Σκέψου τα σαν "μαγικά βέλη" - τα λέμε διανύσματα.  Όταν τα κατανοήσεις, θα ανοίξεις την πόρτα για τον κόσμο των ευθειών και των αποστάσεων. Τώρα είναι η ώρα για την τελική πρόκληση. Μπες στο ρόλερ κόστερ, με κάθε κύκλο, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή να μοιάζουν με απότομες στροφές και ριψοκίνδυνα άλματα 🏹

Μαθηματικά Β' Λυκείου

# Άξονας 📏

Πάνω σε μια ευθεία \(x'x\) επιλέγουμε δύο σημεία \(O\) (αρχή) και \(I\), έτσι ώστε το διάνυσμα \(\vec{OI}\) να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία \(Ox\).

Λέμε τότε ότι έχουμε έναν **άξονα** με αρχή το \(O\) και μοναδιαίο διάνυσμα το \(\vec{OI} = \vec{i}\) και τον συμβολίζουμε με \(x'x\).

  - Η ημιευθεία \(Ox\) λέγεται **θετικός ημιάξονας** (+).
  - Η ημιευθεία \(Ox'\) λέγεται **αρνητικός ημιάξονας** (-).

Για κάθε σημείο \(M\) του άξονα \(x'x\), υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός \(x\) τέτοιος ώστε \(\vec{OM} = x \cdot \vec{i}\). Ο αριθμός \(x\) ονομάζεται **τετμημένη** του σημείου \(M\).

Συμβολίζουμε το σημείο με \(M(x)\). Κάθε πραγματικός αριθμός \(x\) αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο \(M\) του άξονα.

# Καρτεσιανό Επίπεδο 

Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) με κοινή αρχή \(O\) και μοναδιαία διανύσματα \(\vec{i}\) και \(\vec{j}\) αντίστοιχα στους θετικούς ημιάξονες \(Ox\) και \(Oy\).

Λέμε τότε ότι έχουμε ένα **ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων** στο επίπεδο ή απλούστερα ένα **σύστημα συντεταγμένων** στο επίπεδο ή ακόμα ένα **καρτεσιανό επίπεδο** και το συμβολίζουμε με \(Oxy\).

Το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό, γιατί οι άξονες είναι κάθετοι και τα \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) είναι ισομήκη (συνήθως μήκους 1).

Για κάθε σημείο \(M\) στο επίπεδο:
  - Φέρνουμε την παράλληλη προς τον \(y'y\) που τέμνει τον \(x'x\) στο \(M_1\).
  - Φέρνουμε την παράλληλη προς τον \(x'x\) που τέμνει τον \(y'y\) στο \(M_2\).

Αν \(x\) είναι η τετμημένη του \(M_1\) στον άξονα \(x'x\) και \(y\) είναι η τετμημένη του \(M_2\) στον άξονα \(y'y\), τότε:
  - Το \(x\) λέγεται **τετμημένη** του \(M\).
  - Το \(y\) λέγεται **τεταγμένη** του \(M\).

Η τετμημένη \(x\) και η τεταγμένη \(y\) λέγονται **συντεταγμένες** του \(M\). Κάθε σημείο \(M\) αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό ζεύγος συντεταγμένων \((x, y)\) και αντίστροφα.

Συμβολίζουμε το σημείο \(M\) με \(M(x, y)\) ή απλά με \((x, y)\). ✨

# Συντεταγμένες Διανύσματος 🧭

Έστω \(Oxy\) ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και \(\vec{a}\) ένα διάνυσμα. Με αρχή το \(O\) σχεδιάζουμε το διάνυσμα \(\vec{OA} = \vec{a}\). Αν \(A_1\) και \(A_2\) είναι οι προβολές του \(A\) στους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) αντιστοίχως, έχουμε:

\(\vec{OA} = \vec{OA_1} + \vec{OA_2}\)

Αν \((x, y)\) είναι οι συντεταγμένες του \(A\), τότε ισχύει \(\vec{OA_1} = x\vec{i}\) και \(\vec{OA_2} = y\vec{j}\). Επομένως, η παραπάνω ισότητα γράφεται:

\(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}\)

Αποδείξαμε δηλαδή ότι το \(\vec{a}\) είναι **γραμμικός συνδυασμός** των \(\vec{i}\) και \(\vec{j}\).

