Μάθημα 2: Επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης 🧮

Η μέθοδος των αρχαίων Αιγυπτίων

Ένας αρχαίος τρόπος υπολογισμού

Ο πάπυρος του Ριντ είναι ένα από τα σημαντικότερα έγγραφα της αρχαιότητας. Χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ. και βρέθηκε στα ερείπια μιας πόλης κοντά στον ποταμό Νείλο. Στον πάπυρο περιγράφεται η μέθοδος που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι για τον υπολογισμό ενός γινομένου.

Για το γινόμενο $16 \times 15$ , κάθε γραμμή του πίνακα διπλασιάζει τους αριθμούς της προηγούμενης γραμμής.

Πρώτος αριθμός	Γινόμενο με το 15
1	15
2	30
4	60
8	120
16	240

Άρα $16 \times 15 = 240$ . Η μέθοδος των αρχαίων Αιγυπτίων στηριζόταν στον διπλασιασμό και την επιμεριστική ιδιότητα.

Η επιμεριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό

Για να υπολογίσουμε το γινόμενο $11 \times 18$ , είναι δυνατόν να εργαστούμε με τους πιο κάτω τρόπους.

Α΄ τρόπος:

\begin{aligned} 11 \times 18 &= (10 + 1) \times 18 \\ &= (10 \times 18) + (1 \times 18) \\ &= 180 + 18 \\ &= 198 \end{aligned}

Β΄ τρόπος:

\begin{aligned} 11 \times 18 &= 11 \times (9 + 9) \\ &= (11 \times 9) + (11 \times 9) \\ &= 99 + 99 \\ &= 198 \end{aligned}

Γ΄ τρόπος:

\begin{aligned} 11 \times 18 &= 11 \times (5 + 5 + 8) \\ &= (11 \times 5) + (11 \times 5) + (11 \times 8) \\ &= 55 + 55 + 88 \\ &= 198 \end{aligned}

Δ΄ τρόπος:

\begin{aligned} 11 \times 18 &= 11 \times (20 - 2) \\ &= (11 \times 20) - (11 \times 2) \\ &= 220 - 22 \\ &= 198 \end{aligned}

Παράδειγμα: $14 \times 12$

Δύο ενδεικτικοί τρόποι υπολογισμού του γινομένου είναι οι πιο κάτω.

Α΄ τρόπος: Γράφουμε το 14 ως άθροισμα αριθμών και πολλαπλασιάζουμε ξεχωριστά κάθε όρο της πρόσθεσης με το 12.

\begin{aligned} 14 \times 12 &= (10 + 4) \times 12 \\ &= (10 \times 12) + (4 \times 12) \\ &= 120 + 48 \\ &= 168 \end{aligned}

Β΄ τρόπος: Γράφουμε το 12 ως άθροισμα αριθμών και πολλαπλασιάζουμε ξεχωριστά κάθε όρο της πρόσθεσης με το 14.

\begin{aligned} 14 \times 12 &= 14 \times (10 + 2) \\ &= (14 \times 10) + (14 \times 2) \\ &= 140 + 28 \\ &= 168 \end{aligned}

Η επιμεριστική ιδιότητα στη διαίρεση

Η επιμεριστική ιδιότητα είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί και στη διαίρεση. Χωρίζουμε τον διαιρετέο σε άθροισμα αριθμών που διαιρούνται με τον ίδιο διαιρέτη και προσθέτουμε τα πηλίκα.

\begin{aligned} 345 \div 5 &= (300 + 40 + 5) \div 5 \\ &= (300 \div 5) + (40 \div 5) + (5 \div 5) \\ &= 60 + 8 + 1 \\ &= 69 \end{aligned}

Το $345$ είναι ο διαιρετέος, το $5$ ο διαιρέτης και το $69$ το πηλίκο. Η διαίρεση $345 \div 5$ είναι τέλεια, γιατί δίνει πηλίκο $69$ και υπόλοιπο $0$ . Μία διαίρεση που δίνει υπόλοιπο διαφορετικό από το $0$ , λέγεται ατελής.

Παράδειγμα: $156 \div 4$

Α΄ τρόπος: Γράφουμε το $156$ ως άθροισμα αριθμών, οι οποίοι διαιρούνται με το $4$ .

\begin{aligned} 156 \div 4 &= (120 + 36) \div 4 \\ &= (120 \div 4) + (36 \div 4) \\ &= 30 + 9 \\ &= 39 \end{aligned}

\begin{aligned} 156 \div 4 &= (80 + 60 + 16) \div 4 \\ &= (80 \div 4) + (60 \div 4) + (16 \div 4) \\ &= 20 + 15 + 4 \\ &= 39 \end{aligned}

Β΄ τρόπος: Γράφουμε το $156$ ως διαφορά αριθμών, οι οποίοι διαιρούνται με το $4$ .

\begin{aligned} 156 \div 4 &= (160 - 4) \div 4 \\ &= (160 \div 4) - (4 \div 4) \\ &= 40 - 1 \\ &= 39 \end{aligned}

\begin{aligned} 156 \div 4 &= (200 - 44) \div 4 \\ &= (200 \div 4) - (44 \div 4) \\ &= 50 - 11 \\ &= 39 \end{aligned}

Ο ίδιος διαιρέτης σε κάθε μέρος

Όταν χωρίζουμε έναν διαιρετέο σε άθροισμα ή διαφορά, διαιρούμε κάθε μέρος με τον ίδιο διαιρέτη. Στα παραδείγματα με το $156$ , επιλέγουμε μέρη που διαιρούνται ακριβώς με το $4$ .