Μηχανικά Κύματα 🌊

Στην ενότητα αυτή μελετάμε πώς μια διαταραχή ταξιδεύει μέσα σε ένα ελαστικό μέσο, μεταφέροντας ενέργεια χωρίς να μεταφέρει ύλη. Θα ορίσουμε τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν ένα κύμα και θα καταλήξουμε στην εξίσωση που περιγράφει πλήρως την κίνηση κάθε σημείου του μέσου.

Η έννοια του κύματος

Όταν ρίξουμε μια πέτρα στην ήρεμη επιφάνεια μιας λίμνης, δημιουργείται μια διαταραχή που απομακρύνεται από το σημείο πτώσης σε ολοένα μεγαλύτερους ομόκεντρους κύκλους. Ένα μικρό φελλό που επιπλέει απλώς ανεβοκατεβαίνει, χωρίς να ακολουθεί το κύμα. Αυτή η απλή παρατήρηση κρύβει τη βαθύτερη φύση του κυματικού φαινομένου.

Ορισμός μηχανικού κύματος 📖

Μηχανικό κύμα ονομάζεται η διάδοση μιας διαταραχής μέσα σε ένα ελαστικό μέσο. Η διαταραχή αυτή προκαλεί την ταλάντωση των σημείων (μορίων) του μέσου γύρω από τις θέσεις ισορροπίας τους.

Για να δημιουργηθεί και να διαδοθεί ένα μηχανικό κύμα χρειάζονται δύο προϋποθέσεις:

μια πηγή που προκαλεί την αρχική διαταραχή (την ταλάντωση),
ένα ελαστικό μέσο, του οποίου τα γειτονικά μόρια αλληλεπιδρούν, ώστε η διαταραχή να μεταβιβάζεται από σημείο σε σημείο.

Προσοχή: τι μεταφέρεται και τι όχι ⚠️

Κατά τη διάδοση ενός μηχανικού κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή, όχι όμως ύλη. Κάθε σημείο του μέσου εκτελεί ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας του και δεν μετατοπίζεται μαζί με το κύμα.

Ο μηχανισμός είναι ο εξής: η πηγή θέτει σε ταλάντωση το πρώτο μόριο του μέσου. Λόγω της αλληλεπίδρασης με τα γειτονικά μόρια, η ταλάντωση μεταβιβάζεται διαδοχικά στα επόμενα μόρια, με μια μικρή χρονική καθυστέρηση. Έτσι η μορφή της διαταραχής «ταξιδεύει» μέσα στο μέσο.

Μέσο διάδοσης 🧱

Τα μηχανικά κύματα χρειάζονται απαραίτητα υλικό μέσο για να διαδοθούν (στερεό, υγρό ή αέριο). Δεν διαδίδονται στο κενό. Αυτό τα διακρίνει από τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

Εγκάρσια και διαμήκη κύματα

Ανάλογα με τη διεύθυνση ταλάντωσης των σημείων του μέσου σε σχέση με τη διεύθυνση διάδοσης, τα κύματα κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες.

Εγκάρσια κύματα ↕️

Εγκάρσιο ονομάζεται το κύμα στο οποίο τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται κάθετα προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Παράδειγμα εγκάρσιου κύματος είναι το κύμα που δημιουργείται σε μια τεντωμένη χορδή, όταν ταλαντώνουμε το ένα άκρο της πάνω-κάτω. Στα εγκάρσια κύματα εμφανίζονται όρη (κορυφές) και κοιλάδες.

Διαμήκη κύματα ↔️

Διάμηκες ονομάζεται το κύμα στο οποίο τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται παράλληλα προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα διαμήκους κύματος είναι ο ήχος, καθώς και το κύμα που διαδίδεται κατά μήκος ενός ελατηρίου, όταν συμπιέζουμε και αφήνουμε διαδοχικά το ένα άκρο του. Στα διαμήκη κύματα εμφανίζονται πυκνώματα (περιοχές συσπείρωσης) και αραιώματα (περιοχές αραίωσης) των μορίων του μέσου.

