2$ στον άξονα $y'y$, τότε:

• $x$ λέγεται τετμημένη του M.
• $y$ λέγεται τεταγμένη του M.

Οι αριθμοί $x$ και $y$ λέγονται συντεταγμένες του M. Κάθε σημείο M αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό ζεύγος συντεταγμένων (x, y) και αντίστροφα. Συμβολίζουμε το σημείο με M(x, y) ή απλά (x, y).

Συντεταγμένες Διανύσματος ➡️

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων και $\vec{a}$ ένα διάνυσμα. Με αρχή το O, σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\vec{OA} = \vec{a}$. Αν $A_1, A_2$ είναι οι προβολές του A στους άξονες $x'x$ και $y'y$ αντίστοιχα, τότε:

$\vec{OA} = \vec{OA_1} + \vec{OA_2}$ (1)

Αν $x, y$ είναι οι συντεταγμένες του σημείου A, τότε $\vec{OA_1} = x\vec{i}$ και $\vec{OA_2} = y\vec{j}$. Από την (1) γράφεται:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$

Αυτό δείχνει ότι κάθε διάνυσμα $\vec{a}$ γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των $\vec{i}$ και $\vec{j}$.

Μοναδικότητα: Η έκφραση $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$ είναι μοναδική. Αν υποθέσουμε ότι $\vec{a} = x'\vec{i} + y'\vec{j}$, τότε $x\vec{i} + y\vec{j} = x'\vec{i} + y'\vec{j}$, που οδηγεί σε $(x-x')\vec{i} = (y'-y)\vec{j}$. Επειδή τα $\vec{i}$ και $\vec{j}$ δεν είναι συγγραμμικά (παράλληλα), η μόνη λύση είναι $x-x' = 0$ και $y'-y = 0$, δηλαδή $x=x'$ και $y=y'$.

Συμπέρασμα: Κάθε διάνυσμα $\vec{a}$ του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$.

Οι αριθμοί $x$ και $y$ λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος $\vec{a}$.

• $x$ λέγεται τετμημένη του $\vec{a}$.
• $y$ λέγεται τεταγμένη του $\vec{a}$.

Συμβολίζουμε το διάνυσμα με $\vec{a} = (x, y)$.

Ισότητα Διανυσμάτων: Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.

Αν $\vec{a}=(x_1, y_1)$ και $\vec{b}=(x_2, y_2)$, τότε $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow x_1=x_2 \text{ και } y_1=y_2$.

Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων ➕➖✖️

Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων $\vec{a} = (x_1, y_1)$ και $\vec{b} = (x_2, y_2)$, μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του αθροίσματος $\vec{a} + \vec{b}$, του γινομένου $\lambda\vec{a}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$) και γενικά κάθε γραμμικού συνδυασμού των $\vec{a}$ και $\vec{b}$.

• Άθροισμα: $\vec{a} + \vec{b} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j}) + (x_2\vec{i} + y_2\vec{j}) = (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j}$
  Άρα, $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
• Βαθμωτό Γινόμενο: $\lambda\vec{a} = \lambda(x_1\vec{i} + y_1\vec{j}) = (\lambda x_1)\vec{i} + (\lambda y_1)\vec{j}$
  Άρα, $\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$

Γενικός Γραμμικός Συνδυασμός: $\lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$
$\lambda\vec{a} + \mu\vec{b} = (\lambda x_1, \lambda y_1) + (\mu x_2, \mu y_2) = (\lambda x_1 + \mu x_2, \lambda y_1 + \mu y_2)$

Παράδειγμα: Για $\vec{a} = (1, -1)$ και $\vec{b} = (1, 2)$:

• $\vec{a} + \vec{b} = (1+1, -1+2) = (2, 1)$ 👍
• $2\vec{a} = 2(1, -1) = (2, -2)$
• $\vec{a} - \vec{b} = (1, -1) - (1, 2) = (1-1, -1-2) = (0, -3)$
• $2\vec{a} - \vec{b} = 2(1, -1) - (1, 2) = (2, -2) - (1, 2) = (2-1, -2-2) = (1, -4)$

Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος 📍

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$. Αν $M(x, y)$ είναι το μέσο του τμήματος AB, τότε ισχύει $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$.

Επειδή $\vec{OM} = (x, y)$, $\vec{OA} = (x_1, y_1)$ και $\vec{OB} = (x_2, y_2)$, έχουμε:

$(x, y) = \frac{1}{2}[(x_1, y_1) + (x_2, y_2)] = \frac{1}{2}(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Επομένως, οι συντεταγμένες του μέσου M είναι:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$ και $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα ↔️

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$. Οι συντεταγμένες $(x, y)$ του διανύσματος $\vec{AB}$ δίνονται από τη σχέση $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$.