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση του \(\vec{a}\) ως γραμμικού συνδυασμού των \(\vec{i}\) και \(\vec{j}\) είναι **μοναδική**.

Κάθε διάνυσμα \(\vec{a}\) του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}\).

Τα διανύσματα \(x\vec{i}\) και \(y\vec{j}\) λέγονται **συνιστώσες** του διανύσματος \(\vec{a}\) κατά τη διεύθυνση των \(\vec{i}\) και \(\vec{j}\) αντιστοίχως.

Οι αριθμοί \(x\) και \(y\) λέγονται **συντεταγμένες** του \(\vec{a}\) στο σύστημα \(Oxy\).
  - \(x\): **τετμημένη** του \(\vec{a}\)
  - \(y\): **τεταγμένη** του \(\vec{a}\)

Συμβολίζουμε το διάνυσμα και ως \(\vec{a} = (x, y)\).

# Ισότητα Διανυσμάτων 🤝

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.

Δηλαδή, αν \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) και \(\vec{β} = (x_2, y_2)\), τότε:
\(\vec{a} = \vec{β} \iff x_1 = x_2 \text{ και } y_1 = y_2\)

Κάθε ζεύγος \((x, y)\) αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό διάνυσμα \(\vec{a} = (x, y)\).

# Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων ➕➖✖️

Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) και \(\vec{β} = (x_2, y_2)\) δύο διανυσμάτων του καρτεσιανού επιπέδου, μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του αθροίσματος \(\vec{a} + \vec{β}\), του γινομένου \(\lambda \vec{a}\), \(\lambda \in \mathbb{R}\) και γενικά κάθε γραμμικού συνδυασμού των \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\).

Έχουμε:
  - \(\vec{a} + \vec{β} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j}) + (x_2\vec{i} + y_2\vec{j}) = (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j}\)
  - \(\lambda \vec{a} = \lambda(x_1\vec{i} + y_1\vec{j}) = (\lambda x_1)\vec{i} + (\lambda y_1)\vec{j}\)

Επομένως:
  - \(\vec{a} + \vec{β} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)
  - \(\lambda \vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)\)

Γενικότερα, για το γραμμικό συνδυασμό \(\lambda \vec{a} + \mu \vec{β}\) έχουμε:
\(\lambda \vec{a} + \mu \vec{β} = (\lambda x_1, \lambda y_1) + (\mu x_2, \mu y_2) = (\lambda x_1 + \mu x_2, \lambda y_1 + \mu y_2)\)

**Παράδειγμα:**
Αν \(\vec{a} = (1, -1)\) και \(\vec{β} = (1, 2)\), τότε
  - \(\vec{a} + \vec{β} = (1, -1) + (1, 2) = (1+1, -1+2) = (2, 1)\)
  - \(2\vec{a} = 2(1, -1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot (-1)) = (2, -2)\)
  - \(\vec{a} - \vec{β} = (1, -1) - (1, 2) = (1-1, -1-2) = (0, -3)\)
  - \(2\vec{a} - \vec{β} = 2(1, -1) - (1, 2) = (2, -2) + (-1, -2) = (2-1, -2-2) = (1, -4)\)

# Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος 📍

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία \(A(x_1, y_1)\) και \(B(x_2, y_2)\) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι \((x, y)\) είναι οι συντεταγμένες του μέσου \(M\) του \(AB\).

Επειδή \(\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\) και

\(\vec{OM} = (x, y)\), \(\vec{OA} = (x_1, y_1)\), \(\vec{OB} = (x_2, y_2)\),

έχουμε:

\((x, y) = \frac{1}{2}[(x_1, y_1) + (x_2, y_2)] = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})\)

Επομένως, ισχύει:

\(x = \frac{x_1 + x_2}{2}\) και \(y = \frac{y_1 + y_2}{2}\)

Οι συντεταγμένες \((x, y)\) του μέσου \(M\) ενός ευθύγραμμου τμήματος με άκρα \(A(x_1, y_1)\) και \(B(x_2, y_2)\) δίνονται από τους τύπους:

\(x = \frac{x_1 + x_2}{2}\) και \(y = \frac{y_1 + y_2}{2}\)

# Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα ↔️

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία \(A(x_1, y_1)\) και \(B(x_2, y_2)\) του καρτεσιανού επιπέδου και ότι \((x, y)\) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος \(\vec{AB}\).

