Υπολογίζοντας τις αποστάσεις 📏🗺️

Ένας χάρτης δεν μας δείχνει μόνο πού βρίσκονται τα διάφορα μέρη. Μας επιτρέπει και να μετρήσουμε πόσο μακριά βρίσκεται το ένα μέρος από το άλλο. Πόσα χιλιόμετρα απέχει ένα χωριό από ένα άλλο; Πόσος δρόμος είναι από το σπίτι μας μέχρι το σχολείο; Όλα αυτά μπορούμε να τα υπολογίσουμε πάνω στον χάρτη, φτάνει να ξέρουμε δύο πράγματα: πώς να μετράμε την απόσταση πάνω στο χαρτί και πώς να μετατρέπουμε αυτή τη μικρή απόσταση του χάρτη στην πραγματική απόσταση του εδάφους.

Σε αυτή την υποενότητα θα μάθουμε δύο βασικά πράγματα:

• Πώς μετράμε την απόσταση σε ευθεία γραμμή ανάμεσα σε δύο σημεία.
• Πώς μετράμε την απόσταση κατά μήκος ενός δρόμου που έχει στροφές (τεθλασμένη απόσταση).

Και τα δύο τα κάνουμε με τη βοήθεια της κλίμακας του χάρτη.

Λίγα λόγια για την κλίμακα (γρήγορη υπενθύμιση)

Η κλίμακα μας λέει πόσο έχει «σμικρυνθεί» ο πραγματικός κόσμος για να χωρέσει στο χαρτί. Συναντάμε δύο μορφές κλίμακας:

• Αριθμητική κλίμακα, π.χ. $1:100.000$. Σημαίνει ότι $1$ εκατοστό στον χάρτη αντιστοιχεί σε $100.000$ εκατοστά στην πραγματικότητα.
• Γραμμική κλίμακα, δηλαδή μια μικρή αριθμημένη «χαράκα» τυπωμένη πάνω στον χάρτη, όπου τα διαστήματα είναι ήδη γραμμένα σε χιλιόμετρα (0, 1, 2, 3, ... km).

Η γραμμική κλίμακα είναι πολύ βολική για τη μέτρηση αποστάσεων, γιατί μας δίνει το αποτέλεσμα κατευθείαν σε χιλιόμετρα, χωρίς πράξεις. Ας δούμε πώς τη χρησιμοποιούμε.

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ευθεία γραμμή

Ας φανταστούμε δύο σημεία πάνω στον χάρτη, το σημείο Α και το σημείο Ε, και θέλουμε να βρούμε πόσο απέχουν σε ευθεία γραμμή (δηλαδή «στα ίσια», σαν να τραβούσαμε μια κλωστή τεντωμένη από το ένα στο άλλο).

Ακολουθούμε τα εξής βήματα 🧮:

1. Τοποθετούμε την άκρη μιας κόλλας χαρτί πάνω στον χάρτη, έτσι ώστε η ίσια άκρη της να ενώνει τα δύο σημεία Α και Ε.
2. Σημειώνουμε με μολύβι πάνω στην άκρη της κόλλας τις θέσεις των δύο σημείων Α και Ε. Τώρα η κόλλα μας «θυμάται» την απόσταση Α–Ε.
3. Μεταφέρουμε την κόλλα πάνω στη γραμμική κλίμακα του χάρτη. Βάζουμε το σημάδι του Α στο μηδέν (0) της κλίμακας και διαβάζουμε σε ποιον αριθμό πέφτει το σημάδι του Ε. Αυτός ο αριθμός είναι η απόσταση σε χιλιόμετρα.

Παράδειγμα: Έστω ότι σημειώσαμε τα σημεία Α και Ε στην άκρη της κόλλας. Όταν βάλαμε το Α στο 0 της κλίμακας, το Ε έπεσε πάνω στο 13. Άρα:

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων κατά μήκος του δρόμου

Οι δρόμοι στην πραγματικότητα έχουν στροφές. Ανεβαίνουν, κατεβαίνουν, στρίβουν δεξιά και αριστερά. Γι' αυτό, η απόσταση που πραγματικά διανύουμε πάνω στον δρόμο είναι μεγαλύτερη από την απόσταση σε ευθεία γραμμή.

Μια τέτοια απόσταση, που ακολουθεί μια σπασμένη-στριφτή γραμμή, ονομάζεται τεθλασμένη απόσταση.

Για να τη μετρήσουμε, δεν μπορούμε να βάλουμε την κόλλα μία φορά στα ίσια. Πρέπει να μετρήσουμε τον δρόμο κομμάτι-κομμάτι, ακολουθώντας κάθε στροφή. Ας πούμε ότι ο δρόμος από το Α μέχρι το Ε περνάει από τα ενδιάμεσα σημεία Β, Γ και Δ (σε κάθε στροφή βάζουμε κι από ένα σημείο).

Ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Τοποθετούμε την άκρη της κόλλας πάνω στο πρώτο ίσιο κομμάτι του δρόμου, ενώνοντας τα σημεία Α και Β. Σημειώνουμε πάνω στην κόλλα τις θέσεις του Α και του Β.
2. Περιστρέφουμε (γυρίζουμε) την κόλλα γύρω από το σημάδι του Β, μέχρι η άκρη της να πέσει πάνω στο επόμενο ίσιο κομμάτι του δρόμου, από το Β μέχρι το Γ. Σημειώνουμε τη θέση του Γ.
3. Ξαναπεριστρέφουμε την κόλλα γύρω από το Γ, ώστε να ακολουθήσουμε το επόμενο κομμάτι, από το Γ μέχρι το Δ. Σημειώνουμε τη θέση του Δ.
4. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο (τοποθέτηση – σημάδεμα – περιστροφή) μέχρι να ενώσουμε και το τελευταίο κομμάτι, από το Δ μέχρι το Ε.
5. Τώρα η άκρη της κόλλας κρατάει «τυλιγμένη» σε ευθεία όλη τη διαδρομή. Τοποθετούμε την κόλλα πάνω στη γραμμική κλίμακα, βάζουμε το Α στο 0 και διαβάζουμε σε ποιον αριθμό πέφτει το Ε. Αυτή είναι η συνολική απόσταση του δρόμου σε χιλιόμετρα.

Παράδειγμα σύγκρισης: Ας υποθέσουμε ότι για την ίδια διαδρομή από το Α στο Ε μετρήσαμε:

Παρατηρούμε ότι ο δρόμος ($16{,}5 \; \text{km}$) είναι σαφώς μεγαλύτερος από την ευθεία ($13 \; \text{km}$). Αυτό ισχύει σχεδόν πάντα: όσο περισσότερες και πιο έντονες είναι οι στροφές ενός δρόμου, τόσο μεγαλύτερη είναι η τεθλασμένη απόσταση σε σχέση με την ευθεία. 🛣️

Μετατροπή με αριθμητική κλίμακα (όταν δεν έχουμε γραμμική)

Μερικές φορές ο χάρτης δεν έχει έτοιμη γραμμική κλίμακα, αλλά μόνο αριθμητική κλίμακα, π.χ. $1:100.000$. Τότε δεν διαβάζουμε την απόσταση κατευθείαν σε χιλιόμετρα, αλλά κάνουμε λίγες πράξεις. Χρειαζόμαστε έναν χάρακα για να μετρήσουμε την απόσταση πάνω στον χάρτη σε εκατοστά.

Η βασική ιδέα είναι:

Ο παρονομαστής της κλίμακας είναι ο αριθμός μετά τις δύο τελείες.

Βήμα-βήμα παράδειγμα

Έστω χάρτης με κλίμακα $1:100.000$. Με τον χάρακα μετρήσαμε ότι δύο πόλεις απέχουν $4 \; \text{cm}$ πάνω στον χάρτη. Πόσο απέχουν στην πραγματικότητα;

Βήμα 1 — Πολλαπλασιάζουμε με τον παρονομαστή. Βρίσκουμε την πραγματική απόσταση σε εκατοστά:

Βήμα 2 — Μετατρέπουμε τα εκατοστά σε μέτρα. Ξέρουμε ότι $1 \; \text{m} = 100 \; \text{cm}$, άρα διαιρούμε με το 100:

Βήμα 3 — Μετατρέπουμε τα μέτρα σε χιλιόμετρα. Ξέρουμε ότι $1 \; \text{km} = 1.000 \; \text{m}$, άρα διαιρούμε με το 1.000:

Απάντηση: Οι δύο πόλεις απέχουν $4 \; \text{km}$ στην πραγματικότητα. ✅

Ένα ακόμη παράδειγμα με άλλη κλίμακα

Έστω χάρτης με κλίμακα $1:50.000$ και απόσταση στον χάρτη $6 \; \text{cm}$:

Άρα η πραγματική απόσταση είναι $3 \; \text{km}$.

Χρήσιμος πίνακας μετατροπών μονάδων

Για να μη μπερδευόμαστε με τις μονάδες μήκους, ας τις θυμόμαστε:

Σύνοψη 🧭

• Κάθε απόσταση σε χάρτη έχει νόημα μόνο μαζί με την κλίμακα.
• Η απόσταση σε ευθεία γραμμή είναι η συντομότερη· τη μετράμε με την άκρη μιας κόλλας (ή κλωστής) και τη διαβάζουμε στη γραμμική κλίμακα.
• Η απόσταση κατά μήκος του δρόμου (τεθλασμένη) μετριέται κομμάτι-κομμάτι, περιστρέφοντας την κόλλα σε κάθε στροφή· είναι πάντα μεγαλύτερη από την ευθεία.
• Όταν έχουμε μόνο αριθμητική κλίμακα, μετράμε με τον χάρακα σε εκατοστά και μετά υπολογίζουμε: $\text{Πραγματική απόσταση} = \text{Απόσταση στον χάρτη} \times \text{Παρονομαστής}$, και τέλος μετατρέπουμε τα εκατοστά σε μέτρα και χιλιόμετρα.