Ο χάρακας γίνεται προέκταση του χεριού σου. Με μία κίνηση χαράζεις ευθείες, μετράς αποστάσεις και βρίσκεις γωνίες με ακρίβεια. Οι πράξεις γίνονται γρήγορα και καθαρά και τα κλάσματα μπαίνουν στη θέση τους. Κάθε σου κίνηση έχει στόχο, κάθε αποτέλεσμα είναι σωστό! Μπες στο μάθημα των Μαθηματικών και μάθε να χειρίζεσαι τους αριθμούς και τα σχήματα με απόλυτη δεξιοτεχνία. ⛩️

Μαθηματικά Ε' Δημοτικού

# Πώς σχετίζονται δύο ευθείες 📐

Δύο διαφορετικές <tooltip content="Ίσια γραμμή χωρίς άκρα που συνεχίζεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις.">ευθείες</tooltip> που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο είτε έχουν ένα κοινό σημείο είτε δεν έχουν κανένα. Επειδή η ευθεία συνεχίζεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις, εξετάζουμε ολόκληρες τις ευθείες, ακόμη κι αν στο χαρτί βλέπουμε μόνο ένα μέρος τους.

### Τρεις σχέσεις που αναγνωρίζουμε

| Σχέση | Τι συμβαίνει |
| --- | --- |
| Τεμνόμενες ευθείες | Έχουν ένα κοινό σημείο, το <tooltip content="Το κοινό σημείο στο οποίο συναντιούνται δύο γραμμές.">σημείο τομής</tooltip>. |
| <tooltip content="Δύο ευθείες που τέμνονται σχηματίζοντας ορθή γωνία.">Κάθετες ευθείες</tooltip> | Τέμνονται και σχηματίζουν <tooltip content="Γωνία με μέτρο 90°.">ορθή γωνία</tooltip>. |
| <tooltip content="Δύο ευθείες στο ίδιο επίπεδο που δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.">Παράλληλες ευθείες</tooltip> | Δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. |

<fact title="Οι κάθετες είναι και τεμνόμενες">

Κάθε ζεύγος κάθετων ευθειών έχει κοινό σημείο. Η ορθή γωνία είναι το πρόσθετο χαρακτηριστικό που τις ξεχωρίζει από άλλες τεμνόμενες ευθείες.

</fact>

<alert title="Κοίτα πέρα από το σχεδιασμένο μέρος">

Αν δύο ευθείες συναντιούνται όταν τις συνεχίσουμε, είναι τεμνόμενες, ακόμη κι αν το σημείο τομής βρίσκεται έξω από το μέρος που βλέπουμε. Δεν τις λέμε παράλληλες μόνο επειδή δεν τέμνονται μέσα στο μικρό σχέδιο.

</alert>

# Κατασκευάζω κάθετο ευθύγραμμο τμήμα 📏

Ένα <tooltip content="Μέρος ευθείας ανάμεσα σε δύο άκρα, μαζί με όλα τα σημεία ανάμεσά τους.">ευθύγραμμο τμήμα</tooltip> έχει δύο άκρα. Για να φέρουμε από ένα σημείο Δ τμήμα που τέμνει κάθετα το τμήμα ΕΖ, το νέο τμήμα πρέπει να συναντά το ΕΖ και στη συνάντησή τους να σχηματίζεται ορθή γωνία.

### Παράδειγμα σε τετραγωνισμένο πλέγμα

Φαντάσου το τμήμα ΕΖ οριζόντιο, πάνω σε μία γραμμή του πλέγματος. Το Δ βρίσκεται πάνω από ένα σημείο Η που είναι **ανάμεσα** στα Ε και Ζ, στην ίδια κατακόρυφη γραμμή του πλέγματος. Με τον χάρακα ένωσε το Δ με το Η. Έτσι το τμήμα ΔΗ ξεκινά από το Δ, συναντά το ΕΖ στο Η και σχηματίζει εκεί ορθή γωνία: ΔΗ και ΕΖ είναι κάθετα.

