Μάθημα 1: Προσεταιριστική και αντιμεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού 🔢

Η προσεταιριστική ιδιότητα

Ο Γκάους, για να υπολογίσει γρήγορα το άθροισμα όλων των ακέραιων αριθμών από το 1 μέχρι το 100, αξιοποίησε την προσεταιριστική ιδιότητα:

Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς, το τελικό αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται από τη σειρά με την οποία κάνουμε τις προσθέσεις ή τους πολλαπλασιασμούς.

Πενήντα ζευγάρια με το ίδιο άθροισμα

«Δημιούργησα 50 ζευγάρια με άθροισμα 101. Άρα, $50 \times 101 = 5050$ .»

Τα ζευγάρια είναι $1+100$ , $2+99$ , $3+98$ , έως $50+51$ .

Υπολογισμοί με εύκολες ομάδες

Να χρησιμοποιήσετε την προσεταιριστική ιδιότητα, για να υπολογίσετε το αποτέλεσμα.

(α) $17 + 52 + 13$

\begin{aligned} 17 + 52 + 13 &= (17 + 13) + 52 \\ &= 30 + 52 \\ &= 82 \end{aligned}

(β) $5 \times 7 \times 12$

\begin{aligned} 5 \times 7 \times 12 &= 7 \times (5 \times 12) \\ &= 7 \times 60 \\ &= 420 \end{aligned}

Δύο αλλαγές στα παραδείγματα

Στα παραδείγματα αλλάζει η ομαδοποίηση των αριθμών, αλλά και η θέση τους. Η αλλαγή θέσης είναι η αντιμεταθετική ιδιότητα, που ισχύει επίσης στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό.

Στην καθημερινή ζωή

Στην καθημερινή ζωή χρησιμοποιούμε συχνά την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα, όταν κάνουμε αγορές και θέλουμε να υπολογίσουμε γρήγορα το συνολικό ποσό που θα πληρώσουμε, δεν προσθέτουμε πάντα τους αριθμούς με τη σειρά που τους βλέπουμε.

Η αντιμεταθετική ιδιότητα

Γνωρίζουμε ότι στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα:

Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε δύο αριθμούς, το τελικό αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται από τη σειρά με την οποία κάνουμε τις προσθέσεις ή τους πολλαπλασιασμούς.

Για παράδειγμα $4 + 5 = 5 + 4$ .

Η σειρά δεν αλλάζει πάντα ελεύθερα

Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει στην αφαίρεση και στη διαίρεση: $7-3=4$ , ενώ $3-7\neq4$ · $8\div2=4$ , ενώ $2\div8\neq4$ . Στον πολλαπλασιασμό ισχύει $3\times7=7\times3$ .

Ο Ιωάννης σκέφτηκε ότι, για να υπολογίσει το γινόμενο $83 \times 4$ , είναι δυνατόν να υπολογίσει το γινόμενο $83 \times 2 \times 2$ .

83 \times 4 = 83 \times (2 \times 2) = 83 \times 2 \times 2