Είδος κύματος	Διεύθυνση ταλάντωσης	Χαρακτηριστικά	Παράδειγμα
Εγκάρσιο	Κάθετη στη διάδοση	Όρη και κοιλάδες	Κύμα σε χορδή
Διάμηκες	Παράλληλη στη διάδοση	Πυκνώματα και αραιώματα	Ήχος, κύμα σε ελατήριο

Ταχύτητα διάδοσης

Καθώς η διαταραχή ταξιδεύει στο μέσο, διανύει μια ορισμένη απόσταση σε ορισμένο χρόνο. Ορίζουμε:

Ταχύτητα διάδοσης 🚀

Ταχύτητα διάδοσης $υ$ του κύματος ονομάζεται το πηλίκο της απόστασης $x$ που διαδίδεται η διαταραχή προς τον αντίστοιχο χρόνο $t$ :

υ = \frac{x}{t}

Από τι εξαρτάται η ταχύτητα 🎯

Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται μόνο από το μέσο (από τις ιδιότητές του, π.χ. πυκνότητα και ελαστικότητα) και όχι από την ένταση ή τη μορφή της διαταραχής, ούτε από τη συχνότητα της πηγής. Σε ένα δεδομένο ομογενές μέσο η ταχύτητα διάδοσης είναι σταθερή.

Αρμονικό κύμα και χαρακτηριστικά μεγέθη

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η περίπτωση που η πηγή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τότε δημιουργείται ένα αρμονικό κύμα: κάθε σημείο του μέσου, μόλις φτάσει σε αυτό η διαταραχή, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα με την πηγή.

Χαρακτηριστικά μεγέθη αρμονικού κύματος 📐

Πλάτος $A$ : η μέγιστη απομάκρυνση ενός σημείου από τη θέση ισορροπίας του.
Περίοδος $T$ : ο χρόνος μέσα στον οποίο η κυματική εικόνα (το «στιγμιότυπο») επαναλαμβάνεται· ισούται με την περίοδο ταλάντωσης κάθε σημείου.
Συχνότητα $f$ : το πλήθος των κορυφών (ή των πυκνωμάτων) που φτάνουν σε ένα σημείο στη μονάδα του χρόνου, με $f = \dfrac{1}{T}$ .
Μήκος κύματος $λ$ : η απόσταση που διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου· ισοδύναμα, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων που βρίσκονται στην ίδια φάση (π.χ. δύο διαδοχικών κορυφών).

Όλα τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα και περίοδο (αυτή της πηγής), αλλά καθένα ξεκινά την ταλάντωσή του με κάποια καθυστέρηση σε σχέση με το προηγούμενο.

Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής

Σε χρόνο μίας περιόδου $T$ το κύμα διαδίδεται κατά μία απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος $λ$ . Εφαρμόζοντας τον ορισμό της ταχύτητας:

υ = \frac{x}{t} = \frac{λ}{T}

Επειδή $f = \dfrac{1}{T}$ , προκύπτει η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής:

Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής ⭐

υ = \frac{λ}{T} = λ f

Συνδέει την ταχύτητα διάδοσης με το μήκος κύματος και τη συχνότητα.

Πόρισμα: τι αλλάζει όταν αλλάζει το μέσο 💡

Όταν ένα κύμα περνά από ένα μέσο σε άλλο, η συχνότητα $f$ παραμένει σταθερή (την καθορίζει η πηγή). Επειδή όμως αλλάζει η ταχύτητα $υ$ , από τη σχέση $υ = λ f$ προκύπτει ότι αλλάζει αναγκαστικά και το μήκος κύματος $λ$ .

Η εξίσωση του αρμονικού κύματος

Θέλουμε μια συνάρτηση που να δίνει την απομάκρυνση $y$ κάθε σημείου του μέσου σε κάθε χρονική στιγμή. Θεωρούμε κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα $x$ και πηγή στη θέση $x = 0$ που τη στιγμή $t = 0$ ξεκινά ταλάντωση.

Απόδειξη. Η πηγή (σημείο $O$ στη θέση $x=0$ ) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση:

y_O = A\,ημ\!\left(\frac{2π}{T}\,t\right) = A\,ημ(ωt)

Ένα τυχαίο σημείο που βρίσκεται σε απόσταση $x$ από την πηγή θα αρχίσει να ταλαντώνεται με καθυστέρηση ίση με τον χρόνο που χρειάζεται το κύμα για να φτάσει σε αυτό:

t_{καθ} = \frac{x}{υ}

Επομένως, τη στιγμή $t$ , το σημείο αυτό εκτελεί την ταλάντωση που έκανε η πηγή τη στιγμή $t - t_{καθ}$ :

y = A\,ημ\!\left[\frac{2π}{T}\left(t - \frac{x}{υ}\right)\right]

Αντικαθιστώντας $υ = \dfrac{λ}{T}$ , δηλαδή $\dfrac{1}{υ} = \dfrac{T}{λ}$ , παίρνουμε την εξίσωση του κύματος. ∎

Εξίσωση αρμονικού κύματος ✨

y = A\,ημ\,2π\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{λ}\right)

Δίνει την απομάκρυνση $y$ ενός σημείου που απέχει απόσταση $x$ από την πηγή, τη χρονική στιγμή $t$ . Ισχύει για $t \geq \dfrac{x}{υ}$ , δηλαδή αφού φτάσει το κύμα στο σημείο.

Ορίζοντας τη γωνιακή συχνότητα $ω = \dfrac{2π}{T}$ και τον κυματικό αριθμό $k = \dfrac{2π}{λ}$ , η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα στην πιο συμπαγή μορφή:

y = A\,ημ(ωt - kx)

Η εξίσωση περιγράφει δύο πράγματα ταυτόχρονα 🔍

Η εξίσωση του κύματος είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, του χρόνου $t$ και της θέσης $x$ :

Αν σταθεροποιήσουμε τη θέση ( $x =$ σταθερό), παίρνουμε την ταλάντωση ενός συγκεκριμένου σημείου ως προς τον χρόνο.
Αν σταθεροποιήσουμε τον χρόνο ( $t =$ σταθερό), παίρνουμε ένα «στιγμιότυπο» του κύματος, δηλαδή τη μορφή του μέσου εκείνη τη στιγμή.

Γραφικές παραστάσεις του κύματος

Λόγω της εξάρτησης από δύο μεταβλητές, υπάρχουν δύο διαφορετικές γραφικές παραστάσεις του ίδιου κύματος. Στο σχολικό βιβλίο απεικονίζονται και οι δύο.

Δύο γραφικές παραστάσεις 📊

Στιγμιότυπο του κύματος — γραφική παράσταση $y - x$ για σταθερό $t$ . Δείχνει τις απομακρύνσεις όλων των σημείων του μέσου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Σε αυτήν διαβάζουμε άμεσα το μήκος κύματος $λ$ (η περίοδος του διαγράμματος ως προς το $x$ ).
Ταλάντωση σημείου — γραφική παράσταση $y - t$ για σταθερό $x$ . Δείχνει πώς μεταβάλλεται η απομάκρυνση ενός συγκεκριμένου σημείου με τον χρόνο. Σε αυτήν διαβάζουμε άμεσα την περίοδο $T$ .

Και στις δύο γραφικές παραστάσεις η μέγιστη τιμή του $y$ ισούται με το πλάτος $A$ . Προσοχή: παρότι μοιάζουν, ο οριζόντιος άξονας στη μία είναι θέση (μέτρα) και στην άλλη χρόνος (δευτερόλεπτα).

Σύνοψη τύπων

Μέγεθος / Σχέση	Τύπος
Συχνότητα	$f = \dfrac{1}{T}$
Ταχύτητα διάδοσης	$υ = \dfrac{x}{t} = \dfrac{λ}{T} = λ f$
Γωνιακή συχνότητα	$ω = \dfrac{2π}{T}$
Κυματικός αριθμός	$k = \dfrac{2π}{λ}$
Εξίσωση κύματος	$y = A\,ημ\,2π\!\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{λ}\right) = A\,ημ(ωt - kx)$