Σκέψου τα σαν "μαγικά βέλη" - τα λέμε διανύσματα.  Όταν τα κατανοήσεις, θα ανοίξεις την πόρτα για τον κόσμο των ευθειών και των αποστάσεων. Τώρα είναι η ώρα για την τελική πρόκληση. Μπες στο ρόλερ κόστερ, με κάθε κύκλο, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή να μοιάζουν με απότομες στροφές και ριψοκίνδυνα άλματα 🏹

Μαθηματικά Β' Λυκείου

# Η Έννοια του Διανύσματος 📐

Υπάρχουν μεγέθη (όπως μάζα, όγκος, θερμοκρασία) που ορίζονται πλήρως με έναν αριθμό και τη μονάδα μέτρησης. Αυτά λέγονται **μονόμετρα** ή **βαθμωτά** μεγέθη.

Υπάρχουν όμως και μεγέθη (όπως δύναμη, ταχύτητα, μετατόπιση) που για να τα προσδιορίσουμε χρειαζόμαστε:
*   Μέτρο (τον αριθμό και τη μονάδα μέτρησης)
*   Διεύθυνση
*   Φορά

Αυτά λέγονται **διανυσματικά** μεγέθη ή απλώς **διανύσματα**.

# Γεωμετρικός Ορισμός Διανύσματος 🧭

Στη Γεωμετρία, ένα **διάνυσμα** ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα.

*   Το πρώτο άκρο λέγεται **αρχή** ή **σημείο εφαρμογής** (π.χ., \(A\)).
*   Το δεύτερο άκρο λέγεται **πέρας** (π.χ., \(B\)).

Το διάνυσμα με αρχή το \(A\) και πέρας το \(B\) συμβολίζεται με \(\vec{AB}\) και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινάει από το \(A\) και καταλήγει στο \(B\).

Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν (\(A=B\)), τότε το διάνυσμα \(\vec{AA}\) λέγεται **μηδενικό διάνυσμα**.


:::fact{title="Το ήξερες;"}
Για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε και μικρά γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου με βέλος από πάνω, π.χ., \(\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\upsilon}, \vec{\nu}, \dots\)
:::




# Μέτρο και Φορέας Διανύσματος 📏

*   Η **απόσταση** των άκρων ενός διανύσματος \(\vec{AB}\), δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος \(AB\), λέγεται **μέτρο** ή **μήκος** του διανύσματος \(\vec{AB}\) και συμβολίζεται με \(|\vec{AB}|\).
    *   Αν το διάνυσμα \(\vec{AB}\) έχει μέτρο 1, τότε λέγεται **μοναδιαίο** διάνυσμα. ☝️

*   Η **ευθεία** πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα \(\vec{AB}\) λέγεται **φορέας** του \(\vec{AB}\).
    *   Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος \(\vec{AA}\) μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το \(A\). 🤔

# Παράλληλα Διανύσματα 👯‍♀️

*   Αν ο φορέας ενός διανύσματος \(\vec{AB}\) είναι παράλληλος ή συμπίπτει με μια ευθεία \(\zeta\), τότε λέμε ότι το \(\vec{AB}\) είναι **παράλληλο** προς τη \(\zeta\) και γράφουμε \(\vec{AB} // \zeta\).

*   Δύο μη μηδενικά διανύσματα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\), που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται **παράλληλα** ή **συγγραμμικά** διανύσματα. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι τα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\) έχουν **ίδια διεύθυνση** και γράφουμε \(\vec{AB} // \vec{\Gamma\Delta}\).

