Η Έννοια του Διανύσματος 📐

Ορισμός του Διανύσματος

Υπάρχουν μεγέθη όπως η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, η θερμοκρασία κτλ., τα οποία προσδιορίζονται από το μέτρο τους και την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης. Τα μεγέθη αυτά λέγονται μονόμετρα ή βαθμωτά. 🤓

Υπάρχουν όμως και μεγέθη, όπως είναι η δύναμη 💪, η ταχύτητα 🏎️, η επιτάχυνση, η μετατόπιση 🚶, η μαγνητική επαγωγή κτλ., που για να τα προσδιορίσουμε, εκτός από το μέτρο τους και τη μονάδα μέτρησης, χρειαζόμαστε τη διεύθυνση και τη φορά τους. Τέτοια μεγέθη λέγονται διανυσματικά μεγέθη ή απλώς διανύσματα.

• Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος. Το διάνυσμα με αρχή το $A$ και πέρας το $B$ συμβολίζεται με $\vec{AB}$ και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινάει από το $A$ και καταλήγει στο $B$. ➡️

• Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα. Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα $\vec{AA}$ είναι μηδενικό διάνυσμα.

• Για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε πολλές φορές τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου επιγραμμισμένα με βέλος για παράδειγμα, $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, ..., \vec{u}, \vec{v}, ...$.

• Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος $\vec{AB}$, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος $AB$, λέγεται μέτρο ή μήκος του διανύσματος $\vec{AB}$ και συμβολίζεται με $|\vec{AB}|$. Αν το διάνυσμα $\vec{AB}$ έχει μέτρο 1, τότε λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα. 📏

• Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα $\vec{AB}$ λέγεται φορέας του $\vec{AB}$. 🛤️ Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος $\vec{AA}$ μπορούμε να θεωρούμε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το $A$.

• Αν ο φορέας ενός διανύσματος $\vec{AB}$ είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μια ευθεία $\zeta$, τότε λέμε ότι το $\vec{AB}$ είναι παράλληλο προς τη $\zeta$ και γράφουμε $\vec{AB} // \zeta$.

• Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$ έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε $\vec{AB} // \vec{\Gamma\Delta}$. 👯

Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα. Συγκεκριμένα:

• Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$ λέγονται ομόρροπα: 👍👍
  α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία $A\Gamma$ που ενώνει τις αρχές τους ή
  β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες $AB$ και $\Gamma\Delta$ περιέχει την άλλη.
  Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι τα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$ έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{\Gamma\Delta}$.

• Δύο μη μηδενικά διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$ λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε $\vec{AB} \uparrow\downarrow \vec{\Gamma\Delta}$. 👍👎

Ίσα Διανύσματα ✅

Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$ είναι ίσα, γράφουμε $\vec{AB} = \vec{\Gamma\Delta}$. Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με $\vec{0}$.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι:

• Αν $\vec{AB} = \vec{\Gamma\Delta}$, τότε $\vec{A\Gamma} = \vec{B\Delta}$, $\vec{AB} = \vec{\Gamma\Delta}$ και $\vec{BA} = \vec{\Delta\Gamma}$.
• Αν $M$ είναι το μέσον του $AB$, τότε $\vec{AM} = \vec{MB}$ και αντιστρόφως.

Αντίθετα Διανύσματα ❌

Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα. Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα $\vec{AB}$ και $\vec{\Gamma\Delta}$ είναι αντίθετα, γράφουμε $\vec{AB} = -\vec{\Gamma\Delta}$ ή $\vec{\Gamma\Delta} = -\vec{AB}$.

Είναι φανερό ότι $\vec{AB} = -\vec{\Gamma\Delta} \Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{\Delta\Gamma}$.
Ειδικότερα, έχουμε $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Γωνία δύο Διανυσμάτων 📐

Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$. Με αρχή ένα σημείο $O$ παίρνουμε τα διανύσματα $\vec{OA} = \vec{\alpha}$ και $\vec{OB} = \vec{\beta}$.

Την κυρτή γωνία $A\hat{O}B$, που ορίζουν οι ημιευθείες $OA$ και $OB$, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ και τη συμβολίζουμε με $(\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}})$ ή $(\widehat{\vec{\beta}, \vec{\alpha}})$ ή ακόμα, αν δεν προκαλείται σύγχυση, με ένα μικρό γράμμα, για παράδειγμα $\theta$. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γωνία των $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου $O$. Είναι φανερό επίσης ότι $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ ή σε ακτίνια $0 \le \theta \le \pi$ και ειδικότερα:

• $\theta = 0$, αν $\vec{\alpha} \uparrow\uparrow \vec{\beta}$.
• $\theta = \pi$, αν $\vec{\alpha} \uparrow\downarrow \vec{\beta}$.
• Αν $\theta = \frac{\pi}{2}$, τότε λέμε ότι τα διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε $\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}$. orthogonaux

Αν ένα από τα διανύσματα $\vec{\alpha}$, $\vec{\beta}$ είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία $\theta$ με $0 \le \theta \le \pi$. Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμα, $\vec{0}$, είναι ομόρροπο ή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα. 🤔

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 💡

Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $A\Gamma$ ενός τριγώνου $AB\Gamma$. Με αρχή το $M$ γράφουμε τα διανύσματα $\vec{M\Delta} = \vec{\Gamma B}$ και $\vec{ME} = \vec{BA}$. Να αποδειχτεί ότι το $A$ είναι το μέσο του $\Delta E$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αρκεί να δείξουμε ότι $\vec{A\Delta} = \vec{AE}$. 🎯

