Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Μεταφορά Αξόνων
Η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο και ακτίνα είναι . Αν το κέντρο είναι η αρχή , η εξίσωση γίνεται .
Αυτό δείχνει ότι η μορφή της εξίσωσης μιας καμπύλης εξαρτάται από τη σχετική θέση της καμπύλης και των αξόνων. 🤔
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αναλύσουμε την εξίσωση μιας καμπύλης ως προς ένα "νέο" σύστημα συντεταγμένων , του οποίου η αρχή είναι το σημείο (ως προς το αρχικό σύστημα ) και οι άξονες και είναι παράλληλοι και ομόρροποι προς τους άξονες και του "παλιού" συστήματος.
Αυτή η αλλαγή συστήματος ονομάζεται παράλληλη μεταφορά αξόνων. ➡️
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Μεταφορά Αξόνων: Τύποι Μετασχηματισμού
Έστω οι συντεταγμένες ενός σημείου ως προς το παλιό σύστημα , και οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου ως προς το νέο σύστημα με αρχή (στο παλιό σύστημα).
Οι σχέσεις που συνδέουν τις συντεταγμένες είναι:
Ή, ισοδύναμα, οι συντεταγμένες στο νέο σύστημα εκφράζονται ως προς τις παλιές:
Αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι μετασχηματισμού συντεταγμένων για την παράλληλη μεταφορά αξόνων. 🔄
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Παραδείγματα Μεταφοράς Αξόνων 💡
Παράδειγμα 1: Μετασχηματισμός Συντεταγμένων Σημείου
Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα είναι και η αρχή μετακινηθεί με τη μεταφορά των αξόνων στο σημείο , τότε οι νέες συντεταγμένες του ως προς το νέο σύστημα είναι:
Άρα, οι νέες συντεταγμένες είναι . ✨
Παράδειγμα 2: Απλοποίηση Εξίσωσης Κύκλου
Έστω η εξίσωση , που παριστάνει κύκλο με κέντρο και ακτίνα .
Αν μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο κέντρο του κύκλου, δηλαδή στο , τότε οι τύποι μετασχηματισμού είναι:
Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε:
Αυτή είναι η εξίσωση του κύκλου ως προς το νέο σύστημα αξόνων, με κέντρο την αρχή του νέου συστήματος. 🎯
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αναγνώριση Καμπύλης (i) 🧐
Να εξεταστεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση:
Λύση:
(i) Έχουμε διαδοχικά:
Προσθέτουμε και στα δύο μέλη για να συμπληρώσουμε το τετράγωνο για το :
(1)
Αν θέσουμε και , δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή: (ή )
Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει παραβολή parabola με:
- Κορυφή το σημείο (στο αρχικό σύστημα).
- Άξονα συμμετρίας την ευθεία , δηλαδή την ευθεία .
- Παράμετρο .
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αναγνώριση Καμπύλης (ii) 🧐
Να εξεταστεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση:
Λύση:
(ii) Έχουμε διαδοχικά:
Συμπληρώνουμε τα τετράγωνα για το και το :
Διαιρούμε με το 36:
(1)
Αν θέσουμε και , δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:
Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη ellipse με:
- Κέντρο το σημείο .
- και . Επειδή , ο μεγάλος άξονας είναι παράλληλος στον άξονα .
- Μεγάλος άξονας: Η ευθεία , δηλαδή .
- Κορυφές μεγάλου άξονα (στο νέο σύστημα ):
- Για : , . Άρα .
- Για : , . Άρα .
- Μικρός άξονας: Η ευθεία , δηλαδή .
- Κορυφές μικρού άξονα (στο νέο σύστημα ):
- Για : , . Άρα .
- Για : , . Άρα .
- Εστίες: . Οι εστίες στο νέο σύστημα είναι .
- Για : , . Άρα .
- Για : , . Άρα . ✨
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αναγνώριση Καμπύλης (iii) 🧐
Να εξεταστεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση:
Λύση:
(iii) Έχουμε διαδοχικά:
Συμπληρώνουμε τα τετράγωνα για το και το :
Διαιρούμε με το 144:
(1)
Αν θέσουμε και , δηλαδή αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων και τοποθετήσουμε τη νέα αρχή στο σημείο , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:
Επομένως, η εξίσωση (1) παριστάνει υπερβολή hyperbola με:
- Κέντρο το σημείο .
- , .
- .
- Κορυφές (στο αρχικό σύστημα):
- Εστίες (στο αρχικό σύστημα):
- 💫
Η εικόνα είναι μια καλλιτεχνική απεικόνιση και όχι μια ακριβής αναπαράσταση.
Σχετική Θέση Ευθείας και Κωνικής 📐
Γενικά, με κατάλληλη μεταφορά αξόνων, μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μια εξίσωση της μορφής παριστάνει κωνική τομή και να βρούμε το είδος και τα στοιχεία της.
Για να βρούμε τη σχετική θέση μιας ευθείας (1) και μιας κωνικής (2), εξετάζουμε το σύστημα των εξισώσεών τους:
Για την επίλυση του συστήματος, θέτουμε στην (2) όπου , οπότε προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς .
- Αν η εξίσωση αυτή έχει δύο ρίζες άνισες (ή μία απλή ρίζα αν είναι 1ου βαθμού), τότε η ευθεία και η κωνική τέμνονται σε δύο σημεία. ✂️
- Αν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα (δηλαδή είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα ), τότε η ευθεία εφάπτεται της κωνικής. 👌
- Αν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η ευθεία και η κωνική δεν έχουν κοινά σημεία. 🤷♀️
Παράδειγμα: Έστω η ευθεία και η παραβολή .
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της παραβολής, παίρνουμε:
Αυτή η εξίσωση έχει διπλή ρίζα . Για , βρίσκουμε .
Άρα, η ευθεία εφάπτεται της κωνικής στο σημείο επαφής . ✨
Ο Ευκλείδης λειτουργεί μέσω τεχνητής νοημσύνης