# Ομόρροπα και Αντίρροπα Διανύσματα ↔️

Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα:

*   **Ομόρροπα:** Δύο μη μηδενικά διανύσματα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\) λέγονται ομόρροπα όταν:
    *   α) Έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία \(A\Gamma\) που ενώνει τις αρχές τους ή
    *   β) Έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες \(AB\) και \(\Gamma\Delta\) περιέχει την άλλη.
    *   Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι τα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\) έχουν **ίδια κατεύθυνση** (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε \(\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{\Gamma\Delta}\). 👍👍

*   **Αντίρροπα:** Δύο μη μηδενικά διανύσματα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\) λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα.
    *   Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\) έχουν **αντίθετη κατεύθυνση** (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε \(\vec{AB} \uparrow\downarrow \vec{\Gamma\Delta}\). 👍👎

# Ίσα Διανύσματα ✅

Δύο μη μηδενικά διανύσματα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\) λέγονται **ίσα** όταν έχουν την **ίδια διεύθυνση** και το **ίδιο μέτρο**.

Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\) είναι ίσα, γράφουμε \(\vec{AB} = \vec{\Gamma\Delta}\).

Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με \(\vec{0}\).

**Αποδεικνύεται εύκολα ότι:**
*   Αν \(\vec{AB} = \vec{\Gamma\Delta}\), τότε \(\vec{A\Gamma} = \vec{B\Delta}\), \(\vec{AB} = \vec{\Gamma\Delta}\) και \(\vec{BA} = \vec{\Delta\Gamma}\).
*   Αν \(M\) είναι το μέσον του \(AB\), τότε \(\vec{AM} = \vec{MB}\) και αντιστρόφως.

# Αντίθετα Διανύσματα ❌

Δύο διανύσματα λέγονται **αντίθετα**, όταν έχουν **αντίθετη κατεύθυνση** (\(\uparrow\downarrow\)) και **ίσα μέτρα**.

Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα \(\vec{AB}\) και \(\vec{\Gamma\Delta}\) είναι αντίθετα, γράφουμε:
\(\vec{AB} = -\vec{\Gamma\Delta}\)

Είναι φανερό ότι:
*   \(\vec{AB} = -\vec{\Gamma\Delta} \Leftrightarrow \vec{\Gamma\Delta} = -\vec{AB}\)
*   \(\vec{AB} = -\vec{\Gamma\Delta} \Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{\Delta\Gamma}\)

Ειδικότερα, έχουμε \(\vec{BA} = -\vec{AB}\).

# Γωνία Δύο Διανυσμάτων 📐

Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα \(\vec{\alpha}\) και \(\vec{\beta}\). Με αρχή ένα σημείο \(O\) παίρνουμε τα διανύσματα \(\vec{OA} = \vec{\alpha}\) και \(\vec{OB} = \vec{\beta}\).

Την κυρτή γωνία \(\angle AOB\), που ορίζουν οι ημιευθείες \(OA\) και \(OB\), την ονομάζουμε **γωνία των διανυσμάτων** \(\vec{\alpha}\) και \(\vec{\beta}\) και τη συμβολίζουμε με \((\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}})\) ή \((\widehat{\vec{\beta}, \vec{\alpha}})\).

Αν \(\theta\) είναι η γωνία των \(\vec{\alpha}\) και \(\vec{\beta}\), τότε ισχύει \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) (ή σε ακτίνια \(0 \le \theta \le \pi\)).

**Ειδικές περιπτώσεις:**
*   \(\theta = 0^\circ\) (ή \(0\) rad), αν \(\vec{\alpha} \uparrow\uparrow \vec{\beta}\).
*   \(\theta = 180^\circ\) (ή \(\pi\) rad), αν \(\vec{\alpha} \uparrow\downarrow \vec{\beta}\).
*   \(\theta = 90^\circ\) (ή \(\frac{\pi}{2}\) rad), τότε λέμε ότι τα διανύσματα \(\vec{\alpha}\) και \(\vec{\beta}\) είναι **ορθογώνια** ή **κάθετα** και γράφουμε \(\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}\).

Αν ένα από τα διανύσματα \(\vec{\alpha}\), \(\vec{\beta}\) είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία τους μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία \(\theta\) με \(0 \le \theta \le \pi\).

