Εφαρμογή του πρώτου θερμοδυναμικού νόμου σε ειδικές περιπτώσεις

Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος, στη γενική του μορφή, γράφεται:

Q = \Delta U + W

όπου $Q$ η θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον, $\Delta U$ η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας και $W$ το έργο που παράγει το αέριο. Στην ενότητα αυτή εφαρμόζουμε τον νόμο αυτό στις βασικές αντιστρεπτές μεταβολές ενός αερίου: την ισόθερμη, την ισόχωρη, την ισοβαρή και την αδιαβατική (καθώς και την κυκλική).

Υπενθύμιση των βασικών μεγεθών 📌

Το έργο $W$ του αερίου εμφανίζεται μόνο όταν μεταβάλλεται ο όγκος του (μετατόπιση εμβόλου).
Η εσωτερική ενέργεια $U$ ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία· άρα η μεταβολή $\Delta U$ εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή της θερμοκρασίας.
Σε διάγραμμα $p-V$ , το εμβαδόν κάτω από τη γραμμή της μεταβολής ισούται με το έργο του αερίου.

Α) Ισόθερμη αντιστρεπτή μεταβολή

Θεωρούμε ισόθερμη αντιστρεπτή μεταβολή ορισμένης ποσότητας αερίου από την αρχική κατάσταση Α, όγκου $V_\alpha$ , στην τελική κατάσταση Β, όγκου $V_\tau$ . Η μεταβολή γίνεται σε σταθερή θερμοκρασία $T$ .

Το εμβαδόν κάτω από τη γραμμή του διαγράμματος $p-V$ (υπερβολή) ισούται με το έργο που παράγει το αέριο. Ο υπολογισμός του εμβαδού δεν μπορεί να γίνει χωρίς τη χρήση ολοκληρωμάτων και δίνει:

W = nRT\,\ln\frac{V_\tau}{V_\alpha}

Επειδή η θερμοκρασία του αερίου δεν μεταβάλλεται ( $T = \text{σταθ.}$ ), είναι $U_A = U_B$ , επομένως:

\Delta U = 0

Έτσι ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος, στην ισόθερμη μεταβολή, παίρνει τη μορφή:

Q = W

και συνεπώς:

Q = nRT\,\ln\frac{V_\tau}{V_\alpha}

Συμπέρασμα — Ισόθερμη εκτόνωση ♨️

Στην ισόθερμη εκτόνωση όλο το ποσό θερμότητας που απορροφά το αέριο μετατρέπεται σε μηχανικό έργο.

Προσοχή στα πρόσημα ⚠️

Στην ισόθερμη εκτόνωση είναι $V_\tau > V_\alpha$ , οπότε $\ln\frac{V_\tau}{V_\alpha} > 0$ : το έργο $W$ είναι θετικό και το αέριο απορροφά θερμότητα ( $Q > 0$ ).
Στην ισόθερμη συμπίεση είναι $V_\tau < V_\alpha$ , οπότε $\ln\frac{V_\tau}{V_\alpha} < 0$ : το έργο $W$ είναι αρνητικό και το αέριο αποβάλλει θερμότητα ( $Q < 0$ ).

Β) Ισόχωρη αντιστρεπτή μεταβολή

Θεωρούμε ισόχωρη αντιστρεπτή μεταβολή μιας ποσότητας αερίου, από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β. Το αέριο θερμαίνεται με σταθερό όγκο και η θερμοκρασία του αυξάνεται.

Επειδή ο όγκος παραμένει σταθερός ( $V = \text{σταθ.}$ ), το αέριο δεν παράγει έργο:

W = 0

Αυτό είναι αναμενόμενο, γιατί έργο έχουμε μόνο όταν μεταβάλλεται ο όγκος του αερίου. Έτσι, από τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο προκύπτει:

Q = \Delta U

Συμπέρασμα — Ισόχωρη θέρμανση 🔥

Στην ισόχωρη θέρμανση όλο το ποσό θερμότητας που απορρόφησε το αέριο χρησιμοποιήθηκε για την αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας.