Επειδή \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}\), όπου \(\vec{AB} = (x, y)\), \(\vec{OB} = (x_2, y_2)\), και \(\vec{OA} = (x_1, y_1)\), έχουμε:

\((x, y) = (x_2, y_2) - (x_1, y_1) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)

Επομένως:

Οι συντεταγμένες \((x, y)\) του διανύσματος \(\vec{AB}\) με άκρα τα σημεία \(A(x_1, y_1)\) και \(B(x_2, y_2)\) δίνονται από τις σχέσεις:

\(x = x_2 - x_1\) και \(y = y_2 - y_1\)


**Παράδειγμα:**
Το διάνυσμα \(\vec{AB}\) με αρχή το \(A(1, 2)\) και πέρας το \(B(3, 7)\) έχει συντεταγμένες \(x = 3 - 1 = 2\) και \(y = 7 - 2 = 5\).

Δηλαδή είναι ίσο με το \(\vec{a} = (2, 5)\).

# Μέτρο Διανύσματος 📏

Έστω \(\vec{a} = (x, y)\) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και \(A(x, y)\) το σημείο με διανυσματική ακτίνα \(\vec{OA} = \vec{a}\). Αν \(A_1\) και \(A_2\) είναι οι προβολές του \(A\) στους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) αντιστοίχως, τότε επειδή το σημείο \(A\) έχει τετμημένη \(x\) και τεταγμένη \(y\), θα ισχύει \((OA_1) = |x|\) και \((OA_2) = |y|\).

Από το ορθογώνιο τρίγωνο \(OA_1A\), έχουμε:

\(|\vec{a}|^2 = |\vec{OA}|^2 = (OA_1)^2 + (A_1A)^2 = (OA_1)^2 + (OA_2)^2 = |x|^2 + |y|^2 = x^2 + y^2\)

Επομένως:

Αν \(\vec{a} = (x, y)\), τότε \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

**Παράδειγμα:** Αν \(\vec{a} = (5, 12)\), τότε \(|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

---

# Απόσταση Σημείων ↔️

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία \(A(x_1, y_1)\) και \(B(x_2, y_2)\) του καρτεσιανού επιπέδου. Επειδή η απόσταση \((AB)\) των σημείων \(A\) και \(B\) είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος \(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\), σύμφωνα με τον τύπο \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\), θα ισχύει:

\((AB) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Επομένως:

Η απόσταση των σημείων \(A(x_1, y_1)\) και \(B(x_2, y_2)\) είναι ίση με

\((AB) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

**Παράδειγμα:** Η απόσταση των σημείων \(A(2, -7)\) και \(B(5, -3)\) είναι ίση με

\((AB) = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-3 - (-7))^2} = \sqrt{3^2 + (-3 + 7)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: Συντεταγμένες Παραλληλογράμμου 📐

**Πρόβλημα:** Αν \(A(-2, 1)\) και \(B(1, 4)\) είναι οι δύο κορυφές του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) και \(K(2, -3)\) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών \(Γ\) και \(Δ\).

**Λύση:**
Έστω \(Γ(x_1, y_1)\) και \(Δ(x_2, y_2)\) οι άλλες δύο κορυφές. Επειδή το κέντρο \(K\) ενός παραλληλογράμμου είναι το μέσο των διαγωνίων του \(ΑΓ\) και \(ΒΔ\), έχουμε:

Για τη διαγώνιο \(ΑΓ\):
  - \(x_K = \frac{x_A + x_Γ}{2} \implies 2 = \frac{-2 + x_1}{2} \implies 4 = -2 + x_1 \implies x_1 = 6\)
  - \(y_K = \frac{y_A + y_Γ}{2} \implies -3 = \frac{1 + y_1}{2} \implies -6 = 1 + y_1 \implies y_1 = -7\)
Άρα, \(Γ(6, -7)\).

