Θερμικές μηχανές

Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε τις διατάξεις που μετατρέπουν τη θερμότητα σε μηχανικό έργο, τον τρόπο λειτουργίας τους και το μέγεθος που χαρακτηρίζει την «οικονομικότητά» τους, τον συντελεστή απόδοσης.

Ορισμός θερμικής μηχανής

Ορισμός 📖

Θερμικές μηχανές ονομάζουμε τις διατάξεις που μετατρέπουν τη θερμότητα σε μηχανικό έργο.

Παραδείγματα θερμικών μηχανών είναι οι ατμομηχανές, οι μηχανές ντίζελ, οι βενζινοκινητήρες, οι αεροστρόβιλοι των αεροπλάνων και οι ατμοστρόβιλοι των εργοστασίων παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας. Το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας που χρησιμοποιούμε σήμερα σχετίζεται με τη χρήση θερμικών μηχανών.

Ιστορική αναδρομή 🏭

Η ιστορία των θερμικών μηχανών αρχίζει το 1712, όταν ο Thomas Newcomen (Τόμας Νιουκάμεν) επινόησε την πρώτη ατμομηχανή, η οποία χρησιμοποιήθηκε για την άντληση νερού από τα ορυχεία. Το 1769 ο Watt (Βατ) βελτίωσε τη μηχανή του Newcomen και παρουσίασε μια μηχανή κατάλληλη για πολλές χρήσεις. Η εφεύρεση και η διάδοση της ατμομηχανής οδήγησαν σε βαθιές αλλαγές στη ζωή των ανθρώπων και στις κοινωνικές δομές. Η περίοδος που ακολούθησε ονομάστηκε βιομηχανική επανάσταση.

Αρχή λειτουργίας

Σχηματικά, μια θερμική μηχανή είναι μια διάταξη που υποβάλλει ένα «μέσον» (το εργαζόμενο σώμα, για παράδειγμα το νερό στην ατμομηχανή ή ένα αέριο) σε μια μεταβολή, κατά την οποία παράγεται έργο.

Στο μοντέλο της ατμομηχανής, στον λέβητα παράγεται θερμός ατμός υψηλής πίεσης, ο οποίος μέσω της βαλβίδας εισαγωγής διοχετεύεται στον κύλινδρο, σπρώχνει το έμβολο και παράγει έργο. Καθώς ο ατμός εκτονώνεται μέσα στον κύλινδρο, η πίεση και η θερμοκρασία του ελαττώνονται. Ο ατμός χαμηλής πλέον πίεσης αποβάλλεται από τον κύλινδρο, μέσω της βαλβίδας εξαγωγής, και οδηγείται στον συμπυκνωτή, όπου ψύχεται με τρεχούμενο νερό ή με τον αέρα και συμπυκνώνεται πάλι σε νερό. Το νερό οδηγείται πίσω στον λέβητα. Στους βενζινοκινητήρες, τα θερμά αέρια της καύσης σπρώχνουν το έμβολο, παράγουν έργο και στη συνέχεια αποβάλλονται στο περιβάλλον μέσω της εξάτμισης.

Κυκλική λειτουργία

Επειδή η μηχανή μετατρέπει συνεχώς τη θερμότητα σε έργο, η μεταβολή στην οποία υποβάλλεται το μέσον πρέπει να είναι κυκλική.

Γιατί η μεταβολή είναι κυκλική 🔄

Η μεταβολή του μέσου πρέπει να είναι κυκλική, ώστε, όταν ολοκληρωθεί, η μηχανή να επιστρέφει στην αρχική της κατάσταση και να επαναλαμβάνει την ίδια διαδικασία ξανά και ξανά. Στην ατμομηχανή, το νερό αφού γίνει ατμός και ολοκληρώσει την πορεία του μέσω του κυλίνδρου και του συμπυκνωτή, επιστρέφει στον λέβητα στις ίδιες ακριβώς συνθήκες.

Κατά τη διάρκεια της κυκλικής μεταβολής του μέσου, η μηχανή:

απορροφά θερμότητα $Q_h$ από μια δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας $T_h$ ,
παράγει έργο $W$ ,
αποβάλλει θερμότητα $Q_c$ σε μια δεξαμενή χαμηλότερης θερμοκρασίας $T_c$ .