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 💡

**Πρόβλημα:** Έστω \(M\) το μέσο της πλευράς \(A\Gamma\) ενός τριγώνου \(AB\Gamma\). Με αρχή το \(M\) γράφουμε τα διανύσματα \(\vec{M\Delta} = \vec{\Gamma B}\) και \(\vec{ME} = \vec{BA}\). Να αποδειχτεί ότι το \(A\) είναι το μέσο του \(\Delta E\).

**Απόδειξη:**
Αρκεί να δείξουμε ότι \(\vec{\Delta A} = \vec{AE}\).

1.  Επειδή \(\vec{M\Delta} = \vec{\Gamma B}\) (1)
2.  Όμως το \(M\) είναι μέσο του \(A\Gamma\), άρα \(\vec{M\Gamma} = \vec{AM}\) (2)
3.  Επομένως, λόγω των (1) και (2), έχουμε \(\vec{\Delta B} = \vec{AM}\), οπότε:
    \(\vec{\Delta A} = \vec{BM}\) (3)
4.  Επειδή επιπλέον \(\vec{ME} = \vec{BA}\), έχουμε:
    \(\vec{AE} = \vec{BM}\) (4)

Έτσι, από τις σχέσεις (3) και (4) έχουμε \(\vec{\Delta A} = \vec{AE}\). ✅

Αυτό σημαίνει ότι το σημείο \(A\) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \(\Delta E\).

01. Βασική Θεωρία

Η διαφορά ανάμεσα σε μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη, και πώς ορίζεται το διάνυσμα ως προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα με αρχή και πέρας.

Ορισμός του Διανύσματος

Πώς ορίζονται το μέτρο ενός διανύσματος, το μηδενικό διάνυσμα όταν τα άκρα συμπίπτουν, και το μοναδιαίο διάνυσμα με μέτρο ίσο με ένα.

Μέτρο, Μηδενικό και Μοναδιαίο Διάνυσμα

Τι είναι ο φορέας ενός διανύσματος και πότε δύο διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά επειδή έχουν ίδια διεύθυνση.

Φορέας και Συγγραμμικά Διανύσματα

Πώς διακρίνονται τα συγγραμμικά διανύσματα σε ομόρροπα, με ίδια κατεύθυνση, και αντίρροπα, με αντίθετη φορά πάνω στην ίδια διεύθυνση.

Ομόρροπα και Αντίρροπα Διανύσματα

Η προϋπόθεση για να είναι δύο διανύσματα ίσα, με ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα, και η σύμβαση ότι όλα τα μηδενικά διανύσματα είναι ίσα μεταξύ τους.

Ίσα Διανύσματα

Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, με αντίθετη φορά και ίσα μέτρα, και πώς αυτό διαφέρει από την ισότητα διανυσμάτων.

Αντίθετα Διανύσματα

Πώς ορίζεται η γωνία ανάμεσα σε δύο διανύσματα, το εύρος τιμών της, και οι ειδικές περιπτώσεις ομόρροπων, αντίρροπων και κάθετων διανυσμάτων.

Γωνία δύο Διανυσμάτων

Μια λυμένη γεωμετρική άσκηση σε τρίγωνο που δείχνει πώς χρησιμοποιείται ο κανόνας του Chasles για να συνδέσουμε ίσα διανύσματα.

