Ο χάρακας γίνεται προέκταση του χεριού σου. Με μία κίνηση χαράζεις ευθείες, μετράς αποστάσεις και βρίσκεις γωνίες με ακρίβεια. Οι πράξεις γίνονται γρήγορα και καθαρά και τα κλάσματα μπαίνουν στη θέση τους. Κάθε σου κίνηση έχει στόχο, κάθε αποτέλεσμα είναι σωστό! Μπες στο μάθημα των Μαθηματικών και μάθε να χειρίζεσαι τους αριθμούς και τα σχήματα με απόλυτη δεξιοτεχνία. ⛩️

Μαθηματικά Ε' Δημοτικού

# Μισό από τη μία, διπλάσιο από την άλλη 🔁

Το <tooltip content="Το αποτέλεσμα ενός πολλαπλασιασμού.">γινόμενο</tooltip> μπορεί να μείνει ίδιο, ακόμη κι αν αλλάξουν οι δύο αριθμοί που πολλαπλασιάζουμε. Η μέθοδος των Ρώσων χωρικών δείχνει αυτή την ιδέα με το \(16 \times 25\).

### Η μέθοδος βήμα βήμα

Σε κάθε νέα γραμμή διαιρούμε τον αριστερό αριθμό διά \(2\) και διπλασιάζουμε τον δεξιό:

| Πρώτος αριθμός | Δεύτερος αριθμός | Γινόμενο |
| ---: | ---: | ---: |
| \(16\) | \(25\) | \(400\) |
| \(8\) | \(50\) | \(400\) |
| \(4\) | \(100\) | \(400\) |
| \(2\) | \(200\) | \(400\) |
| \(1\) | \(400\) | \(400\) |

Έτσι, \(16 \times 25 = 8 \times 50 = 4 \times 100 = 2 \times 200 = 1 \times 400 = 400\). Κάθε γραμμή δίνει την ίδια απάντηση.

<fact title="Γιατί λειτουργεί;">

Μπορούμε να δούμε το γινόμενο ως ίσες ομάδες: οι μισές ομάδες, με διπλάσιο πλήθος σε καθεμία, έχουν το ίδιο συνολικό πλήθος. Γι' αυτό το γινόμενο μένει \(400\) σε όλες τις γραμμές.

</fact>

<alert title="Διαίρεση χωρίς υπόλοιπο">

Σε αυτό το παράδειγμα, οι αριθμοί \(16, 8, 4, 2\) διαιρούνται ακριβώς διά \(2\). Έτσι οι αριθμοί του πίνακα παραμένουν φυσικοί.

</alert>

# Αλλάζω τους παράγοντες, κρατώ το γινόμενο ⚖️

Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζουμε λέγονται <tooltip content="Κάθε αριθμός που πολλαπλασιάζεται με άλλον αριθμό για να σχηματιστεί ένα γινόμενο.">παράγοντες</tooltip>. Αν διαιρέσουμε τον έναν παράγοντα με έναν μη μηδενικό αριθμό, πολλαπλασιάζουμε τον άλλον με τον ίδιο αριθμό. Έτσι το γινόμενο παραμένει ίδιο.

### Όταν ο ένας παράγοντας γίνεται μισός

Αρχίζουμε με \(18 \times 25 = 450\). Το \(18\) διαιρείται διά \(2\) και γίνεται \(9\). Διπλασιάζουμε το \(25\), ώστε να γίνει \(50\):

\[
18 \times 25 = 9 \times 50 = 450
\]

Άρα ο αριθμός που λείπει από το \(9 \times \square = 450\) είναι το \(50\).

### Όταν ο ένας παράγοντας τριπλασιάζεται

Αρχίζουμε με \(25 \times 24 = 600\). Το \(25\) πολλαπλασιάζεται επί \(3\) και γίνεται \(75\). Διαιρούμε το \(24\) διά \(3\), ώστε να γίνει \(8\):

\[
25 \times 24 = 75 \times 8 = 600
\]

Άρα ο αριθμός που λείπει από το \(75 \times \square = 600\) είναι το \(8\).

<alert title="Οι αλλαγές πρέπει να είναι αντίστροφες">

Αν πολλαπλασιάσεις τον έναν παράγοντα επί \(3\), διαίρεσε τον άλλον διά \(3\). Μην πολλαπλασιάσεις και αυτόν επί \(3\). Δεν διαιρούμε ποτέ διά \(0\). Για να μείνουν φυσικοί οι παράγοντες, η διαίρεση πρέπει επίσης να γίνεται ακριβώς.

</alert>

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι <tooltip content="Δύο πράξεις που μπορούν να αναιρέσουν η μία την άλλη, όπως ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.">αντίστροφες πράξεις</tooltip>. Αυτή είναι η ιδέα που μας επιτρέπει να βρίσκουμε έναν αριθμό που λείπει χωρίς να αλλάζει το γινόμενο.

01. Βασική Θεωρία

Δες πώς μπορούμε να υπολογίσουμε ένα γινόμενο διπλασιάζοντας τον έναν αριθμό και υποδιπλασιάζοντας τον άλλο, μέχρι να γίνει ο υπολογισμός πιο εύκολος.

Η μέθοδος των Ρώσων χωρικών

Θα εξετάσουμε τι συμβαίνει στο γινόμενο όταν διαιρούμε ή πολλαπλασιάζουμε τον έναν παράγοντα και κάνουμε την αντίθετη αλλαγή στον άλλο.

Πώς κρατάμε ίδιο το γινόμενο

# Ιδιότητες πολλαπλασιασμού 🔢

Για να μείνει ίδιο το <tooltip content="Το αποτέλεσμα ενός πολλαπλασιασμού.">γινόμενο</tooltip>, όταν διαιρούμε τον έναν αριθμό με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζουμε τον άλλον με τον ίδιο αριθμό. Για παράδειγμα, \(18 \times 25 = 9 \times 50 = 450\): το \(18\) γίνεται μισό και το \(25\) διπλάσιο. Το ίδιο ισχύει και αντίστροφα: \(25 \times 24 = 75 \times 8 = 600\), επειδή το \(25\) τριπλασιάζεται και το \(24\) διαιρείται διά \(3\).

<fact title="Το τέχνασμα των Ρώσων χωρικών">

Για να βρουν το \(16 \times 25\), υποδιπλασίαζαν τον πρώτο αριθμό και διπλασίαζαν τον δεύτερο: \(16 \times 25 = 8 \times 50 = 4 \times 100 = 2 \times 200 = 1 \times 400 = 400\).

</fact>

<alert title="Κράτησε το γινόμενο ίδιο">

Αν αλλάξεις τον έναν αριθμό, κάνε την αντίστροφη αλλαγή στον άλλον με τον ίδιο αριθμό. Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι <tooltip content="Δύο πράξεις που μπορούν να αναιρέσουν η μία την άλλη, όπως ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.">αντίστροφες πράξεις</tooltip>.

</alert>


Μάθημα 3: Ιδιότητες πολλαπλασιασμού 🔢

Εξερεύνηση

Παράδειγμα 2

Λύση