Θερμή και ψυχρή δεξαμενή

Δεξαμενή θερμότητας 🌡️

Δεξαμενή θερμότητας ονομάζουμε ένα σώμα που παραμένει σε σταθερή θερμοκρασία, ακόμη και αν παίρνει ή δίνει θερμότητα.

Διακρίνουμε δύο δεξαμενές:

Δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας $T_h$ (θερμή δεξαμενή): η μηχανή απορροφά από αυτήν θερμότητα $Q_h$ .
Δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας $T_c$ (ψυχρή δεξαμενή): η μηχανή αποβάλλει σε αυτήν θερμότητα $Q_c$ .

Παραδείγματα δεξαμενών ⚙️

Στην ατμομηχανή, δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας είναι ο λέβητας, του οποίου η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή μέσω της ελεγχόμενης καύσης κάποιου καυσίμου, ενώ δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας είναι ο συμπυκνωτής, που βρίσκεται σε επαφή με την ατμόσφαιρα ή με μια μάζα νερού. Στις μηχανές εσωτερικής καύσης, δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας είναι το καιόμενο καύσιμο μέσα στον θάλαμο καύσης (κύλινδρο) και δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας το περιβάλλον, όπου διοχετεύονται τα καυσαέρια.

Ωφέλιμο έργο

Το καθαρό ποσό θερμότητας $Q$ που απορροφά το μέσον είναι ίσο με τη θερμότητα που παίρνει από τη θερμή δεξαμενή μείον αυτή που αποβάλλει στην ψυχρή δεξαμενή. Σε μια κυκλική μεταβολή, η εσωτερική ενέργεια του μέσου επανέρχεται στην αρχική της τιμή ( $\Delta U = 0$ ), επομένως, σύμφωνα με τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο, το έργο που παράγει το αέριο ισούται με το καθαρό ποσό θερμότητας που απορροφά.

Ωφέλιμο έργο σε κάθε κύκλο 🛠️

W = Q_h - |Q_c|

Απόδειξη (από τον 1ο θερμοδυναμικό νόμο) 🧮

Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος δίνει $Q = \Delta U + W$ . Σε κυκλική μεταβολή το μέσον επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση, άρα η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι μηδέν:

\Delta U = 0

Επομένως το έργο ισούται με το καθαρό ποσό θερμότητας:

W = Q = Q_h - |Q_c|

Προσοχή στα πρόσημα ⚠️

Η $Q_c$ είναι η θερμότητα που αποβάλλεται από τη μηχανή στην ψυχρή δεξαμενή. Στους τύπους χρησιμοποιούμε την απόλυτη τιμή της $|Q_c|$ , ώστε το παραγόμενο έργο $W = Q_h - |Q_c|$ να προκύπτει θετικό, αφού πάντα ισχύει $Q_h > |Q_c|$ .

Συντελεστής απόδοσης

Ορισμός συντελεστή απόδοσης 📖

Συντελεστής απόδοσης $e$ οποιασδήποτε μηχανής είναι ο λόγος του ωφέλιμου έργου που μας δίνει η μηχανή προς την ενέργεια που δαπανούμε για να λειτουργήσει.

Στη θερμική μηχανή, η ενέργεια που δαπανούμε είναι η θερμότητα $Q_h$ με την οποία τροφοδοτούμε τη μηχανή από τη δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας. Επομένως:

Συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής ✅

e = \dfrac{W}{Q_h}

Αντικαθιστώντας το ωφέλιμο έργο $W = Q_h - |Q_c|$ , βρίσκουμε:

