Επιπρόσθετες Δραστηριότητες: αριθμοί, πράξεις και προβλήματα 🧮

Υπολογισμός αθροίσματος και διαφοράς

Μπορώ να κάνω έναν αριθμό πιο εύκολο για νοερό υπολογισμό και να διορθώσω το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, το $99$ είναι $1$ λιγότερο από το $100$ :

125 + 99 = 125 + 100 - 1 = 224

Στην αφαίρεση, αν αφαιρέσω $100$ αντί για $97$ , αφαιρώ $3$ περισσότερα. Προσθέτω λοιπόν πίσω $3$ :

156 - 97 = 156 - 100 + 3 = 59

Μπορώ επίσης να κρατήσω ίδια τη διαφορά προσθέτοντας ή αφαιρώντας τον ίδιο αριθμό και από τους δύο όρους. Έτσι,

194 - 49 = 195 - 50 = 145

και

194 - 49 = 190 - 45 = 145.

Η ίδια αλλαγή και στους δύο όρους

Προσοχή: $194 - 49 \ne 193 - 50$ . Οι δύο διαφορές δεν είναι ίσες. Στα δεξιά ο πρώτος αριθμός μειώθηκε κατά $1$ , ενώ ο δεύτερος αυξήθηκε κατά $1$ . Η σωστή αλλαγή θα ήταν $194 - 49 = 193 - 48$ .

Κατακόρυφος υπολογισμός

Στον κατακόρυφο υπολογισμό βάζω μονάδες κάτω από μονάδες, δεκάδες κάτω από δεκάδες, εκατοντάδες κάτω από εκατοντάδες και χιλιάδες κάτω από χιλιάδες. Αρχίζω από τις μονάδες.

Στο $2639 + 1385$ , οι μονάδες είναι $9 + 5 = 14$ : γράφω $4$ μονάδες και μεταφέρω $1$ δεκάδα. Οι δεκάδες είναι $3 + 8 + 1 = 12$ : γράφω $2$ δεκάδες και μεταφέρω $1$ εκατοντάδα. Οι εκατοντάδες είναι $6 + 3 + 1 = 10$ : γράφω $0$ εκατοντάδες και μεταφέρω $1$ χιλιάδα. Τέλος, $2 + 1 + 1 = 4$ χιλιάδες. Άρα:

2639 + 1385 = 4024

Στο $7000 - 4038$ , για να αφαιρέσω τις μονάδες χρειάζομαι ανταλλαγές. Γράφω το $7000$ ως $6$ χιλιάδες, $9$ εκατοντάδες, $9$ δεκάδες και $10$ μονάδες. Τώρα υπολογίζω από δεξιά προς τα αριστερά: $10 - 8 = 2$ , $9 - 3 = 6$ , $9 - 0 = 9$ και $6 - 4 = 2$ . Άρα:

7000 - 4038 = 2962

Η ανταλλαγή κρατά ίδια την αξία

Οι $7$ χιλιάδες και οι $6$ χιλιάδες, $9$ εκατοντάδες, $9$ δεκάδες, $10$ μονάδες παριστάνουν τον ίδιο αριθμό: $7000$ .

Αισθητοποίηση, σύγκριση και σειροθέτηση τετραψήφιων αριθμών

Κάθε ψηφίο παίρνει αξία από τη θέση του. Στον $4529$ , το $4$ δείχνει χιλιάδες, το $5$ εκατοντάδες, το $2$ δεκάδες και το $9$ μονάδες:

4529 = 4000 + 500 + 20 + 9

Το $0$ κρατά τη θέση στην οποία δεν υπάρχουν μονάδες αυτής της τάξης: $7009 = 7000 + 0 + 0 + 9$ . Μπορώ να αναλύσω έναν αριθμό και με διαφορετική ομαδοποίηση:

3542 = 3000 + 500 + 40 + 2 = 3000 + 500 + 30 + 12

Στη δεύτερη μορφή, μία δεκάδα έγινε $10$ μονάδες. Η συνολική αξία έμεινε ίδια. Με τον ίδιο τρόπο, ο αριθμός $2746$ αποτελείται από $27$ εκατοντάδες και $46$ μονάδες, γιατί $2700 + 46 = 2746$ .

Δεν αρκεί να μετρώ τα κομμάτια ενός υλικού θέσης. Τρεις κύβοι της χιλιάδας παριστάνουν $3000$ , ενώ πέντε πλάκες της εκατοντάδας, τρεις ράβδοι της δεκάδας και δύο μονάδες παριστάνουν $532$ . Τα περισσότερα κομμάτια δεν δίνουν πάντα τον μεγαλύτερο αριθμό.

Για να συγκρίνω τετραψήφιους αριθμούς, κοιτάζω πρώτα τις χιλιάδες. Αν είναι ίδιες, συγκρίνω τις εκατοντάδες, έπειτα τις δεκάδες και τέλος τις μονάδες. Για παράδειγμα, $7398 < 7839 < 7983$ : όλοι έχουν $7$ χιλιάδες, γι’ αυτό αποφασίζουν οι εκατοντάδες.