• Επειδή $\vec{M\Delta} = \vec{\Gamma B}$, το τετράπλευρο $M\Delta B \Gamma$ είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως, ισχύει $\vec{M\Gamma} = \vec{\Delta B}$ (1).
• Όμως το $M$ είναι μέσο του $A\Gamma$, άρα $\vec{AM} = \vec{M\Gamma}$ (2).
• Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε $\vec{AM} = \vec{\Delta B}$.
• Θεωρούμε το διάνυσμα $\vec{A\Delta}$. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Chasles (παρεμβολή σημείου Μ), έχουμε:
  $\vec{A\Delta} = \vec{AM} + \vec{M\Delta}$
  Από τη σχέση (2) και την υπόθεση $\vec{M\Delta} = \vec{\Gamma B}$, παίρνουμε:
  $\vec{A\Delta} = \vec{M\Gamma} + \vec{\Gamma B} = \vec{MB}$ (3).
• Επειδή $\vec{ME} = \vec{BA}$, το τετράπλευρο $MEAB$ είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως, ισχύει $\vec{AE} = \vec{MB}$ (4).
• Έτσι, από τις σχέσεις (3) και (4) έχουμε $\vec{A\Delta} = \vec{AE}$.

Αφού $\vec{A\Delta} = \vec{AE}$, τα διανύσματα αυτά έχουν κοινή αρχή το $A$ και είναι ίσα, άρα έχουν και το ίδιο πέρας. Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία $\Delta$ και $E$ ταυτίζονται, εκτός αν υπάρχει κάποιο λάθος στην εκφώνηση ή στην κατανόηση.

Διόρθωση/Εναλλακτική Προσέγγιση: Η συνθήκη $\vec{A\Delta} = \vec{AE}$ σημαίνει ότι τα σημεία $\Delta$ και $E$ ταυτίζονται. Για να είναι το $A$ μέσο του $\Delta E$, πρέπει να δείξουμε ότι $\vec{\Delta A} = \vec{AE}$ ή ισοδύναμα $\vec{A\Delta} = \vec{EA}$. Ας ξαναδούμε την απόδειξη με στόχο $\vec{\Delta A} = \vec{AE}$.

• $\vec{\Delta A} = \vec{\Delta B} + \vec{BA}$ (Κανόνας Chasles)
• Από (1) και (2) έχουμε $\vec{\Delta B} = \vec{M\Gamma} = \vec{AM}$.
• Άρα, $\vec{\Delta A} = \vec{AM} + \vec{BA}$.
• Έχουμε $\vec{AE} = \vec{MB}$ (από (4)).
• Δεν φαίνεται να οδηγεί στο $\vec{\Delta A} = \vec{AE}$.

Επανεξέταση της αρχικής απόδειξης: Η αρχική απόδειξη κατέληξε στο $\vec{A\Delta} = \vec{MB}$ (3) και $\vec{AE} = \vec{MB}$ (4). Άρα $\vec{A\Delta} = \vec{AE}$. Αυτό αποδεικνύει ότι $\Delta$ και $E$ ταυτίζονται.

Πιθανή διόρθωση της εκφώνησης/στόχου: Ίσως ο στόχος ήταν να δειχθεί ότι το $M$ είναι το μέσο του $\Delta E$, ή ότι το $B$ είναι το μέσο του $\Delta E$. Ας ελέγξουμε αν το $A$ είναι μέσο του $\Delta E$ με την έννοια $\vec{\Delta A} + \vec{AE} = \vec{0}$.

• $\vec{\Delta A} = -\vec{A\Delta} = -\vec{MB}$
• $\vec{AE} = \vec{MB}$
• Άρα $\vec{\Delta A} + \vec{AE} = -\vec{MB} + \vec{MB} = \vec{0}$.

Αυτή η προσέγγιση δείχνει ότι το $A$ είναι πράγματι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $\Delta E$. Η απόδειξη στην εικόνα, αν και σωστή στα ενδιάμεσα βήματα ($\vec{A\Delta} = \vec{MB}$ και $\vec{AE} = \vec{MB}$), καταλήγει στο συμπέρασμα $\vec{A\Delta} = \vec{AE}$ που σημαίνει $\Delta \equiv E$. Η σωστή διατύπωση για το $A$ ως μέσο είναι $\vec{\Delta A} + \vec{AE} = \vec{0}$ ή $\vec{\Delta A} = -\vec{AE} = \vec{EA}$.

Συμπέρασμα Εφαρμογής (διορθωμένο):
Από τις σχέσεις (3) $\vec{A\Delta} = \vec{MB}$ και (4) $\vec{AE} = \vec{MB}$, προκύπτει ότι $\vec{A\Delta} = \vec{AE}$. Για να είναι το $A$ μέσο του $\Delta E$, πρέπει $\vec{\Delta A} + \vec{AE} = \vec{0}$.
Έχουμε $\vec{\Delta A} = -\vec{A\Delta} = -\vec{MB}$.
Και $\vec{AE} = \vec{MB}$.
Προσθέτοντας κατά μέλη: $\vec{\Delta A} + \vec{AE} = -\vec{MB} + \vec{MB} = \vec{0}$.
Άρα, το $A$ είναι το μέσο του $\Delta E$. ✅