Ισοδύναμη μορφή 🧮

e = \dfrac{Q_h - |Q_c|}{Q_h} \quad \text{ή} \quad e = 1 - \dfrac{|Q_c|}{Q_h}

Απόδειξη της δεύτερης μορφής 🧮

Ξεκινάμε από τον ορισμό και αντικαθιστούμε το ωφέλιμο έργο:

e = \dfrac{W}{Q_h} = \dfrac{Q_h - |Q_c|}{Q_h}

Χωρίζοντας το κλάσμα σε δύο όρους:

e = \dfrac{Q_h}{Q_h} - \dfrac{|Q_c|}{Q_h} = 1 - \dfrac{|Q_c|}{Q_h}

Τυπικές τιμές απόδοσης 📊

Οι ατμομηχανές έχουν απόδοση έως 18%, ενώ οι ατμομηχανές με στρόβιλο (αντί για κύλινδρο και έμβολο) φτάνουν μέχρι και 40%. Οι βενζινομηχανές έχουν απόδοση περίπου 20%, ενώ οι μηχανές ντίζελ από 35% έως 40%.

Παρατηρήσεις και Προτάσεις

Παρατήρηση 1 — Ο συντελεστής απόδοσης είναι αδιάστατος 🔢

Ο $e$ είναι λόγος δύο ενεργειών, επομένως είναι καθαρός αριθμός χωρίς μονάδες. Εκφράζεται είτε ως δεκαδικός αριθμός (π.χ. $e = 0,3$ ) είτε επί τοις εκατό (π.χ. $30\%$ ).

Παρατήρηση 2 — Πάντοτε e < 1 ⚠️

Επειδή σε κάθε κύκλο η μηχανή αποβάλλει αναγκαστικά θερμότητα στην ψυχρή δεξαμενή, ισχύει $|Q_c| > 0$ , άρα:

e = 1 - \dfrac{|Q_c|}{Q_h} < 1

Καμία θερμική μηχανή δεν μπορεί να μετατρέψει ολόκληρη την προσφερόμενη θερμότητα σε έργο. Όσο μικρότερη είναι η αποβαλλόμενη θερμότητα $|Q_c|$ , τόσο μεγαλύτερη η απόδοση.

Παρατήρηση 3 — Σπατάλη ενέργειας 🔥

Η θερμότητα $|Q_c|$ που αποβάλλεται στην ψυχρή δεξαμενή αποτελεί ενέργεια που «χάνεται» από πρακτική άποψη. Σε ένα τυπικό εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας, η ενέργεια που αποβάλλεται στο περιβάλλον είναι πολύ περισσότερη από όση αποδίδεται σε χρήσιμη μορφή.

Πρόταση — Χρήσιμες μορφές των σχέσεων 📐

Από τις βασικές σχέσεις προκύπτουν άμεσα:

W = e \, Q_h, \qquad Q_h = \dfrac{W}{e}, \qquad |Q_c| = Q_h - W = (1 - e)\,Q_h

Οι σχέσεις αυτές είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στην επίλυση προβλημάτων, όταν ζητείται μία ποσότητα ενώ δίνονται οι υπόλοιπες.

Παρατήρηση 4 — Σχέση με την ισχύ ⚡

Σε προβλήματα συνεχούς λειτουργίας, οι σχέσεις ισχύουν και για τα αντίστοιχα μεγέθη ισχύος. Αν $P$ είναι η ωφέλιμη (μηχανική) ισχύς και $P_h$ η θερμική ισχύς που τροφοδοτεί τη μηχανή, τότε:

e = \dfrac{P}{P_h}

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1 — Υπολογισμός απόδοσης 🧮

Μηχανή εσωτερικής καύσης καταναλώνει σε κάθε κύκλο θερμότητα $Q_h = 5000 \ \text{J}$ και αποβάλλει στην εξάτμιση θερμότητα $|Q_c| = 3500 \ \text{J}$ .

e = 1 - \dfrac{|Q_c|}{Q_h} = 1 - \dfrac{3500 \ \text{J}}{5000 \ \text{J}} = 0,3 \quad \text{ή} \quad 30\%

Παράδειγμα 2 — Υπολογισμός δαπανώμενης ενέργειας 🧮

Θερμική μηχανή έχει απόδοση $e = 25\%$ και σε κάθε κύκλο παράγει ωφέλιμο έργο $W = 2000 \ \text{J}$ . Η ενέργεια που δαπανάται ανά κύκλο είναι:

Q_h = \dfrac{W}{e} = \dfrac{2000 \ \text{J}}{0,25} = 8000 \ \text{J}