### Πώς το ελέγχω

Στο σημείο Η, η οριζόντια γραμμή του πλέγματος και η κατακόρυφη γραμμή σχηματίζουν τετράγωνη γωνιά, δηλαδή γωνία 90°. Έλεγξε και ότι το Η βρίσκεται πάνω στο ίδιο το τμήμα ΕΖ, όχι μόνο στην ευθεία που θα προέκυπτε αν το προεκτείναμε.

<alert title="Η συνάντηση πρέπει να είναι πάνω στο ΕΖ">

Αν η κατακόρυφη γραμμή από το Δ φτάνει έξω από τα άκρα Ε και Ζ, δεν τέμνει το δοσμένο τμήμα ΕΖ. Για αυτή την κατασκευή διάλεξε τη θέση του Δ πάνω από το εσωτερικό του ΕΖ.

</alert>

01. Βασική Θεωρία

Θα ξεχωρίσεις τις παράλληλες, τις τεμνόμενες και τις κάθετες ευθείες στο ίδιο επίπεδο, εξετάζοντας αν έχουν κοινό σημείο και αν σχηματίζουν ορθή γωνία.

Σχέσεις ανάμεσα σε δύο ευθείες

Ακολούθησε τον τρόπο να φέρεις ένα τμήμα από δοσμένο σημείο και να ελέγξεις τη γωνία του σε τετραγωνισμένο πλέγμα.

Κατασκευή κάθετων τμημάτων

# Παράλληλες, τεμνόμενες και κάθετες ευθείες 📐

Δύο διαφορετικές <tooltip content="Ίσια γραμμή χωρίς άκρα που συνεχίζεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις.">ευθείες</tooltip> στο ίδιο επίπεδο είναι **τεμνόμενες** όταν έχουν ένα κοινό σημείο και **παράλληλες** όταν δεν έχουν κανένα. Είναι **κάθετες** όταν τέμνονται σχηματίζοντας <tooltip content="Γωνία με μέτρο 90°.">ορθή γωνία</tooltip>.

<fact title="Οι κάθετες είναι και τεμνόμενες">

Κάθε ζεύγος κάθετων ευθειών έχει ένα κοινό σημείο. Η ορθή γωνία είναι αυτό που το ξεχωρίζει από άλλα ζεύγη τεμνόμενων ευθειών.

</fact>

Για να φέρουμε από ένα σημείο Δ <tooltip content="Μέρος ευθείας ανάμεσα σε δύο άκρα, μαζί με όλα τα σημεία ανάμεσά τους.">ευθύγραμμο τμήμα</tooltip> κάθετο στο τμήμα ΕΖ, το σχεδιάζουμε με χάρακα ώστε να σχηματίζει ορθή γωνία εκεί όπου συναντά το ΕΖ. Σε τετραγωνισμένο πλέγμα ελέγχουμε τη γωνία στο σημείο όπου συναντιούνται τα δύο τμήματα.

<alert title="Η ευθεία συνεχίζεται πέρα από το σχέδιο">

Δύο ευθείες που φαίνονται να μη συναντιούνται στο σχεδιασμένο μέρος τους μπορεί να τέμνονται πιο πέρα. Για να τις πούμε παράλληλες, δεν πρέπει να έχουν κοινό σημείο ούτε όταν τις συνεχίσουμε.

</alert>


Ζεύγος ευθειών	Πώς το αναγνωρίζουμε
Τεμνόμενες ευθείες	Οι ευθείες τέμνονται, αφού έχουν ένα κοινό σημείο.
Κάθετες ευθείες	Οι ευθείες τέμνονται και επιπλέον σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία.
Παράλληλες ευθείες	Οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Παράλληλες, τεμνόμενες και κάθετες ευθείες 📐

Πώς σχετίζονται δύο ευθείες

Κατασκευή κάθετων ευθύγραμμων τμημάτων