Γ) Ισοβαρής αντιστρεπτή μεταβολή

Ένα αέριο θερμαίνεται ισοβαρώς ( $p = \text{σταθ.}$ ) από την αρχική κατάσταση Α, όγκου $V_\alpha$ , στην τελική κατάσταση Β, όγκου $V_\tau$ . Το εμβαδόν κάτω από τη γραμμή του διαγράμματος $p-V$ (ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο στον άξονα του όγκου) δίνει το έργο του αερίου:

W = p\,(V_\tau - V_\alpha)

ή, χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση $pV = nRT$ :

W = nR\,(T_\tau - T_\alpha)

Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος παίρνει τη μορφή:

Q = \Delta U + p\,(V_\tau - V_\alpha)

Συμπέρασμα — Ισοβαρής θέρμανση 🌡️

Στην ισοβαρή θέρμανση ένα μέρος από το ποσό θερμότητας που απορρόφησε το αέριο από το περιβάλλον χρησιμοποιήθηκε για την αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας και το υπόλοιπο αποδόθηκε εκ νέου στο περιβάλλον με τη μορφή έργου.

Δ) Αδιαβατική μεταβολή

Ορισμός — Αδιαβατική μεταβολή 🧊

Αδιαβατική ονομάζουμε τη μεταβολή κατά την οποία δε συντελείται μεταφορά θερμότητας από το περιβάλλον προς το σύστημα ή αντίστροφα ( $Q = 0$ ).

Θεωρούμε ένα αέριο που εκτονώνεται με αντιστρεπτό τρόπο μέσα σε δοχείο με έμβολο, από την κατάσταση Α $(p_\alpha, V_\alpha)$ στην κατάσταση Β $(p_\tau, V_\tau)$ . Το δοχείο και το έμβολο είναι κατασκευασμένα από μονωτικό υλικό, έτσι ώστε να μην επιτρέπουν την ανταλλαγή θερμότητας ανάμεσα στο αέριο και στο περιβάλλον (ένα τέτοιο δοχείο είναι το θερμός που χρησιμοποιούμε στα σπίτια μας). Η μεταβολή αυτή είναι μια αντιστρεπτή αδιαβατική μεταβολή.

Νόμος του Poisson (Πουασόν)

Ο νόμος που διέπει την αντιστρεπτή αδιαβατική μεταβολή είναι:

pV^\gamma = \text{σταθ.}

όπου $\gamma$ ένας καθαρός αριθμός, μεγαλύτερος της μονάδας ( $\gamma > 1$ ), που εξαρτάται από την ατομικότητα του αερίου και από το είδος των δεσμών που συγκρατούν τα άτομα στο μόριο.

Εφαρμόζοντας τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο και λαμβάνοντας υπόψη ότι $Q = 0$ , προκύπτει:

0 = \Delta U + W

ή:

W = -\Delta U \quad (4.7)

Συμπέρασμα — Αδιαβατική μεταβολή

Στην αδιαβατική μεταβολή το έργο είναι ίσο με το αντίθετο της μεταβολής της εσωτερικής ενέργειας.

Επειδή στη μεταβολή που περιγράψαμε (εκτόνωση) το έργο είναι θετικό, από τη σχέση $(4.7)$ προκύπτει ότι η εσωτερική ενέργεια μειώνεται ( $\Delta U < 0$ ), επομένως το αέριο ψύχεται.

Στο διάγραμμα $p-V$ , επειδή η τελική θερμοκρασία είναι μικρότερη από την αρχική, η αδιαβατική καμπύλη έχει μεγαλύτερη κλίση από την ισόθερμη που περνάει από το σημείο Α.

Στην αδιαβατική μεταβολή το έργο μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση:

W = \frac{p_\tau V_\tau - p_\alpha V_\alpha}{1 - \gamma}

Σχεδόν αδιαβατικές διεργασίες στην πράξη 🚗

Στην πράξη, όταν ένα αέριο συμπιέζεται (ή εκτονώνεται) πολύ γρήγορα, πολύ μικρό ποσό θερμότητας μετακινείται από το αέριο προς το περιβάλλον ή αντίστροφα. Η διεργασία αυτή είναι σχεδόν αδιαβατική. Τέτοιες διεργασίες συμβαίνουν στον κύλινδρο του βενζινοκινητήρα.

Ε) Κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή

Ορισμός — Κυκλική μεταβολή 🔄

Κυκλική ονομάζουμε μια μεταβολή στην οποία το σύστημα, μετά από μια διεργασία, επιστρέφει στην ίδια κατάσταση.

Το αέριο αρχικά βρίσκεται στην κατάσταση Α και μετά από μια διεργασία επιστρέφει πάλι στην αρχική κατάσταση Α. Το συνολικό έργο του αερίου υπολογίζεται ως το αλγεβρικό άθροισμα των έργων κατά τα επιμέρους τμήματα του κύκλου: κατά τη μεταβολή Α→Β (εκτόνωση) το έργο είναι θετικό, ενώ κατά τη μεταβολή Β→Α (συμπίεση) το έργο είναι αρνητικό.