Επειδή $\vec{AB} = (x, y)$, $\vec{OA} = (x_1, y_1)$ και $\vec{OB} = (x_2, y_2)$, έχουμε:

$(x, y) = (x_2, y_2) - (x_1, y_1) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

Επομένως, οι συντεταγμένες του $\vec{AB}$ είναι:

$x = x_2 - x_1$ (τετμημένη του τέλους - τετμημένη της αρχής)

$y = y_2 - y_1$ (τεταγμένη του τέλους - τεταγμένη της αρχής)

Παράδειγμα: Το διάνυσμα $\vec{AB}$ με αρχή A(1, 2) και πέρας B(3, 7) έχει συντεταγμένες:

$x = 3 - 1 = 2$

$y = 7 - 2 = 5$

Δηλαδή, $\vec{AB} = (2, 5)$.

Μέτρο Διανύσματος 📏

Έστω $\vec{a} = (x, y)$ ένα διάνυσμα. Θεωρούμε το σημείο $A(x, y)$ τέτοιο ώστε $\vec{OA} = \vec{a}$. Αν $A_1, A_2$ είναι οι προβολές του Α στους άξονες, τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο $OA_1A$ έχουμε:

$(OA)^2 = (OA_1)^2 + (A_1A)^2 = (OA_1)^2 + (OA_2)^2 = |x|^2 + |y|^2 = x^2 + y^2$

Επειδή $|\vec{a}| = (OA)$, προκύπτει $|\vec{a}|^2 = x^2 + y^2$.

Επομένως, το μέτρο του διανύσματος $\vec{a} = (x, y)$ είναι:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Παράδειγμα: Αν $\vec{a} = (5, 12)$, τότε $|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Απόσταση Σημείων 📐

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$. Η απόσταση (AB) των σημείων A και B είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος $\vec{AB}$.

Επειδή $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$, σύμφωνα με τον τύπο του μέτρου, έχουμε:

$(AB) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Παράδειγμα: Η απόσταση των σημείων A(2, -7) και B(5, -3) είναι:

$(AB) = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-3 - (-7))^2} = \sqrt{3^2 + (-3 + 7)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 💡

1. Κορυφές Παραλληλογράμμου

Αν A(-2, 1) και B(1, 4) είναι οι δύο κορυφές του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και K(2, -3) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ.

ΛΥΣΗ:
Έστω Γ($x_1, y_1$) και Δ($x_2, y_2$). Επειδή το Κ είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου, είναι το μέσο των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ.

• Για το μέσο Κ της ΑΓ:
  $\frac{x_1 + (-2)}{2} = 2 \Rightarrow x_1 - 2 = 4 \Rightarrow x_1 = 6$
  $\frac{y_1 + 1}{2} = -3 \Rightarrow y_1 + 1 = -6 \Rightarrow y_1 = -7$
  Άρα, Γ(6, -7).
• Για το μέσο Κ της ΒΔ:
  $\frac{x_2 + 1}{2} = 2 \Rightarrow x_2 + 1 = 4 \Rightarrow x_2 = 3$
  $\frac{y_2 + 4}{2} = -3 \Rightarrow y_2 + 4 = -6 \Rightarrow y_2 = -10$
  Άρα, Δ(3, -10).

2. Συντεταγμένες Κέντρου Βάρους Τριγώνου

Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του.

ΛΥΣΗ:
Έστω $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $Γ(x_3, y_3)$ οι κορυφές και G(x, y) το κέντρο βάρους. Ισχύει η σχέση:

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OΓ}}{3}$

Μετατρέποντας σε συντεταγμένες:

$(x, y) = \frac{(x_1, y_1) + (x_2, y_2) + (x_3, y_3)}{3} = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$

Άρα, οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G είναι:

$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ και $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων ⏸️

Έστω $\vec{a} = (x_1, y_1)$ και $\vec{b} = (x_2, y_2)$ δύο διανύσματα.

Τα διανύσματα είναι παράλληλα, $\vec{a} // \vec{b}$, αν και μόνο αν υπάρχει $\lambda \in \mathbb{R}$ τέτοιος, ώστε $\vec{a} = \lambda\vec{b}$.

Σε συντεταγμένες: $(x_1, y_1) = \lambda(x_2, y_2) = (\lambda x_2, \lambda y_2)$.

Αυτό ισοδυναμεί με το σύστημα: $x_1 = \lambda x_2$ και $y_1 = \lambda y_2$.