Εφαρμογή με τον Κανόνα του Chasles

# Η Έννοια του Διανύσματος 📐

Τα μεγέθη που περιγράφονται πλήρως με ένα μόνο αριθμό (μέτρο και μονάδα μέτρησης) λέγονται **μονόμετρα**, όπως η μάζα ή η θερμοκρασία. Όταν όμως χρειαζόμαστε επιπλέον :tooltip[διεύθυνση]{content="Η ευθεία (ή οποιαδήποτε παράλληλή της) πάνω στην οποία 'κινείται' το διάνυσμα."} και :tooltip[φορά]{content="Ο προσανατολισμός πάνω στη διεύθυνση — προς τα πού δείχνει το βέλος."}, μιλάμε για **διανυσματικά μεγέθη** (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, μετατόπιση). Στη Γεωμετρία το **διάνυσμα** είναι ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα με διατεταγμένα άκρα: το πρώτο είναι η **αρχή** και το δεύτερο το **πέρας**· το διάνυσμα με αρχή \(A\) και πέρας \(B\) γράφεται \(\vec{AB}\). Όταν αρχή και πέρας συμπίπτουν προκύπτει το **μηδενικό διάνυσμα** \(\vec{AA} = \vec{0}\). Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος \(AB\) λέγεται **μέτρο** του διανύσματος και συμβολίζεται \(|\vec{AB}|\)· ένα διάνυσμα με μέτρο 1 λέγεται **μοναδιαίο**. Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα λέγεται **φορέας** του.

:::fact{title="Ένα σύμβολο, μία κατεύθυνση"}
Το βελάκι πάνω από τα γράμματα δεν είναι διακοσμητικό: δηλώνει ότι το μέγεθος έχει φορά, σε αντίθεση με έναν απλό αριθμό όπως η θερμοκρασία.
:::

Δύο μη μηδενικά διανύσματα με ίδιο ή παράλληλο φορέα λέγονται **παράλληλα** ή **συγγραμμικά** και έχουν **ίδια διεύθυνση**. Ανάμεσά τους ξεχωρίζουμε τα **ομόρροπα** (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά, συμβολισμός \(\uparrow\uparrow\)) από τα **αντίρροπα** (ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά, συμβολισμός \(\uparrow\downarrow\)). Δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι **ίσα** όταν έχουν ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και φορά) και ίσα μέτρα, ενώ όλα τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους. Δύο διανύσματα είναι **αντίθετα** όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα· έτσι \(\vec{BA} = -\vec{AB}\).

:::alert{title="Ίσα ≠ Αντίθετα — μην τα μπερδεύεις"}
Και τα δύο ζεύγη έχουν ίσα μέτρα και την ίδια διεύθυνση. Η μόνη διαφορά είναι η φορά: ίδια φορά σημαίνει ίσα διανύσματα, αντίθετη φορά σημαίνει αντίθετα διανύσματα.
:::

Η **γωνία δύο διανυσμάτων** \(\vec{\alpha}\) και \(\vec{\beta}\) ορίζεται μεταφέροντάς τα σε κοινή αρχή \(O\) και παίρνοντας την κυρτή γωνία που σχηματίζουν, με τιμές \(0 \le \theta \le \pi\) (σε μοίρες \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)) — ανεξάρτητη από την επιλογή του \(O\). Ειδικές περιπτώσεις: \(\theta = 0\) όταν τα διανύσματα είναι ομόρροπα, \(\theta = \pi\) όταν είναι αντίρροπα, και \(\theta = \frac{\pi}{2}\) όταν είναι **ορθογώνια** ή **κάθετα** (\(\vec{\alpha} \perp \vec{\beta}\)).

:::alert{title="Το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει μία γωνία"}
Επειδή το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει καθορισμένη διεύθυνση, η γωνία του με οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε τιμή \(\theta\) με \(0 \le \theta \le \pi\). Γι' αυτό το \(\vec{0}\) θεωρείται ταυτόχρονα παράλληλο, αντίρροπο και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.
:::

Βασικό εργαλείο σε αποδείξεις με διανύσματα είναι ο **κανόνας του Chasles**: για τρία οποιαδήποτε σημεία \(A\), \(B\), \(M\) ισχύει \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\), δηλαδή η παρεμβολή ενός ενδιάμεσου σημείου διασπά ένα διάνυσμα σε άθροισμα δύο άλλων — χρήσιμο για να συνδέσουμε ισότητες διανυσμάτων μέσα από κοινά σημεία αναφοράς.


Μαθηματικά Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία