Υπολογισμός αθροίσματος ➕

Τα Μαθηματικά και εμείς

Το 1557, ένας Ουαλός μαθηματικός και γιατρός χρησιμοποίησε για πρώτη φορά στην ιστορία των Μαθηματικών το σύμβολο $=$. Το έκανε, γιατί είχε κουραστεί να γράφει ξανά και ξανά τη φράση «είναι ίσο με». Έτσι, για να δείξει ότι δύο πράγματα έχουν την ίδια αξία, διάλεξε δύο παράλληλες ευθείες γραμμές που έχουν το ίδιο μήκος, γράφοντας σε ένα βιβλίο του ότι «δύο πράγματα δεν μπορούν να είναι πιο ίσα από αυτές τις δύο γραμμές».

Από τότε, το σύμβολο $=$ εκφράζει την έννοια της ισότητας, δηλαδή ότι δύο ποσότητες έχουν ακριβώς την ίδια αξία. Η ζυγαριά που ισορροπεί είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα της ιδέας αυτής. Αν στη μία πλευρά βρίσκονται βαρίδια $10$ και $2$ κιλών και στην άλλη τρία βαρίδια $4$ κιλών, οι δύο πλευρές ζυγίζουν το ίδιο: $10 + 2 = 3 \times 4$, γιατί και οι δύο δίνουν $12$ κιλά.

Πρόσθεση και άθροισμα

Στην πρόσθεση $5 + 3 = 8$, το $5$ και το $3$ είναι οι προσθετέοι, ενώ το $8$ είναι το άθροισμα.

Σε αυτό το μάθημα θα κατανοήσουμε πώς η έννοια της ισότητας μάς βοηθά να υπολογίζουμε αθροίσματα, αξιοποιώντας την ιδέα ότι είναι δυνατόν να αντικαθιστούμε τους προσθετέους με άλλους ίσης αξίας. Με αυτή την αλλαγή, βρίσκουμε το άθροισμα πιο γρήγορα.

Μεταφέρω την ίδια ποσότητα ανάμεσα στους προσθετέους

Μπορώ να προσθέσω έναν αριθμό στον έναν προσθετέο και να αφαιρέσω τον ίδιο αριθμό από τον άλλον. Το άθροισμα μένει το ίδιο. Διαλέγω την αλλαγή που κάνει έναν προσθετέο στρογγυλό αριθμό, όπως $60$, $100$ ή $300$.

$59 + 44$

Προσθέτω $1$ στο $59$, ώστε να γίνει $60$. Αφαιρώ $1$ από το $44$, ώστε το άθροισμα να μείνει ίδιο. Τώρα $60 + 43 = 103$.

$98 + 357$

Το $98$ χρειάζεται $2$ για να γίνει $100$. Μειώνω το $357$ κατά $2$, ώστε να μην αλλάξει το σύνολο. Έτσι, $100 + 355 = 455$.

$567 + 295$

Εδώ είναι πιο εύκολο να κάνω το $295$ ίσο με $300$: του προσθέτω $5$ και αφαιρώ $5$ από το $567$. Το άθροισμα παραμένει ίδιο και $562 + 300 = 862$.

Βρίσκω έναν προσθετέο που λείπει

Στην ισότητα $38 + 27 = 40 + \square$, το $38$ αυξήθηκε κατά $2$ και έγινε $40$. Για να παραμείνει το ίδιο το άθροισμα, το $27$ πρέπει να μειωθεί κατά $2$ και να γίνει $25$. Επομένως, $38 + 27 = 40 + 25$. Δεν χρειάζεται πρώτα να υπολογίσω το άθροισμα.

Επιλέγω πόσο θα μεταφέρω

Για να υπολογίσω $297 + 145$, μεταφέρω $3$ από το $145$ στο $297$. Το $297$ γίνεται $300$ και το $145$ γίνεται $142$:

Για το $198 + 394$, μεταφέρω $2$ από το $394$ στο $198$. Έτσι υπολογίζω εύκολα με το $200$:

Όταν υπάρχουν τρεις προσθετέοι

Η ίδια ιδέα ισχύει και με τρεις αριθμούς. Αν αυξήσω έναν προσθετέο κατά $1$, μειώνω έναν άλλον κατά $1$. Για παράδειγμα:

Ο πρώτος $102$ έγινε $103$ και ο τρίτος έγινε $101$. Το $1$ που προστέθηκε αφαιρέθηκε από άλλον προσθετέο, οπότε το άθροισμα έμεινε $306$. Μπορώ επίσης να προσθέσω $1$ σε δύο προσθετέους και να αφαιρέσω συνολικά $2$ από τον τρίτο: $102 + 102 + 102 = 103 + 103 + 100 = 306$.