Για τη διαγώνιο \(ΒΔ\):
  - \(x_K = \frac{x_B + x_Δ}{2} \implies 2 = \frac{1 + x_2}{2} \implies 4 = 1 + x_2 \implies x_2 = 3\)
  - \(y_K = \frac{y_B + y_Δ}{2} \implies -3 = \frac{4 + y_2}{2} \implies -6 = 4 + y_2 \implies y_2 = -10\)
Άρα, \(Δ(3, -10)\).

Επομένως, οι συντεταγμένες των κορυφών \(Γ\) και \(Δ\) είναι \((6, -7)\) και \((3, -10)\) αντιστοίχως. ✅

# Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων ⏸️

Έστω \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) και \(\vec{β} = (x_2, y_2)\) δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου.

Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα και υποθέσουμε ότι \(\vec{β} \neq \vec{0}\), τότε θα υπάρχει \(\lambda \in \mathbb{R}\) τέτοιος, ώστε \(\vec{a} = \lambda \vec{β}\). Επομένως, θα έχουμε \((x_1, y_1) = \lambda(x_2, y_2) = (\lambda x_2, \lambda y_2)\).

Αυτό ισοδυναμεί με:

\(x_1 = \lambda x_2\) και \(y_1 = \lambda y_2\)

Από αυτές τις σχέσεις, αν \(x_2 \neq 0\) και \(y_2 \neq 0\), προκύπτει \(\lambda = \frac{x_1}{x_2}\) και \(\lambda = \frac{y_1}{y_2}\), οπότε \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\), που ισοδυναμεί με \(x_1 y_2 = x_2 y_1\) ή \(x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\).

Η συνθήκη \(x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\) ισχύει και όταν \(x_2 = 0\) ή \(y_2 = 0\).

Αντίστροφα, αν \(x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\), τότε τα διανύσματα \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\) είναι παράλληλα.

---

# Ορίζουσα Δύο Διανυσμάτων 🔢

Η παράσταση \(x_1 y_2 - x_2 y_1\) συμβολίζεται ως \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}\) και λέγεται **ορίζουσα** των διανυσμάτων \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\).

Την ορίζουσα \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}\), που έχει ως 1η γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος \(\vec{a}\) και ως 2η γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος \(\vec{β}\), τη λέμε **ορίζουσα των διανυσμάτων \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\)** (με τη σειρά που δίνονται) και θα τη συμβολίζουμε με \(\det(\vec{a}, \vec{β})\).

Έτσι, η παραπάνω ισοδυναμία διατυπώνεται ως εξής:

\(\vec{a} // \vec{β} \iff \det(\vec{a}, \vec{β}) = 0\)

**Παραδείγματα:**
  - Τα διανύσματα \(\vec{a} = (\sqrt{3}, -1)\) και \(\vec{β} = (3, -\sqrt{3})\) είναι παράλληλα, αφού
    \(\det(\vec{a}, \vec{β}) = \begin{vmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 3 & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = \sqrt{3}(-\sqrt{3}) - (-1)(3) = -3 + 3 = 0\).
  - Τα διανύσματα \(\vec{a} = (2, 3)\) και \(\vec{β} = (-1, 2)\) δεν είναι παράλληλα, αφού
    \(\det(\vec{a}, \vec{β}) = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(2) - 3(-1) = 4 + 3 = 7 \neq 0\).

# Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος 📈

Έστω \(\vec{a} = (x, y)\) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και \(A(x, y)\) το σημείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει \(\vec{OA} = \vec{a}\).

Η **γωνία \(\varphi\)** που σχηματίζει το διάνυσμα \(\vec{a}\) με τον άξονα \(x'x\) ορίζεται ως η γωνία που διαγράφει ο ημιάξονας \(Ox\) αν στραφεί γύρω από το \(O\) κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία \(OA\). Ισχύει \(0 \le \varphi < 2\pi\).

Αν \(x \neq 0\), ο λόγος \(\frac{y}{x}\) λέγεται **συντελεστής διεύθυνσης** του \(\vec{a}\) και συμβολίζεται με \(\lambda_{\vec{a}}\) ή απλώς \(\lambda\).