Η θέση αλλάζει την αξία του ψηφίου

Αν στον $2170$ το $1$ γίνει $5$ , ο αριθμός γίνεται $2570$ και αυξάνεται κατά $400$ , επειδή άλλαξαν οι εκατοντάδες. Αν στον $4206$ το $4$ γίνει $2$ , ο αριθμός γίνεται $2206$ και μειώνεται κατά $2000$ , επειδή άλλαξαν οι χιλιάδες.

Στρογγυλοποίηση αριθμών – Εκτίμηση αθροίσματος και διαφοράς

Στη στρογγυλοποίηση κοιτάζω το ψηφίο αμέσως δεξιά από τη θέση που ζητείται. Αν είναι $0$ – $4$ , κρατώ την ίδια δεκάδα, εκατοντάδα ή χιλιάδα. Αν είναι $5$ – $9$ , προχωρώ στην επόμενη. Τα ψηφία δεξιά γίνονται μηδενικά.

Αριθμός	Πλησιέστερη δεκάδα	Πλησιέστερη εκατοντάδα	Πλησιέστερη χιλιάδα
$56$	$60$	—	—
$173$	$170$	—	—
$789$	—	$800$	—
$3165$	—	$3200$	—
$8145$	—	—	$8000$
$8760$	—	—	$9000$

Το $3500$ βρίσκεται ακριβώς στη μέση των $3000$ και $4000$ . Στην πλησιέστερη χιλιάδα πηγαίνει στο $4000$ . Ένας αριθμός μπορεί να έχει διαφορετικές σωστές στρογγυλοποιήσεις ανάλογα με τη θέση: $3505 \approx 3510$ στην πλησιέστερη δεκάδα, $3505 \approx 3500$ στην εκατοντάδα και $3505 \approx 4000$ στη χιλιάδα.

Για να εκτιμήσω ένα άθροισμα ή μια διαφορά, στρογγυλοποιώ πρώτα τους όρους:

417 + 495 \approx 400 + 500 = 900

715 - 482 \approx 700 - 500 = 200

Η εκτίμηση βοηθά να προβλέψω περίπου το αποτέλεσμα ή ακόμη και πόσα ψηφία θα έχει. Για παράδειγμα, $81 + 23$ είναι λίγο πάνω από $100$ , άρα έχει $3$ ψηφία. Για ακριβές αποτέλεσμα, κάνω την πράξη.

Περίπου και ακριβώς

Το σύμβολο $\approx$ σημαίνει «περίπου ίσο». Το $417 + 495$ είναι περίπου $900$ , αλλά δεν είναι ακριβώς $900$ . Αν η εκτίμηση είναι πολύ κοντά σε ένα όριο, χρειάζεται πιο προσεκτική σύγκριση για να αποφασίσω αν το ακριβές αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το όριο.

Επίλυση και κατασκευή προβλήματος

Πρώτα βρίσκω τι γνωρίζω και τι ζητά η ερώτηση. Οι φράσεις «πόσο μεγαλύτερο» και «πόσο μικρότερο» συνήθως ζητούν διαφορά. Η φράση «πόσα συνολικά» συνήθως ζητά άθροισμα. Αν ξέρω το σύνολο και κάποια μέρη του, αφαιρώ τα γνωστά μέρη για να βρω το μέρος που λείπει.

Παράδειγμα: αύξηση επισκεπτών

Οι επισκέπτες ήταν $8157$ τη μία χρονιά και $9138$ την επόμενη. Για να βρω πόσο αυξήθηκαν, αφαιρώ:

9138 - 8157 = 981

Η αύξηση ήταν $981$ επισκέπτες.

Παράδειγμα: ποσό που λείπει από το σύνολο

Σε ένα παζαράκι συγκεντρώθηκαν €1895 την πρώτη μέρα και €2187 τη δεύτερη. Το σύνολο τριών ημερών ήταν €5679. Πρώτα βρίσκω το ποσό των δύο πρώτων ημερών και έπειτα το αφαιρώ από το σύνολο:

1895 + 2187 = 4082

5679 - 4082 = 1597

Την τρίτη μέρα συγκεντρώθηκαν €1597.

Φτιάχνω ερώτηση και πρόβλημα

Από τα δεδομένα μπορώ να γράψω μια σαφή ερώτηση. Αν μια φωτογραφία είχε $1998$ , $2453$ και $1403$ προτιμήσεις σε τρεις μέρες, μπορώ να ρωτήσω: Πόσες προτιμήσεις είχε συνολικά; Η μαθηματική πρόταση είναι

1998 + 2453 + 1403 = 5854.

Μπορώ επίσης να διαλέξω αριθμούς που ταιριάζουν σε μια ιστορία. Σε μια διήμερη εκδήλωση εισπράχθηκαν €1000 και €900, ενώ τα έξοδα ήταν €250. Η ερώτηση «Πόσα ήταν τα καθαρά έσοδα;» λύνεται με

1000 + 900 - 250 = 1650.

Άρα τα καθαρά έσοδα ήταν €1650. Ελέγχω πάντα ότι η πράξη απαντά στην ερώτηση και ότι η απάντηση έχει τη σωστή μονάδα, όπως άτομα, χρόνια ή ευρώ.