Συνολικό έργο κυκλικής μεταβολής

Το ολικό έργο σε μια κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή είναι ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραμμή του διαγράμματος, στη γραφική παράσταση $p-V$ .

Πρόσημο του έργου — φορά διαγραφής ⚠️

Σε μια αντιστρεπτή κυκλική μεταβολή, το έργο είναι:

θετικό ( $W > 0$ ) όταν η γραφική παράσταση διαγράφεται με τη φορά των δεικτών του ρολογιού,
αρνητικό ( $W < 0$ ) όταν διαγράφεται με την αντίθετη φορά.

Επειδή το αέριο επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση (ίδια θερμοκρασία), η μεταβολή στην εσωτερική του ενέργεια είναι μηδέν:

\Delta U = 0

Εφαρμόζοντας τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο στην κυκλική μεταβολή έχουμε:

Q = W

Συμπέρασμα — Κυκλική μεταβολή

Στην κυκλική μεταβολή η θερμότητα που απορροφά ή αποδίδει το αέριο ισούται με το έργο που παράγει ή δαπανά.

Πίνακας σύνοψης των μεταβολών

Μεταβολή	Σταθερό μέγεθος	$\Delta U$	$W$	$Q$	Μορφή 1ου νόμου
Ισόθερμη	$T = \text{σταθ.}$	$\Delta U = 0$	$W = nRT\ln\frac{V_\tau}{V_\alpha}$	$Q = W$	$Q = W$
Ισόχωρη	$V = \text{σταθ.}$	$\Delta U$	$W = 0$	$Q = \Delta U$	$Q = \Delta U$
Ισοβαρής	$p = \text{σταθ.}$	$\Delta U$	$W = p(V_\tau - V_\alpha)$	$Q = \Delta U + W$	$Q = \Delta U + p(V_\tau - V_\alpha)$
Αδιαβατική	$Q = 0$	$\Delta U$	$W = \dfrac{p_\tau V_\tau - p_\alpha V_\alpha}{1-\gamma}$	$Q = 0$	$W = -\Delta U$
Κυκλική	επιστροφή στην ίδια κατάσταση	$\Delta U = 0$	$W =$ εμβαδόν κύκλου	$Q = W$	$Q = W$

Παρατηρήσεις

Παρατήρηση 1 — Πότε μηδενίζεται κάθε μέγεθος 🧠

$\Delta U = 0$ όταν η θερμοκρασία δεν μεταβάλλεται (ισόθερμη και κυκλική μεταβολή).
$W = 0$ όταν ο όγκος δεν μεταβάλλεται (ισόχωρη μεταβολή).
$Q = 0$ όταν δεν ανταλλάσσεται θερμότητα (αδιαβατική μεταβολή).

Παρατήρηση 2 — Ισόθερμη και αδιαβατική στο διάγραμμα p-V 📈

Από το ίδιο σημείο Α, η αδιαβατική καμπύλη είναι πιο απότομη (μεγαλύτερη κατά απόλυτη τιμή κλίση) από την ισόθερμη. Αυτό οφείλεται στο ότι κατά την αδιαβατική εκτόνωση το αέριο επιπλέον ψύχεται, οπότε η πίεση πέφτει ταχύτερα.

Παρατήρηση 3 — Το πρόσημο του έργου ορίζει το είδος της μεταβολής όγκου

Εκτόνωση (αύξηση όγκου): $V_\tau > V_\alpha \Rightarrow W > 0$ (το αέριο παράγει έργο).
Συμπίεση (μείωση όγκου): $V_\tau < V_\alpha \Rightarrow W < 0$ (προσφέρεται έργο στο αέριο).

Προτάσεις

Πρόταση 1 — Στρατηγική επίλυσης ασκήσεων ✅

Σε κάθε άσκηση, αναγνωρίζουμε πρώτα το είδος της μεταβολής (ποιο μέγεθος μένει σταθερό), μηδενίζουμε το αντίστοιχο όρο ( $\Delta U$ , $W$ ή $Q$ ) και εφαρμόζουμε τον απλοποιημένο πρώτο θερμοδυναμικό νόμο.

Πρόταση 2 — Όχι σύγχυση ισόχωρης και αδιαβατικής ⚠️

Μην μπερδεύεις την ισόχωρη ( $W = 0$ , αλλά $Q \neq 0$ ) με την αδιαβατική ( $Q = 0$ , αλλά $W \neq 0$ ). Είναι δύο εντελώς διαφορετικές μεταβολές: στην πρώτη δεν παράγεται έργο, στη δεύτερη δεν ανταλλάσσεται θερμότητα.