Από την Τριγωνομετρία, γνωρίζουμε ότι για τη γωνία \(\varphi\), αν το \(\vec{a}\) δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα \(y'y\) (δηλαδή \(x \neq 0\)), ισχύει:

\(\varepsilon \varphi \varphi = \frac{y}{x}\)

Επομένως:

\(\lambda = \frac{y}{x} = \varepsilon \varphi \varphi\)

Είναι φανερό ότι:
  - Αν \(y = 0\), δηλαδή αν \(\vec{a} // x'x\), τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του \(\vec{a}\) είναι \(\lambda = 0\).
  - Αν \(x = 0\), δηλαδή αν \(\vec{a} // y'y\), τότε **δεν ορίζεται** συντελεστής διεύθυνσης του \(\vec{a}\).

---

# Παραλληλία και Συντελεστές Διεύθυνσης 🖇️

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο διανύσματα \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) και \(\vec{β} = (x_2, y_2)\) με συντελεστές διεύθυνσης \(\lambda_1\) και \(\lambda_2\) αντιστοίχως (δηλαδή \(x_1 \neq 0\) και \(x_2 \neq 0\)).

Έχουμε την ισοδυναμία:

\(\vec{a} // \vec{β} \iff \det(\vec{a}, \vec{β}) = 0 \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\)

\(\iff x_1 y_2 = x_2 y_1 \iff \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\) (αφού \(x_1, x_2 \neq 0\))

\(\iff \lambda_1 = \lambda_2\)

Επομένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα \(\vec{a}\) και \(\vec{β}\) με συντελεστές διεύθυνσης \(\lambda_1\) και \(\lambda_2\) διατυπώνεται ως εξής:

\(\vec{a} // \vec{β} \iff \lambda_1 = \lambda_2\)

Δύο διανύσματα, των οποίων ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, είναι παράλληλα αν και μόνο αν έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης.

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Συνευθειακά Σημεία ➖➖➖

**Πρόβλημα:** Να βρεθούν οι τιμές του \(\mu \in \mathbb{R}\) για τις οποίες τα σημεία \(A(1, 0)\), \(B(-\mu^2, 3)\) και \(Γ(-5\mu, 9)\) είναι συνευθειακά.

**Λύση:**
Τα σημεία \(A, B, Γ\) είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν τα διανύσματα \(\vec{AB}\) και \(\vec{AΓ}\) είναι παράλληλα.

Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

\(\vec{AB} = (-\mu^2 - 1, 3 - 0) = (-\mu^2 - 1, 3)\)

\(\vec{AΓ} = (-5\mu - 1, 9 - 0) = (-5\mu - 1, 9)\)

Η συνθήκη παραλληλίας είναι \(\det(\vec{AB}, \vec{AΓ}) = 0\).

Έχουμε λοιπόν:

\(\det(\vec{AB}, \vec{AΓ}) = \begin{vmatrix} -\mu^2 - 1 & 3 \\ -5\mu - 1 & 9 \end{vmatrix} = 0\)

\(\iff 9(-\mu^2 - 1) - 3(-5\mu - 1) = 0\)

\(\iff -9\mu^2 - 9 + 15\mu + 3 = 0\)

\(\iff -9\mu^2 + 15\mu - 6 = 0\)

\(\iff 3\mu^2 - 5\mu + 2 = 0\) (Διαιρώντας με -3)

Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς \(\mu\). Η διακρίνουσα είναι \(\Delta = (-5)^2 - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1\).

Οι λύσεις είναι:

\(\mu = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{5 \pm 1}{6}\)

Άρα, \(\mu = \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1\) ή \(\mu = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Επομένως, τα σημεία \(A, B, Γ\) είναι συνευθειακά για \(\mu = 1\) ή \(\mu = \frac{2}{3}\). ✅

01. Βασική Θεωρία

Πώς ορίζεται ένας άξονας με αρχή και μοναδιαίο διάνυσμα, και πώς κάθε σημείο πάνω του αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό αριθμό.

Άξονας και τετμημένη σημείου

Πώς δύο κάθετοι άξονες με κοινή αρχή σχηματίζουν σύστημα συντεταγμένων και πώς κάθε σημείο του επιπέδου αποκτά τετμημένη και τεταγμένη.

Καρτεσιανό επίπεδο

Πώς κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται μοναδικά ως συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων των αξόνων και πότε δύο διανύσματα είναι ίσα.