Αν $\vec{b} \neq \vec{0}$, η παραλληλία $\vec{a} // \vec{b}$ είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη:

$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$

Αυτή η παράσταση γράφεται και με τη μορφή ορίζουσας:

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = 0$

Η ορίζουσα $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}$ λέγεται ορίζουσα των διανυσμάτων $\vec{a}$ και $\vec{b}$ και συμβολίζεται με $\det(\vec{a}, \vec{b})$.

Συνθήκη Παραλληλίας: $\vec{a} // \vec{b} \Leftrightarrow \det(\vec{a}, \vec{b}) = 0$

Παραδείγματα:

1. $\vec{a} = (\sqrt{3}, -1)$ και $\vec{b} = (3, -\sqrt{3})$
   $\det(\vec{a}, \vec{b}) = \begin{vmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 3 & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = \sqrt{3}(-\sqrt{3}) - (-1)(3) = -3 + 3 = 0$. Άρα $\vec{a} // \vec{b}$. ✅
2. $\vec{a} = (2, 3)$ και $\vec{b} = (-1, 2)$
   $\det(\vec{a}, \vec{b}) = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2) - 3(-1) = 4 + 3 = 7 \neq 0$. Άρα τα $\vec{a}$ και $\vec{b}$ δεν είναι παράλληλα. ❌

Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος ↗️

Έστω $\vec{a} = (x, y)$ ένα μη μηδενικό διάνυσμα και $\varphi$ η γωνία που σχηματίζει το $\vec{a}$ με τον θετικό ημιάξονα Ox ($0 \le \varphi < 2\pi$).

Αν το $\vec{a}$ δεν είναι παράλληλο στον άξονα $y'y$ (δηλαδή $x \neq 0$), τότε από την Τριγωνομετρία ισχύει:

$\tan \varphi = \frac{y}{x}$

Ο λόγος $\lambda = \frac{y}{x}$ λέγεται συντελεστής διεύθυνσης του $\vec{a}$ και συμβολίζεται με $\lambda_{\vec{a}}$. Επομένως:

$\lambda = \tan \varphi$

Παραλληλία και Συντελεστής Διεύθυνσης:

Ας θεωρήσουμε δύο διανύσματα $\vec{a} = (x_1, y_1)$ και $\vec{b} = (x_2, y_2)$ με συντελεστές διεύθυνσης $\lambda_1$ και $\lambda_2$ αντίστοιχα (υποθέτουμε ότι ορίζονται, δηλ. $x_1 \neq 0$ και $x_2 \neq 0$).

Έχουμε δει ότι $\vec{a} // \vec{b} \Leftrightarrow x_1 y_2 = x_2 y_1$.

Αφού $x_1 x_2 \neq 0$, μπορούμε να διαιρέσουμε:

$\frac{y_2}{x_2} = \frac{y_1}{x_1} \Leftrightarrow \lambda_2 = \lambda_1$

Συμπέρασμα: Αν δύο μη μηδενικά διανύσματα $\vec{a}$ και $\vec{b}$ δεν είναι παράλληλα στον άξονα $y'y$, τότε είναι παράλληλα μεταξύ τους αν και μόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι ίσοι.

$\vec{a} // \vec{b} \Leftrightarrow \lambda_1 = \lambda_2$

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 💡

Συνευθειακά Σημεία

Να βρεθούν οι τιμές του $\mu \in \mathbb{R}$ για τις οποίες τα σημεία A(1, 0), B($\mu^2$, 3) και Γ(-5$\mu$, 9) είναι συνευθειακά.

ΛΥΣΗ:
Τα σημεία A, B, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν τα διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{AΓ}$ είναι παράλληλα.

Υπολογίζουμε τα διανύσματα:

$\vec{AB} = (\mu^2 - 1, 3 - 0) = (\mu^2 - 1, 3)$

$\vec{AΓ} = (-5\mu - 1, 9 - 0) = (-5\mu - 1, 9)$

Η συνθήκη παραλληλίας είναι $\det(\vec{AB}, \vec{AΓ}) = 0$:

$\begin{vmatrix} \mu^2 - 1 & 3 \\ -5\mu - 1 & 9 \end{vmatrix} = 0$

$9(\mu^2 - 1) - 3(-5\mu - 1) = 0$

$9\mu^2 - 9 + 15\mu + 3 = 0$

$9\mu^2 + 15\mu - 6 = 0$

Διαιρούμε με 3:

$3\mu^2 + 5\mu - 2 = 0$

Λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση:

Διακρίνουσα $\Delta = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49$

Ρίζες: $\mu = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-5 \pm 7}{6}$

$\mu_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$\mu_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά για $\mu = \frac{1}{3}$ ή $\mu = -2$. 🎉