Συντεταγμένες διανύσματος

Πώς υπολογίζονται οι συντεταγμένες του αθροίσματος, της διαφοράς και του γινομένου διανύσματος με αριθμό.

Πράξεις με συντεταγμένες διανυσμάτων

Οι τύποι για τις συντεταγμένες του μέσου ενός ευθύγραμμου τμήματος και του κέντρου βάρους ενός τριγώνου.

Μέσο τμήματος και κέντρο βάρους

Πώς βρίσκουμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος από γνωστά άκρα, το μέτρο του και την απόσταση δύο σημείων.

Διάνυσμα από τα άκρα του και μέτρο

Πώς η ορίζουσα δύο διανυσμάτων δείχνει αν αυτά είναι παράλληλα, με εφαρμογή στον έλεγχο συνευθειακών σημείων.

Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων

Πώς ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος μέσω της εφαπτομένης της γωνίας του και πώς συνδέεται με την παραλληλία.

Συντελεστής διεύθυνσης

# Συντεταγμένες στο Επίπεδο — Σύνοψη 🗺️

Σε έναν :tooltip[άξονα]{content="Ευθεία με ορισμένη αρχή Ο και μοναδιαίο διάνυσμα."} \(x'x\) με μοναδιαίο διάνυσμα \(\vec{i}\), κάθε σημείο M αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό αριθμό \(x\) (την **τετμημένη**) ώστε \(\vec{OM} = x\vec{i}\). Στο επίπεδο, δύο κάθετοι άξονες \(x'x\), \(y'y\) με κοινή αρχή O και μοναδιαία διανύσματα \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) σχηματίζουν το **ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων** Oxy. Κάθε διάνυσμα \(\vec{a}\) γράφεται μοναδικά ως \(\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}\), όπου \(x\) η τετμημένη και \(y\) η τεταγμένη — συμβολίζεται \(\vec{a} = (x, y)\). Δύο διανύσματα είναι ίσα ακριβώς όταν έχουν ίσες αντίστοιχες συντεταγμένες.

Με γνωστές συντεταγμένες \(\vec{a} = (x_1, y_1)\), \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) υπολογίζουμε: \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)\) και \(\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)\). Για σημεία \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\): το **μέσο** του AB έχει συντεταγμένες \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\), το διάνυσμα \(\vec{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1)\) (πέρας μείον αρχή), το **μέτρο** \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2}\) και η **απόσταση** \((AB) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\). Το κέντρο βάρους τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες \(\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\).

Δύο διανύσματα \(\vec{a}=(x_1,y_1)\), \(\vec{b}=(x_2,y_2)\) με \(\vec{b}\neq\vec{0}\) είναι **παράλληλα** ακριβώς όταν η ορίζουσά τους μηδενίζεται: \(\det(\vec{a},\vec{b}) = x_1y_2 - x_2y_1 = 0\). Ο **συντελεστής διεύθυνσης** ενός μη μηδενικού διανύσματος \(\vec{a}=(x,y)\) με \(x \neq 0\) ορίζεται ως \(\lambda = \tan\varphi = \frac{y}{x}\), όπου \(\varphi\) η γωνία με τον θετικό ημιάξονα Ox· δύο διανύσματα μη παράλληλα στον \(y'y\) είναι παράλληλα μεταξύ τους ακριβώς όταν \(\lambda_1 = \lambda_2\).

:::alert{title="Προσοχή στον συντελεστή διεύθυνσης"}
Αν \(y=0\) το διάνυσμα είναι παράλληλο στον \(x'x\) και \(\lambda = 0\). Αν όμως \(x=0\) (διάνυσμα παράλληλο στον \(y'y\)), ο συντελεστής διεύθυνσης **δεν ορίζεται** — μην προσπαθήσεις να διαιρέσεις με μηδέν.
:::

:::fact{title="Ο Καρτέσιος πίσω από το όνομα"}
Το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων λέγεται και «Καρτεσιανό» προς τιμήν του Γάλλου φιλοσόφου και μαθηματικού René Descartes (Καρτέσιου), που πρώτος συνέδεσε την άλγεβρα με τη γεωμετρία.
:::
